Первообразная и интеграл

Оглавление по темам

21.9 Первообразная и интеграл

Оглавление по классам

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство

F’(x) = f(x)

f(x)	F(x)
0	C
1	x+C
nxn-1	xn+C
cos x	sin x+C
sin x	cos x+C
	tg x+C

Множество первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом.

Графики этих функций называются интегральными кривыми.

Найти первообразную y=x2

Неоднозначность нахождения первообразной сразу исчезает, если задано значение С или

(x0, у0)

Найти первообразную y=x2, проходящую через точку х0 =1, у0=2

;

Возникает вопрос, как неопределенный интеграл связан с определенным.

Определенный интеграл – это предел интегральных сумм.

Но , а левая и правая части стремятся к f(x). Значит, производная площади подграфика равна функции, а площадь является первообразной.

Обозначение определенного интеграла: - под знаком суммы дифференциал F(x).

Найдем

Найдем превообразную

Чтобы найти С учтем, что F(1)=0.

,

Обозначение неопределенного интеграла: .

В дальнейшем рассмотрим эти вопросы подробнее.