Теория и расчет лопаточных машин врд

ЛИТЕРАТУРА по теоретической части

1.  К. В Холщевников. Теория и расчёт авиационных лопаточных машин. М.: Машиностроение, 19с.

2.  , , . Лопаточные машины двигателей летательных аппаратов. МАИ-ПРИНТ, 2008, 697 с.

3.  Ю. Н Нечаев, Р. М Фёдоров. Теория авиационных газотурбинных двигателей. Учебник для вузов. Ч.1. М.: 19с.

4.  Программированное учебное пособие по теории рабочего процесса авиационных лопаточных машин. М.:МАИ, 1980, 86 с.

5.  Программированное учебное пособие по характеристикам и регулированию авиационных лопаточных машин. М.:МАИ, 1981, 68 с.

6.  . Теория и расчет лопаточных машин ВРД, рукопись 2003, ч.1,2,3.

Московский государственный авиационный институт

(технический университет)

КАФЕДРА 201

Дисциплина

«Теория и расчет лопаточных машин врд»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Часть 1

Основы теории и рабочего процесса

Учебное пособие

Составил доцент кафедры 201

Москва-2003

В основу данного учебного пособия положены материалы курса лекций, поставленного в Московском государственном авиационном институте (МАИ) профессором , составляющие основу учебника [1] того же автора. Некоторые изменения в содержание и построение второго издания [2] внесены в связи с тем, что в течение периода, прошедшего со времени выхода учебника [1] (1970г.) изменилась трактовка некоторых понятий и методы решения ряда задач. Получено много новых данных по математическому описанию процессов, происходящих в турбомашинах, широкое распространение получили персональные ЭВМ, что позволило существенно расширить применение при проектировании компрессоров и турбин математических моделей, учитывающих такие эффекты, как сжимаемость и вязкость газа, а также пространственный характер течения в полостях турбомашин.

Учебное пособие предназначено для студентов факультета двигателей летательных аппаратов и энергетических установок МАИ. Оно дополняет материалы, изложенные в [8], [9] и вместе с ними отражает содержание курса лекций по дисциплине «Теория и расчёт авиационных лопаточных машин».

Учебное пособие состоит из трёх частей:

Часть 1 – Основы теории и рабочего процесса.

Часть 2 – Основы теории и газодинамическое проектирование авиационных компрессоров и турбин.

Часть 3 – Характеристики и регулирование авиационных компрессоров и турбин.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………… 5

1. НАЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ, СХЕМЫ, ПАРАМЕТРЫ ТУРБОМАШИН………………………………………………………… 8

1.1 Назначение турбомашин в различных газотурбинных установках………………………………………………………………… 8

1.2. Классификация турбомашин………………………………………………. 9

1.3 Схемы и основные параметры турбомашин, подводящих энергию к газу. (Компрессоры)…………………………………………. …………………10

1.4 Лопаточные машины, отводящие энергию от газа. (Турбины)………….14

2. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТУРБОМАШИН…………………………… 17

2.1.Основные допущения и упрощения, применяемые в теории

турбомашин………………………………………………………………….17

2.2. Влияние вида движения на параметры потока………………………… 22

2.3. Расчетные модели турбомашин……………………………………… 23

2.4. Уравнение расхода.,……………………………………………………… 27

2.5. Уравнение энергии…………………………………………………………28

2.5.1.Уравнение энергии в тепловой форме………………………………… 28

2.5.2. Уравнение энергии в механической форме (обобщённое

уравнение Бернулли)……………………………………………………..29

2.5.3. Уравнение энергии для рабочего колеса турбомашины

с учётом потерь вне контрольного пространства…………………… 30

2.5.4. Уравнение энергии для ступени турбомашины …………………….. 31

2.6. Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего

колеса турбомашин…………………………………. ……………………32

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й форме………………………………………….32

2.6.2 Учёт влияния радиального зазора на удельную работу

рабочего колеса ………………………………………………………… 37

2.6.3 Частные случаи записи уравнения момента, мощности и удельной работы………………………………………………………………… 38

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТУРБОМАШИНАХ

И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ В P-V, T-S И i-s диаграммах………………43

3.1 Компрессор….……………………………………………………………43

3.1.1 Изображение процесса сжатия в компрессоре

в P-V диаграмме...………………………………………………………43

3.1.2 Изображение процесса сжатия в компрессоре

в T-S диаграмме………………………………………………………. 46

3.1.3 Изображение процесса сжатия в компрессоре

в I-S диаграмме………………………………………………………… 49

3.2 Турбина…………………………………………………. ………………. 50

3.2.1 Процесс расширения в турбине в P-Vдиаграмме …………. ……… 50

3.2.2 Процесс расширения в турбине в T-S диаграмме………………… 52

3.2.3 Изображение процесса расширения в турбине в i-S диаграмме…… 53

4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЛОПАТОЧНЫХ

машин……………………………………………………………………56

4.1. Коэффициенты полезного действия компрессоров…………………. 56

4.2. Коэффициенты полезного действия турбин………………………… 58

4.3 Связь КПД многоступенчатой лопаточной машины и её отдельных

ступеней……………..………………………………………………… 60

4.3.1 Компрессор ………………………………………………………… 60

4.3.2 Турбина ...………………………………………………………………62

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………… 63

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина "Теория и расчет турбомашин транспортных и стационарных ГТУ" изучает рабочий процесс, характеристики и регулирование турбомашин различного назначения. Эти агрегаты являются основными элементами энергетических установок, являющихся силовым двигателем для транспортных систем (самолетов, вертолетов, наземных транспортных средств гражданского и военного применения) и главным узлом газотурбинных установок энергетического машиностроения (тепловых электростанций, газоперекачивающих станций автономного функционирования и т. д.).

Столь широкий спектр применения турбомашин не позволяет иметь единую методику проектирования этих агрегатов, т. к. требования к ним, в частности, связанные с условиями эксплуатации различны. Поэтому при общности рабочего процесса, типов и схем турбомашин специфика применения диктует ряд различий в вопросах газодинамического проектирования и конструктивного воплощения машин разного назначения.

Например, для авиационных двигателей важнейшими требованиями являются:

1.  минимальные габариты и масса,

2.  высокая надежность конструкции,

3.  широкий диапазон рабочих режимов,

4.  высокая эффективность преобразования энергии (КПД), что непосредственно связано с дальностью полета.

Нетрудно заметить, что эти естественные требования в принципе противоречивы. Так, для повышения надежности работы обычно увеличивают толщину стенок элементов конструкции, в частности лопаток, составляющих основу ступеней турбомашин, а это приводит, с одной стороны к повышению массы двигателя, с другой - к снижению КПД и т. д. Для стационарных газотурбинных установок главным является требование высокой эффективности при длительной работоспособности, а такие параметры как масса агрегата интересуют разработчиков с точки зрения металлоёмкости, возможности транспортировки узлов и монтажа.

Приведенные примеры показывают, что подход к выбору схем и параметров элементов турбомашин должен быть во многом различным.

ТУРБОМАШИНАМИ называют такие машины, в которых подвод энергии к рабочему телу (жидкости, газу) или отвод энергии от рабочего тела осуществляется в результате взаимодействия потока рабочего тела с деталями специальной формы расположенными на ободе колеса, называемыми лопатками. Поэтому ТУРБОМАШИНЫ часто называют ЛОПАТОЧНЫМИ МАШИНАМИ.

Предметом изучения в рассматриваемой дисциплине являются турбомашины, в которых рабочим телом является газ. Как известно, газ изменяет объём при изменении давления, поэтому турбомашины, в которых энергия подводится к газу называются КОМПРЕССОРАМИ, а те, в которых энергия отводится от газа принято называть ГАЗОВЫМИ ТУРБИНАМИ.

В основу данного пособия положены материалы курса лекций, читавшегося в Московском государственном авиационном институте (МАИ) профессором , составляющие основу учебника [1] того же автора. Некоторые изменения в содержание и построение второго издания [2] внесены в связи с тем, что в течение периода, прошедшего со времени выхода учебника [1] (1970г.) изменилась трактовка некоторых понятий и методы решения ряда задач. Получено много новых данных по математическому описанию процессов, происходящих в турбомашинах, широкое распространение получили персональные ЭВМ, что позволило существенно расширить применение при проектировании компрессоров и турбин математических моделей, учитывающих такие эффекты, как сжимаемость и вязкость газа, а также пространственный характер течения в полостях турбомашин.

Значительные успехи в области исследования рабочего процесса и разработке методов расчета турбомашин были достигнуты не только за рубежом, но и отечественными учеными, конструкторами и коллективами таких организаций, как ЦИАМ, ЦАГИ, конструкторских бюро "Союз", "Сатурн", КБ им. В.Климова, РКБМ и др., учебных заведений - МАИ, ХАИ, СПбГТУ, МГТУ им.. Э. Баумана, ВВИА им. проф. и др. Эти материалы нашли отражение в учебниках [2],[3],[4],[5] и др., а также в многочисленных монографиях, статьях и учебных пособиях.

В последние годы появилась практика конверсионного внедрения достижений и разработок, выполненных в одной из отраслей, в смежные отрасли, что требует освещения этих вопросов в учебных курсах, предназначенных для подготовки специалистов в профильных ВУЗ-ах, в частности в МАИ.

Указанными причинами, главным образом, продиктована необходимость издания данного учебного пособия.

1. НАЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ, СХЕМЫ, ПАРАМЕТРЫ ТУРБОМАШИН

1.1 Назначение турбомашин в различных газотурбинных установках. 

Будем рассматривать только тот круг применения турбомашин (компрессоров и турбин), когда они работают совместно в едином агрегате. Это позволит оставить за пределами объёма изучения случаи изолированного применения как компрессоров, так и турбин в качестве самостоятельных машин, например компрессорных машин с приводом от электродвигателя, турбин, вращающих электрогенераторы и т. д.

В этом случае целесообразно вспомнить термодинамический цикл тепловой машины со сгоранием при постоянном давлении. На рис.1.1. представлен идеализированный цикл и схема турбореактивного двигателя.

Рис.1.1.

Термодинамические процессы в таких машинах происходят последовательно в разных элементах. Рабочее тело (обычно это воздух) засасывается компрессором. В компрессоре давление повышается за счет подвода энергии к воздуху от вращающихся лопаток. Энергия, затраченная на повышение давления от Рв до Рк в P, V-координатах отображается площадью в-Рв-Рк-к, т. е. слева от линии сжатия в-к.. Далее воздух подается в камеру сгорания, где при постоянном давлении подводится тепло за счет химической реакции горения топлива, при этом удельный объём (V) увеличивается и в точке Г начинается процесс расширения газа, который идет по политропе до точки Т с давлением Рт, причем количество энергии, отведенное от газа, отображаемое площадью Г-Т-Рт-Рг, примерно равно энергии, подведенной воздуху в компрессоре. Процесс расширения продолжается в реактивном сопле до точки с, соответствующей давлению Рс, равному давлению на входе в компрессор. Незаштрихованная площадь внутри диаграммы отображает свободную энергию цикла, которая в ТРД выражается в виде тяги.

На рис.1.2 показаны цикл и схема турбовального двигателя вертолета или газотурбинной установки, вращающей ротор электрогенератора. Здесь свободная энергия используется в виде мощности на валу так называемой свободной турбины, т. е. турбины механически не связанной с ротором турбокомпрессорной части установки.

Рис.1.2.

Существует весьма обширный спектр схем ГТУ, основой которых является турбокомпрессор, часто состоящий из нескольких роторов. Однако в любой схеме ГТУ назначение турбомашин аналогичное.

1.2. Классификация турбомашин

Турбомашины различают по ряду признаков принципиального и частного характера. Так, исходя из ранее приведенного определения, турбомашины делятся на подводящие энергию к газу и отводящие энергию. К первым относятся компрессоры, насосы, ко вторым - турбины.

И те и другие имеют единые признаки и соответственно названия в зависимости от направления потока по расходной составляющей скорости:

а) осевые; б) радиальные; в) диагональные; г)комбинированные.

От уровня скорости в проточной части:

а) дозвуковые; б)сверхзвуковые; в) трансзвуковые.

По числу ступеней:

а) одноступенчатые; б) многоступенчатые.

По величине некоторых параметров характеризующих особенности рабочего процесса, в частности, при степени реактивности равной нулю ступень называется "активная", если степень реактивности не равна нулю - "реактивная". По количеству роторов: одно-двух-трёхвальные. В свою очередь компрессоры могут быть одно-двухкаскадные, комбинированные; турбины - с охлаждаемыми и неохлаждаемыми лопатками рабочих колес, биротативные, парциальные и с полным подводом газа к рабочему колесу и т. д.

Ряд названий компрессоров и турбин связан с другими частными признаками, о чем будет говориться в соответствующих разделах курса.

1.3 Схемы и основные параметры турбомашин, подводящих энергию к газу. (Компрессоры)

Компрессоры характеризуются следующими параметрами:

pк* - степень повышения полного давления ;

uk - окружная скорость на периферии лопатки ;

hк*- полезный эффект (коэффициент полезного действия);

В зависимости от величины степени повышения давления лопаточные машины, подводящие энергию к газу разделяют [3] на:

- вентиляторы, если pк* Ј 1,15 (в двухконтурных ТРД вентилятором называют компрессор низкого давления. У него pк* может быть больше 1.15);

- компрессоры, если pк* более 1,15;

1.3.1 ОСЕВЫЕ КОМПРЕССОРЫ

а) Одноступенчатый осевой компрессор. Ступень осевого компрессора состоит из ряда лопаток рабочего колеса (вращающийся лопаточный венец) и ряда лопаток направляющего аппарата (неподвижный лопаточный венец)-на выходе из компрессора. Этот лопаточный венец называют спрямляющим аппаратом, т. к. по техническим условиям поток из компрессора должен иметь осевое направление такой состав имеет обычно сверхзвуковая ступень (Рис.1.3).

Рис.1.3. Рис.1.4.

В дозвуковом одноступенчатом компрессоре перед рабочим колесом обычно устанавливают дополнительный лопаточный венец, называемый "входным" направляющим аппаратом (ВНА) (Рис.1.4.).

Примерные значения основных параметров одноступенчатых компрессоров приведены в таблице 1.

Таблица 1

	pк*	uk	hк*
Дозвуковая ступень	1.2-1,5	300-360	0,88-0,92
Сверхзвуковая	1,5-2,1	420-470	0,82-0,85
Трансзвуковая	1,4-1,7	360-420	0,85-0,87

Достоинства осевых одноступенчатых компрессоров:

- высокий уровень КПД,

- высокая производительность при малых лобовых габаритах,

- простота компоновки в многоступенчатую схему.

недостатки:

- большое число деталей сложной формы,

- относительно узкий диапазон рабочих режимов,

- высокая чувствительность к попаданию посторонних предметов.

б) Многоступенчатые осевые компрессоры.

Простота компоновки осевых ступеней в многоступенчатую схему обусловило широкое распространение осевых многоступенчатых компрессоров в различных газотурбинных и иных установок.

Число ступеней диктуется заданной величиной степени повышения давления. Значение pкS* получают перемножением pкi* в каждой ступени. Многоступенчатым компрессорам присущи достоинства и недостатки одноступенчатых, причем основным недостатком является большое число деталей сложной формы (лопаток). Улучшение характеристик получают применением двухкаскадных схем и средств регулирования.

1.3.2 РАДИАЛЬНЫЕ КОМПРЕССОРЫ

В радиальных компрессорах газ выходит из рабочего колеса от центра в радиальном направлении, поэтому их называют центробежными (ЦБК). Одна из схем, применяемых в авиационных ГТД приведена на рис.1.5.

Рис.1.5.

Видно, что в ступени центробежного компрессора больше составных частей и поток при движении по колесу изменяет направление.

Однако разница окружных скоростей между входом и выходом из колес позволяет получать большие значения pк* одной ступени ЦБК, чем в осевой ступени компрессора. Так, при U к=450-500 м/с можно получить pк* = 5-6.

Поскольку скорость газа на выходе из рабочего колеса очень большая приходится за ним ставить несколько ярусов устройств-диффузоров для того, чтобы снизить кинетическую энергию и преобразовать её в давление. Наличие большого количества элементов не позволяет получать высокие значения КПД в ступени ЦБК. Кроме того, этот компрессор уступает осевому по параметру лобовой производительности.

НЕДОСТАТКОМ центробежного компрессора является трудность компоновки многоступенчатых схем. В этом случае его эффективность резко снижается. В стационарных и наземных установках этот недостаток в значительной степени парируется постановкой промежуточных газоохладителей.

1.3.3 ДИАГОНАЛЬНЫЕ КОМПРЕССОРЫ

Этот тип ступени компрессора занимает по параметрам промежуточное положение между осевой и центробежной.

Схема диагональной ступени компрессора представлена на рис.1.6. Чаще всего такие ступени променяют в сочетании с другими типами, о чём будет сказано ниже.

Рис.1.6

1.3.4 КОМБИНИРОВАННЫЕ КОМПРЕССОРЫ

В ряде случаев недостатки и достоинства разных типов ступеней компрессоров можно снивелировать применяя их в разных комбинациях. На рис.1.7 показана схема осецентробежного компрессора, в которой центробежная ступень выполняет роль так называемой дожимной ступени.

Рис.1.7.

Такие решения дают положительные результаты в тех случаях когда, например, в осевом компрессоре при не больших расходах газа и высокой степени повышения давления лопатки последних ступеней становятся соизмеримы с величиной радиального зазора между торцами лопаток и корпусом. КПД компрессора резко снижается и замена нескольких осевых ступеней одной центробежной, при наличии резерва лобового габарита, позволяет повысить суммарный КПД компрессора и уменьшить число лопаток в нём. Такие схемы широко применяются в вертолётных ГТД, а также получают распространение в маршевых авиационных ТВД и ТРДД.

Известны примеры применения этих компрессоров в системах получения сжиженного газа и других промышленных установках

1.4 Лопаточные машины, отводящие энергию от газа. (Турбины).

Рабочий процесс в турбине характеризуется следующими параметрами:

pт* - степень расширения;

Uт ср - окружная скорость на среднем диаметре;

hт* - коэффициент полезного действия;

Тг* - температура газа перед турбиной.

1.4.1 ОСЕВЫЕ ТУРБИНЫ

а) Одноступенчатые осевые турбины.

Ступень осевой турбины состоит из неподвижного ряда лопаток (соплового аппарата) и рабочего колеса (вращающийся лопаточный венец). Схема ступени турбины представлена на рис.1.8.

Рис.1.8.

Вследствие высокой температуры перед турбиной числа Маха на входе в лопатки рабочего колеса меньше 1,0, несмотря на высокий уровень скорости потока, поэтому турбины ГТУ, как правило дозвуковые.

В лопаточных венцах ступени турбины течение конфузорное, поэтому могут быть реализованы большие, чем в компрессоре степени расширения. Так, в одной ступени турбины pт* достигает значений 2...3,5 при КПД до 0,88...0,92 и Uт ср  порядка 320...400 м/с. Температура газа перед турбиной в ГТУ с неохлаждаемыми лопатками рабочего колеса находится в пределах 1100...1350 К, а с охлаждением лопаток рабочего колеса 1400...1700 к.

Достоинства одноступенчатых турбин:

- малые диаметральные габариты при больших расходах

рабочего тела;

- высокий КПД;

-  простота компоновки в многоступенчатую схему.

Недостатки

- большое число деталей (лопаток) сложной формы;

- высокая стоимость материала и изготовления лопаток из

жаропрочных материалов.

б). Многоступенчатые осевые турбины.

По разным причинам турбины ГТУ и ГТД многоступенчатые. Это объясняется необходимостью срабатывания больших теплоперепадов, простотой компоновки осевых турбин в многоступенчатую схему. В ряде схем ГТУ, например с двухкаскадным компрессором турбина становится, как минимум, двухступенчатой. Кроме того известно, что КПД многоступенчатой турбины, как правило больше, чем в одноступенчатой и может достигать 94%.

Достоинства и недостатки многоступенчатых турбин совпадают с одноступенчатыми.

1.4.2 Радиальные турбины

К радиальным относятся: а)центростремительные, б)центробежные турбины. Схемы таких турбин показаны на рис.1.9.

Рис.1.9

Эти турбины получили распространение в маломощных агрегатах, например, в пневмоинструментах, вспомогательных силовых установках (ВСУ) и турбонасосных агрегатах (ТНА) жидкостных ракетных двигателей (ЖРД), т. е. при ограниченных расходах газа.

а). Центростремительные турбины. Схема центростремительной турбины представлена на рис.1.9а. Видно, что внешне она схожа со схемой центробежного компрессора, но газ течет от периферии рабочего колеса к центру и выходит в осевом направлении. Центростремительные турбины имеют большие габариты, чем осевые, а поскольку газ движется против действия центробежных сил, работа центростремительной ступени практически не превышает работу осевой.

б). Центробежные турбины. На рис 1.9б видно, что лопатки статора и ротора расположены на торцах дисков. Турбина имеет значительные диаметральные габариты, но окружная скорость в них ограничена по изгибным напряжениям в лопатках. Тем не менее такие турбины имеют преимущества перед осевыми при ограниченном расходе газа, когда КПД осевых становится недопустимо низким из-за малой высоты лопаток и очень сильного влияния радиального зазора. Радиальные турбины имеют меньшее число деталей, чем осевые.

2. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТУРБОМАШИН

2.1.Основные допущения и упрощения, применяемые в теории турбомашин.

В общем случае поток в полостях турбомашины имеет сложный пространственный характер, на который влияет сжимаемость и вязкость газа. Параметры, определяющие физические характеристики газа, такие как показатель изоэнтропы, коэффициент вязкости меняются по мере изменения давления и температуры. Определенное влияние на процесс энергообмена оказывает неравномерность потока в окружном и радиальном направлении, его турбулентность, пульсации, неустановившийся характер течения (нестационарность) и т. д. Кроме того, процесс передачи энергии в турбомашинах подчиняется закономерностям термо-газодинамических процессов и условий сохранения энергии, массы, количества движения и др. В то же время движение частиц газа происходит по законам механики.

Задача комплексного учета перечисленных и других факторов, влияющих на процесс в турбомашине, в настоящее время решена в виде, близком к реальному, для ряда частных случаев ( т. е. получены "точные решения"), в частности, для конфузорных течений в некоторых турбинах, низконагруженных ступеней вентиляторов и т. д. Это стало возможным в связи с внедрением в практику научно-исследовательских и ряда конструкторских бюро мощных современных ЭВМ.

Однако и в этих случаях не обходится без внесения в математическую модель некоторых упрощений и эмпирических данных. Поскольку особенностью рассматриваемой дисциплины является сочетание изучения рабочего процесса в турбомашинах с овладением навыками их газодинамического проектирования, вопросы теории турбомашин рассматриваются с учетом некоторых допущений и упрощений, применяемых при разработке инженерных методов расчета. С другой стороны, за длительный период создания турбомашин ГТУ накоплен значительный теоретическо-экспериментальный материал, обобщение которого существенно сократило и облегчило процесс разработки как турбин, так и компрессоров, параметры и характеристики которых согласуются с техническими условиями с достаточной для практических целей точностью.

Итак, при создании математических моделей инженерных методов расчета при газодинамическом проектировании и методов расчета характеристик обычно принимают следующие допущения:

1) течение в полостях турбомашины осесимметричное;

2) поток газа (жидкости) в полостях турбомашины установившийся.

ПЕРВОЕ допущение подразумевает, что во всех точках на окружности рассматриваемого радиуса с центром на оси вращения ротора параметры потока одни и те же. Это значит, что фактически не учитывается "загромождение" сечения опорами-пилонами и лопатками, а учет аэродинамических следов за телами в определенных математических моделях отсутствуют. На этом допущении основана математическая модель, позволяющая определять проточную часть турбомашины в меридиональном сечении и некоторые методы расчета характеристик. В таких математических моделях используются параметры, осредненные по сечению с соблюдением принятых условий соответствия реального (неравномерного) и осредненного (равномерного) потоков.

ВТОРОЕ допущение требует более обстоятельного рассмотрения. Предварительно следует обратить внимание на то, что в разных элементах кинематические характеристики потока различны. Так, в неподвижных элементах имеет место только абсолютное движение частиц или элементарных масс потока.

Рассмотрим это с использованием рис.2.1, где приведена схема диагональной ступени компрессора.

Рис.2.1.

Частица А, двигаясь по линии тока проходит через различные полости:

- в межлопаточном канале неподвижного направляющего аппарата (НА);

- в осевом зазоре между лопатками НА и рабочего колеса (РК);

межлопаточные каналы рабочего колеса, двигаясь вдоль оси и вращаясь вместе с колесом;

- в осевом зазоре между рабочим колесом и неподвижным лопаточным аппаратом за ним;

- в межлопаточном канале выходного аппарата.

Рассмотрим векторную диаграмму для частицы А в осевом зазоре за НА. В меридиональной плоскости частица движется по криволинейной траектории, наклонной к оси. Следовательно меридиональная скорость Сm 0будет иметь осевую Сa  и радиальную Сr составляющие скорости, т. е. Сm2  =(Сa2 + Сr2 ), причем вектор скорости Сm направлен по касательной к линии тока.

Если рассечь НА цилиндрической поверхностью, на которой расположена точка А, можно видеть сечение лопаток, отклоняющих поток в окружном (тангенциальном) направлении, а скорость имеет составляющую Сu. Векторная диаграмма в плоскости, касательной к цилиндру представлена на рис. 2.1 б).

Совмещая векторные диаграммы на рис. 2.1а, 2.1б, получается пространственная векторная диаграмма, отражающая мгновенную кинематическую картину для точки А (рис. 2.2). Таким образом результирующая скорость С частицы А является диагональю параллелепипеда.

В межлопаточном канале рабочего колеса частица продолжает двигаться по поверхности тока и одновременно вращается вместе с колесом, что приводит к появлению движения относительно лопаток.

Рис.2.2.

В этом случае абсолютная скорость является суммой переносной (окружной) и относительной (по отношению к колесу) скоростей, С = U + W.

Это равенство можно отобразить в виде плана скоростей для частицы, участвующей в сложном движении ( см. рис. 2.3)

Рис.2.3.

План скоростей пространственной мгновенной картины будет расположен в диагональной плоскости параллелепипеда, как это показано на рис. 2.4.

Рис.2.4.

Следует отметить, что проекции разных компонент скорости имеют некоторые особенности, в частности,

Cm = Wm; Cr = Wr ; Ca = Wa , а Cu = U + Wu, где U = wr.

Учитывая вышесказанное, рассмотрим насколько подробнее допущение об установившемся характере течения в полостях лопаточной машины

В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ в межлопаточном канале при равномерном вращении колеса независимо от времени частицы движутся по своим линиям тока определяемым положением линии тока по отношению к поверхностям лопаток, следовательно течение -УСТАНОВИВШЕЕСЯ.

Примечание1:  по ширине канала в различных точках на данном радиусе частицы движутся с разными скоростями, однако в расчетах часто пользуются осредненными значениями скоростей.

В ПЕРЕНОСНОМ ДВИЖЕНИИ на рассматриваемом радиусе при равномерном вращении течение также УСТАНОВИВШЕЕСЯ.

В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ частицы переходят с одной линии тока на другую поэтому движение - НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ.

На рис.2.5 схематично показаны траектории частиц в разных видах движения в решётке рабочего колеса осевой турбины.

Рис.2.5.

Примечание 2: в действительности через неподвижную точку пространства в абсолютном движении параметры потока колеблются с частотой прохождения межлопаточных каналов. Обычно параметры в пределах одного периода колебаний осредняют и тогда можно считать течение в абсолютном движении установившимся, что существенно упрощает решение многих практических задач. В теории тепло-энергообмена показывается, что если бы в действительности абсолютное движение было установившимся, то не было бы передачи энергии от лопаток к газу и наоборот.

2.2. Влияние вида движения на параметры потока.

Статические давление, температура и плотность - термодинамические параметры, т. е. скалярные величины и поэтому их величина не зависит от вида движения. В адиабатическизаторможенном потоке значения указанных параметров будут различаться в зависимости от рассматриваемого вида движения.

Обозначая заторможенные параметры с верхним индексом (*), а относящиеся к относительному и абсолютному движению нижними индексами (w) и (c) соответственно можно записать:

Тс* = Т + С2/2ср ь

э

Тw* = Т + W2/2ср ю

Решая относительно Т, можно получить связь температуры в абсолютном и относительном движениях:

Тс* = Тw* + (C2-W2) /2cр или Тw* = Тс* - (C2-W2) /2cр,

откуда видно, что С № W и Тc* № Т*w.

2.3. Расчетные модели турбомашин.

В зависимости от задач, решаемых при проектировании турбомашин, рабочий процесс рассматривается с разной степенью детализации. Например, если необходимо решать вопросы энерго и массообмена в комплексе определения и выбора параметров ГТУ, то нет необходимости рассматривать обтекание лопаток в отдельных лопаточных венцах. Турбомашина в данном случае является "черным ящиком", через который проходит некоторая масса рабочего тела (жидкость или газ), к которой подводится или отводится энергия в результате чего заданное изменение параметров на границах происходит с некоторой потерей энергии в процессе взаимодействие потока рабочего тела и лопаток. Здесь нет необходимости привязывать процесс к каким-либо координатам и такую модель можно назвать "НОЛЬМЕРНОЙ".

При газодинамическом проектировании и расчете характеристик турбомашин также целесообразно различать уровень детализации рабочего процесса. Причем, теорию турбомашин в принципиальном смысле составляют закономерности, изученные ранее в механике и термо-газодинамике сплошной среды, со всеми, характерными для этих наук гипотезами и выводами. В частности, подразумевается, что рабочее тело состоит из материальных тел, которые непрерывно и сплошным образом заполняют все пространство проточной части турбомашины, для него справедливы принципы сохранения, равновесия и т. д. Поэтому в теории турбомашин, также как и в указанных задачах различают уровни математических моделей по числу координат, использующихся на рассматриваемой стадии проектирования и оценки свойств турбомашин.

В "ОДНОМЕРНЫХ" расчетных (математических) моделях принято использовать параметры потока, осредненные определенным образом в поперечных сечениях (как правило вдоль оси вращения машины), так что параметры потока зависят только от одной координаты z(a). В рамках одномерной модели определяется соотношение термодинамических параметров при движении потока газа (жидкости) от входа к выходу, например, оценивается изменение давления, температуры, плотности и т. д., с применением термодинамических процессов и связей, диаграмм и с учетом изменения теплофизических свойств среды. Здесь же возможна оценка эффективности рабочего процесса (КПД) турбомашины. В пределах одномерной модели можно провести сравнение и выбрать тип турбомашины для конкретных целей. Для решения этих задач будут использоваться уравнения:

1.) неразрывности (расхода);

2.) энергии в тепловой форме;

3.) энергии в механической форме (уравнение Бернулли),

4.) количества движения (для определения осевых сил,

действующих на опоры ротора турбомашины).

ПРИМЕР: С помощью известного уравнения неразрывности,

записанного с использованием осредненных значений скорости

движения газа вдоль оси компрессора и плотности газа в

контрольных сечениях можно оценить высоту лопатки на выходе из

многоступенчатого компрессора при заданном расходе и степени

повышения давления.

Gв=Gк= rв ср Сав ср Fв = rк ср Сак ср Fк .

Если принять Сав ср= Сак ср, то Fk = (rв ср Сав ср Fв)/ (rк ср Сак ср).

Т. к. давление на выходе из компрессора больше, чем на входе и, следовательно rк ср > rв ср, то Fk < Fв. Если у компрессора средний диаметр постоянный, то hk=Fk/p Dср [м].

При проектировании лопаточной машины и рассмотрении вопросов, связанных с исследованием путей совершенствования рабочего процесса одномерная модель неприемлима. Тогда рассматривают ДВУМЕРНУЮ МОДЕЛЬ взаимодействия потока с лопатками. В этом случае течение рассматривается между осесимметричными поверхностями тока (S), располагающимися на расстоянии Dr, причем эта величина изменяется в направлении движения в соответствии с изменением параметров потока в связи с энергообменом в пределах данного элемента ступени и, строго говоря, следует учитывать изменение толщины слоя.

Поверхность тока, в общем случае, имеет произвольную форму. Для осевых ступеней поверхность тока близка к цилиндрической.

Принимая Dr®0, и разворачивая сечение, например, для ступени осевого типа на плоскость получают вид лопаточных венцов ступени на данном радиусе, причем число лопаток становится бесконечным и ступень представляется в виде нескольких рядов лопаток, в каждом из которых течение можно считать зависящим от двух координат (рис.2.6).

 

Рис.2.6

В двумерной постановке течение становится плоским, появляется возможность рассмотрения кинематических характеристик потока, анализировать процесс взаимодействия потока с лопатками и искать форму лопаток и комплекс геометрических параметров решеток, обеспечивающих энергообмен с минимальными потерями при заданной нагрузке на решетку. Используя известные уравнения, например, о моменте количества движения может быть получена связь величины подведенной (или отведенной) энергии в элементарной ступени, с кинематическими параметрами потока. В то же время соотношения, полученные при использовании двумерной модели справедливы только для данной поверхности тока, но не дают представления о связи течения в отдельных сечениях между собой. Картину течения по высоте лопатки можно получить, если считать, что лопаточный венец является совокупностью бесконечного количества элементарных сечений от корня лопатки до периферийного сечения. В этом случае пространственный характер взаимодействия потока и лопаток представляется в виде КВАЗИТРЕХМЕРНОЙ модели. В реальном пространственном потоке слои рабочего тела связаны между собой достаточно сложными процессами, учет которых возможен при рассмотрении взаимодействия потока с лопатками в ТРЁХМЕРНОЙ модели течения, с учетом инерционных, вязкостных и других эффектов. Очевидно, что трехмерная модель наиболее полно отражает реальный процесс и ей следует отдавать предпочтение при решении задач проектирования турбомашин.

В то же время это самая громоздкая и трудоёмкая модель, позволяющая получить данные о пространственном облике лопаточного венца, вплоть до рабочего чертежа лопатки, что не всегда требуется.

Упрощенный подход к решению задач пространственного течения в ступени турбомашины предложил . В соответствии с его идеей реальное течение сводится к двум двухмерным задачам о течении в слоях, образуемых поверхностями тока S1 и S2 [2], схематически представленых на рис. 2.7.

Рис. 2.7

На практике принято рассматривать «прямую» и «обратную» задачи.

Прямая задача – определение параметров потока при заданной геометрии лопаточного венца (в двух - или трёх-мерном представлении).

Обратная задача – определение геометрических параметров лопаточного венца при заданных параметрах потока.

Поскольку на начальной стадии газодинамического проектирования геометрические параметры лопаточных венцов не известны, то задачу как в двухмерной, так и в трёхмерной модели обычно решают методом последовательных приближений.

При разработке турбомашин широко используются различные расчетные модели. Применение ЭВМ позволило раздвинуть область применения двух - трехмерных моделей, однако при оценочных расчетах и при формировании облика турбомашин нередко обходятся одно- двухмерными моделями.

2.4. Уравнение расхода.

Уравнение расхода (неразрывности) для струйки тока рассматривается в фундаментальных курсах механики жидкости и газа. Применительно к турбомашинам это условие сохранения массы при движении жидкости (газа) применяется как при рассмотрении всей турбомашины, так и при анализе течения в элементах.

При установившемся течении секундный массовый расход газа через поперечное сечение элементарной струйки постоянный.

Если сечения нормальны к оси струйки то уравнение неразрывности запишется следующим образом:

DG= r1С1DF1n= r2 C2 DF2n, (2.1)

где DF1n и DF2n - площади элементарной струйки, нормальные к оси струйки. Если сечения не перпендикулярны оси струйки, то нужно рассматривать нормальную составляющую скорости в этом сечении

Cn = C sin a, а уравнение неразрывности запишется:

DG= r1C1nDF1=H=r2C2nDF2 (2.2)

В турбомашинах нормальная составляющая скорости есть проекция на ось машины, тогда в (2.2) C1n=C1a ;C2n=C2a .

Используя осредненные параметры, (2.2) можно записать в виде

G = r1C1aF1 = r2C2aF2 (2.3)

При известных эпюрах изменения параметров по площади сечения уравнение неразрывности записывается в интегральной форме:

G = ( тF rCadF)1 = (тF rCadF)2 (2.4)

Выше рассматривалось, как с использованием уравнения неразрывности можно оценить высоту лопатки на выходе из осевого компрессора, т. е. применяя одномерную модель машины. В этом случае применяют самые простые способы осреднения параметров в контрольных сечениях и задача решается достаточно просто.

В двумерных, а особенно в трёхмерных моделях параметры, входящие в уравнение расхода, записанное в той или иной форме, должны осредняться с учетом специфики конкретной задачи и с выполнением более полных требований теории осреднения параметров.

При расчетах турбомашин широко применяют уравнение расхода, записанное в заторможенных параметрах с использованием газодинамической функции плотности тока q(l):

G = m P* q(l)sin aF/ Ц`T* (2.5)

2.5. Уравнение энергии.

2.5.1 Уравнение энергии в тепловой форме.

Рассмотрим энергетический баланс потока входящего и выходящего из некоторого элемента, расположенного между сечениями 1-1 и 2-2, (рис.2.8).

Рис.2.8

Обозначая полный запас энергии газа в сечении 1-1 через Е1, а в сечении 2-2 через Е2, предположим, что к газу подведена (или отведена) внешняя энергия Евн в механической (Lвн) и тепловой (Qвн) форме.

Примем, что Евн подведена, т. е. имеет знак «+», тогда:

Е1 + Евн = Е2 (2.6)

При установившемся движении расходы газа через сечение 1-1 и 2 равны, тогда все члены уравнения сохранения энергии можно представлять отнесенными к 1 кг газа. Полная энергия 1 кг газа в каждом сечении состоит из внутренней энергии CvT, потенциальной энергии p/r и энергии положения gH, следовательно:

Е = СvT+ P/r + C2/ 2 + gH (2.7)

Пренебрегая изменением энергии положения, запишем уравнение

(2.6) с учетом (2.7):

CvT1 + P1/r1 + C12/2 + Lвн + Qвн = CvT2 + P2/ r2 + C22/2 (2.8)

Поскольку P/r = RT, а СvT + RT = CpT , (2.8) можно записать, решая относительно Lвн:

Lвн = Сp ( T2 - T1) + ( C22 - C12 )/2 + Qq (2.9)

Т. к. Ср Т = i (i - энтальпия газа), то после преобразований получаем

Qвн = (i2 - i ) + (C22- - C12)/2 + Qq (2.10)

Это выражение называют УРАВНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ, или в ФОРМЕ ТЕПЛОСОДЕРЖАНИЙ.

Уравнение (2.10) соответствует случаю, когда энергия подводится к газу, что имеет место в компрессоре.

Тогда Lвн = Нт, где Нт - удельная работа, подведенная к газу, называемая ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ.

Согласно (2.10) Hт =( i2- i1 ) + ( C22 - C12)/2 + Qq, (2.11)

или Нт= Ср(Т2 - Т1) + ( С22 - С12)/2 + Qq . (2.12)

Применяя заторможенные параметры можно записать:

Нт = Ср (Т*2 - Т*1) + Qq = ( i*2 - i*1) + Qq (2.13)

Для турбины уравнение энергии в форме теплосодержаний имеет вид:

Lu = Cp(T1 - T2) + ( C12 - C22)/2 - Qq (2.14)

или в заторможенных параметрах:

Lu = Cp (T*1 - T*2) - Qq = ( i*1 - i*2) - Qq (2.15)

Lu называют ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАБОТОЙ ТУРБИНЫ.

2.5.2 Уравнение энергии в механической форме. (Обобщённое уравнение Бернулли)

Согласно 1 закона термодинамики тепло, которым обладает выделенная масса соответствует внутренней энергии и тепла, соответствующего работе сил давления, т. е.

Q = Cp( T2 - T1) - т12 dP/r, (2.16)

с другой стороны тепло, сообщенное газу складывается из тепла, выделенного в результате потерь трения минус тепло, отведенное во вне,

т. е. Q = QRk - Qq, а т. к. QRk = LRk, то

Q = LRk - Qq (2.17)

Сопоставляя (2.16) и (2.17) можно записать:

Q = Lrk - Qq = Cp(T2 - T1) - т12dP/r, (2.18)

Из уравнения энергии в форме теплосодержаний

СP(T2- T1) = Hт - Qq - ( C22 - C12)/2 (2.19)

Приравнивая правые части и решая относительно Нт получим:

Нт = т12 dP/ r + (C22- C12)/2 + LRk - для компрессора (2.20)

Lu = т21 dP/ r + (C12- C22)/2 - LRk - для турбины (2.21)

Эти выражения называют уравнением энергии в механической форме

(форма Б) или обобщенным уравнением Бернулли.

Применим эту форму уравнения к насосу.

Для жидкости

т12dP/r = (P2 - P1)/r, т. к.. r1 = r2= r (2.22)

тогда НТ = (Р2 - Р1)/r + (C22 - C12)/2 + LRK (2.23)

Если переписать это выражение в виде:

P1/r + C12/2 = P2/r + C22 /2 + LRk - HT,

т. е. получено известное в гидродинамике уравнение Бернулли.

2.5.3 УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РАБОЧЕГО КОЛЕСА ТУРБОМАШИНЫ С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ ВНЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

Теоретическая работа не является идеализированной величиной. Она учитывает потери LRk, сопровождающие течение реального рабочего тела внутри выделенного контрольного пространства, т. е. при обтекании лопаток. Однако, в рабочем колесе всегда существует радиальный зазор, а лопатки располагаются на ободе диска, поэтому в уравнение энергии необходимо включить потери в радиальном зазоре Lзаз и на трение о диск Lf.

Обозначая, в частности в компрессоре, через Lk всю работу, затраченную на сжатие и гидравлические потери и полагая, что Lзаз и Lf равномерно распределяются между линиями тока по всей высоте лопаточного венца получим:

Lk = НT + Lзаз + Lf = т12 dP/r + (С22 - С12)/2 + LRK + Lзаз + L f (2.24)

Для осредненных значений параметров потока на среднем радиусе лопаточного венца* уравнение энергии для рабочего колеса совпадает с его видом для струйки тока, но это требует написание параметров с индексом «ср». В дальнейшем этот индекс будем опускать.

В многоступенчатом компрессоре L k = 1Sz L k i (2.25)

* ПРИМЕЧАНИЕ: средним радиусом лопаточного венца компрессора по ГОСТ-у является радиус окружности, делящей площадь кольцевого сечения на две равные части, а в турбине - радиус, делящий высоту лопатки пополам. Однако, для простоты, будем считать и в компрессоре средний радиус также, как в турбине.

В ТУРБИНЕ с учетом потерь вне контрольного пространства

уравнение энергии примет вид:

LT = т12dP/r + (C12-C22)/2 - LRk - Lf - Lзаз (2.26)

2.5.4 УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ СТУПЕНИ ЛОПАТОЧНОЙ МАШИНЫ

а) ОСЕВОЙ КОМПРЕССОР

Поскольку ступень осевого компрессора включает в себя два элемента: рабочее колесо, расположенное между сечениями 1 и 2 (рис.2.6) и направляющий аппарат (НА) между сечениями 2 и 3, то следует выяснить роль НА в работе сжатия ступени.

Уравнение энергии для НА запишется в виде:

Нт на = 0 = т23dp/r + (C32 - C22)/2 + LR на (2.27)

Отсюда можно найти изменение статического давления в НА, произошедшее за счет изменения кинетической энергии:

(С22 - С32)/2 = т23dP/r + LR на (2.28)

Взяв уравнение энергии для рабочего колеса компрессора (2.20), прибавим и вычтем из него отношение С32 :

Нт = т12dP/r + LR k + C22/2-C12/2+C32/2 -C3/2 ,

перегруппируя члены, получим:

Нт= т12dP/r+ LRk +(C32-C12)/2+(C22-C32)/2 ,

заменяя последний член из (2.28) получим:

Нт=т12dP/r+LRk+(C32-C12)/2+т23dP/r+LRна,

объединяя интегралы и обозначая Lrk + LR на = LR запишем:

Н= т13 dP/r + LR + (C32-C12) (2.29)

Уравнение энергии в форме теплосодержаний будет иметь вид:

Нт = Ср (Т3 - Т1) + Qq + (C32-C12)/2 (2.30)

б) Для ОСЕВОЙ турбины в механической форме:

L u= т20 dP/r - LR + (C02-C22)/2 (2.31)

В форме теплосодержаний:

L u = Cp (T0 - T2) - Qq + (C02-C22)/2 (2.32)

2.6. Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашины.

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й ФОРМЕ

Ранее отмечалось, что сообщение энергии газу, или отбор её в турбомашинах осуществляется за счет взаимодействия потока с лопатками, расположенными на ободе диска, который врашается вокруг оси. К валу подводится или отводится мощность. Её величина может дыть определена, если известна угловая скорость вращения и момент, приложенный к валу:

N = w M (2.33)

Момент, переданный массе газа, или отведенный от него можно определить рассматривая силовое взаимодействие потока и лопаток с использованием теоремы о подъёмной силе крыла или системы крыльев (решетки), что требует точных данных о геометрических параметрах лопаток, которых на стадии проектирования обычно ещё нет.

С другой стороны, его можно определить, если иметь возможность сравнить момент количества движения массы газа (жидкости), протекающий через некоторый контур.

Применительно к элементарной массе, согласно теореме о моменте количества движения, производная по времени от момента количества движения частицы массой Dm относительно какой-либо оси равна равнодействующей моментов всех внешних сил, приложенных к данной массе, т. е. :

(2.34)

Если применить эту теорему ко всей массе жидкости, находящейся в каналах рабочего колеса, то её можно сформулировать следующим образом: «Изменение момента количества движения жидкости, протекающей через выделенный контур равно сумме всех моментов внешних сил, приложенных к жидкости, находящейся в межлопаточных каналах рабочего колеса.»

Проведем контрольную поверхность эквидистантно контуру рабочего колеса так, чтобы она плотно прилегала к нему, как это показано на рис. 2.9.

Рис.2.9

Для твердых частиц, составляющих конструкцию колеса момент количества движения можно записать в виде:

тв DMтв, (2.35)

где u = wr, а w - угловая скорость вращения колеса.

Суммируя момент количества движения всех частиц, находящихся в выделенном контуре, получим:

SDm+SSDM (2.36)

В правой части сумма моментов внешних сил состоит из момента, подведенного к валу ( Мz) на участке d-d и из момента сил трения на поверхности диска и бандажа рабочего колеса ( М f), действующего против направления вращения. В эту сумму не входят силы внутреннего трения и давления, т. к. при сложении они взаимоуничтожаются.

Учитывая вышесказанное и обозначив S DM = М, запишем:

М = М z - М f (2.37)

Момент, приложенный к валу компрессора имеет положительный знак, т. е.

М = М z – Мf (2.38)

в турбине, где момент отводится от вала - он отрицательный, т. е.

- M = - M z + M f , (2.39)

но поскольку в турбине Mz >M f, (M f » 10% Mz), суммарный момент внешних сил также всегда отрицательный.

Рассмотрим левую часть уравнения (2.36).

Поскольку принято, что движение установившееся, w = const, то

S= 0 (2.40)

Таким образом получаем, что момент внешних сил равен изменению момента количества движения частиц, находящихся в межлопаточных каналах рабочего колеса

S D M= SDm (2.41)

Момент количества движения изменяется:

1. потому, что частицы в мгновенной картине течения двигаются по определённой линии тока (конвективное изменение);

2. из-за неустановившегося течения в абсолютном движении, что отображается производной по времени момента количества движения.

Имея ввиду, что за некоторое время масса жидкости, находящаяся между поверхностями а-а/ и b-b/ изменит момент количества движения. Разность момента количества движения жидкости, проходящей через входное и выходное сечение рабочего колеса может быть записана в интегральной форме (с учётом осредненных по сечениям параметров) в виде:

М = Сu2 r2 dG - Сu1 r2dG , (2.42)

где dG = Dm1/ dt = Dm2 / dt при Dm1= Dm2 .

Переходя к суммарному расходу через колесо и имея ввиду осредненные по высоте лопаток значения Сu1 и Сu2, можно записать для компрессора

В компрессоре момент количества движения частиц газа M = Mкт называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, сообщенным газу, а Mz=Mk моментом, подведенным к валу и затраченному на сообшение газу теоретического момента с учетом потерь на трение газа о диск,

тогда

M k = Mкт + M f. (2.43)

Мкт = G(Сu2 r2 - Cu1r1) (2.44)

В турбине момент количества движения жидкости протекающей через выделенный контур уменьшается, тогда по выражению (2.37) величина М будет отрицательна. её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, отобранным от газа в ТУРБИНЕ, тогда - М = - Мu и выражение (2.42) в осредненных параметрах для турбины будет :

- M u = G(C u2r2 - Cu1r1), (2.45)

но т. к. в турбине Сu1 > Cu2 , то в скобке будет отрицательная величина.

Тогда минусы в обоих частях равенства сократятся, а для того, чтобы в скобках получившаяся разность стала положительной, условились считать В ТУРБИНАХ проекцию абсолютной скорости на окружную, направленную против окружной скорости - положительной, тогда выражение (2.48) записывается в виде:

Мu = G(Cu1r1+ Cu2r2) (2.46)

У турбин обычно a2< 900 ( см. план скоростей на рис.1.8), поэтому принятое положительное направление Сu2 позволяет правильно определять величину в скобках.

Таким образом, на основании уравнения о моменте количества движения получены выражения, связывающие удельную работу, затраченную на сжатие газа в компрессоре (2.44) и отобранную у газа в турбине (2.46) в результате взаимодействия потока с лопатками.

Известно, что момент связан с мощностью на валу через угловую скорость:

Мw = N [вт ], (2.49)

тогда с учётом того, что wr = u

в компрессоре: Nкт = Nk + Nf = G(Сu2 u2 - Cu1 u2) ь

э (2.50)

в турбине: Nu = Nт + Nf = G(Cu1u1+ Cu2u2). ю

Отношение мощности к расходу называют удельной мощностью или работой, подведенной или отведенной от одного килограмма рабочего тела.

В компрессоре её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ и обозначают соответствии с ГОСТ-ом Нт

Н т= Lk - Lf = Сu2 u2 - Cu1 u1, (2.51)

где Lk - удельная работа, затраченная на сжатие газа в компрессоре.

В ТУРБИНЕ удельную теоретическую работу обозначают Lu:

Lu= L т + L f = C u1u1+ Cu2u2 , (2.52)

где L т - удельная работа переданная от газа валу турбины.

Размерность удельной работы : Дж/кг, или в основных единицах м2/с2.

В теории турбомашин выражения (2.51) и (2.52) называют уравнениями Эйлера в 1-й форме..

Видно, что уравнения Эйлера позволяют вычислять теоретическую работу по компонентам планов (треугольников) скоростей (рис. 1.3, 1.8).

ПРИМЕЧАНИЕ 1. «Теоретическая» работа не идеализированное понятие. В неё входят все гидравлические потери внутри контрольного пространства.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. В приведенных выше формулах величины Сu1 и Cu2 являютсяя осредненными по шагу решетки на рассматриваемом радиусе, но без учёта полей скоростей по высоте лопаток. Влияние неравномерности полей параметров по высоте лопаток принято учитывать введением поправки W, называемой в компрессоре коэффициентом затраченной работы, а в турбине - коэффициентом уменьшения работы, т. е. в действительности

в компрессоре HктW = Hкт| ь

э (2.53)

в турбине Hu W = Hu| ю

Величина W < 1 и @ 0,97-0,98.

2.6.2 Учёт влияния радиального зазора на удельную работу рабочего колесa

Поскольку между торцом лопаток рабочего колеса и статором всегда есть радиальный зазор, то часть газа проходит за пределами контрольного пространства и не участвует в получении полезного эффекта, т. е. является потерянной.

В КОМПРЕССОРЕ течение схематически показано на примере осевой ступени (рис.2.10а).

Рис.2.10

Видно, что энергию нужно подводить к расходу Gk, причем,

Gk = Gв+Gзаз, (2.54)

т. е. если Gв - расход, идущий потребителю, то энергия подводится к расходу, превышающему его за счет того, что часть расхода возвращается на вход в колесо через зазор из-за того, что давление за рабочим колесом компрессора больше, чем на входе.

Имея ввиду, что удельная работа есть Nк / Gв, то обозначая Nк’ действительную мощность, затраченную на создание напора в компрессоре запишем:

Nк’=Gк Н т W + Nf, или с учетом (2.54):

Nк’ /Gв= Lк’= (Gв+Gзаз)/ Gв)НтW + Nf/ Gв,

следовательно получаем:

Lк ‘= Нт’ + (Gзаз / Gв)НтW + Lf = Hт’ + Lзаз + Lf, (2.55)

где Lзаз = (Gзаз / Gв)НтW,

т. е. действительная мощность, затраченная на вращение колеса компрессора больше мощности, затраченной на повышение давления газа с расходом Gв, на величину Lзаз .

В ТУРБИНЕ в соответствии со схемой течения в осевой ступени, приведённой на рис. 2.9б расход газа, у которого отобрана энергия в лопаточном венце рабочего колеса,

G т = Gг - G заз (2.56)

Поскольку действительная мощность, полученная на валу турбины, с учётом неравномерности поля скоростей по высоте лопатки, получим:

Nт’= GтLu’ - Nf .

Разделив на расход газа через турбину Gг, запишем

Nт’ / Gг= Lт’= (Gт Lu’ W )/ Gг - Nf / Gг =[(Gг - Gзаз) Lu’ W ] / Gг - Lf, откуда:

Lт’ = Lu’ - Lзаз - Lf , (2.57)

где (Gзаз Lu’ W ) / Gг = Lзаз.

Итак, удельная работа на валу турбины меньше теоретической на

величину Lзаз, т. е. работы, которая не была отобрана у газа, прошедшего мимолопаток через радиальный зазор, т. е. Lт’ < Lu’ .

2.6.3 Частные случаи записи уравнения момента, мощности и удельной работы

Частные случаи уравнения Эйлера будем рассматривать для момента, мощности и удельной работы без учёта потерь вне контрольного пространства.

1) Центробежное колесо с радиальным входом (рис.2.11).

а) Перед рабочим колесом есть неподвижный направляющий аппарат (ННА).

Рис. 2.11

Для этого случая, считая поток осесимметричным, уравнения сохраняются в общем виде: Мкт = G(Сu2 r2 - Cu1r1 );

Nкт= G(Сu2 u2 - Cu1 u1);

Н т = Сu2 u2 - Cu1 u1.

б)При отсутствии ННА (С1u=0): Мкт = GСu2 r2; Nкт= GСu2 u2; Н т = Сu2 u2.

2). Для центробежного компрессора с осевым входом и закруткой потока по радиусу по разным законам.

а). Закон постоянства циркуляции (G=Cur=const):

Мкт = G(Сu2 r2 - Cu1r1 );

Nкт= G(Сu2 u2 - Cu1 u1)

Н т = Сu2 u2 - Cu1 u1, т. е. как в случае (1а).

б). Произвольный закон изменения Сu1: Мкт = GСu2 r2 - тrвтrк Cu1r1 dG;

Nкт= GСu2 u2 - тrвтrк Cu1;

Н т = Сu2 u2 - (тrвтrк Cu1 u1)/G.

Если ННА нет, то вторые члены равны нулю.

3). Осевой компрессор.

Считая течение цилиндрическим будем иметь:

Мкт = Gr(Сu2 - Cu1);

Nкт= Gr(Сu2 - Cu1);

Н т = u(Сu2 - Cu1).

Аналогичные выражения можно записать и для турбины.

2.6.4 Вторая форма уравнения Эйлера

Рассматривая, например, радиальное колесо компрессора и планы скоростей на входе и на выходе в нём (рис. 2.12) получим для относительных скоростей на входе и выходе: Рис. 2.12.

Рис.2.12

W22=C22+U22-2U2C2 cosa2 ь

W12=C12+U12-2U1C1 cosa1 ю

В этих выражениях С cosa=Сu соответственно в сечениях 1и2.

Вычитая из первого выражения второе получим:

(W22- W12 ­)/2 = [(C 22- C12 )/2 + ­(U22- U12 ) /2 ] - (U2 C2u - U1 C1u) (2.59)

Третий член справа есть выражение формулы Эйлера в первой форме, т. е.

(U2 C2u - U1 C1u) = Нт, поэтому выражение (2.59) можно записать так:

Нт = (W12- W22)/2 +(C 22- C12)/2 +( U22 - U12 )/2 (2.60)

Аналогичным образом можно получить формулу для теоретической работы турбины:

Lu = (W22- W12)/2 +(C 12- C22)/2 +( U12 – U22)/2 (2.61)

Таким образом теоретическая работа может быть выражена в виде суммы разностей кинетических энергий на входе и выходе из рабочего колеса турбомашины в относительном, абсолютном и переносном движениях.

Выражения (2.60) и (2.61) называют уравнениями Эйлера во второй форме.

2.6.5 Силовое взаимодействие потока с лопатками.

Жуковского

Момент, возникающий при взаимодействии потока с лопатками может быть определен с помощью теоремы о подъёмной силе крылового профиля для решетки профилей.

Согласно этой теоремы подъёмная сила - G, возникающая на каждом профиле в решетке профилей при обтекании её потоком, зависит от циркуляции скорости вокруг профиля, которая определяется как произведение шага профилей - t на разность проекций скоростей на входе и выходе из решетки на окружное направление - (Dw)u т. е.

G = t (Dw)u, где (2.62)

(Dw)u = wu1 - wu2

На рис. 2.13а показана схема решетки профилей и диграммы сил и скоростей.

Рис. 2.13

На рис. 2.13а показана схема компрессорной решетки профилей, а на рис. 2.13б диаграммы скоростей и сил, действующих на профиль в данном сечении при обтекании его потоком при скорости на входе W1.

Силу R, приложенную к каждому профилю можно представить как сумму проекций на окружное - Ru и осевое - Ra направления;

R= Ц Ru2 + Ra2 = rmWmGm, где (2.63) rm= Ц r1r2 , Wm - средневекторная скорость:

Wm= (W1 + W2)/2.

В свою очередь Ru=rm Ca t (Dw)ur, а Ra=rm Wmu t (Dw)u. (2.64)

Момент, который должен быть приложен для вращения лопаточного венца, состоящего из Z лопаток на рассматриваемом радиусе, может быть определён как произведение окружной составляющей силы на число лопаток и на радиус: МSu=S Ru r Z.

При делении на секундный расход получают формулу Эйлера в относительном движении:

Нт=(S Ru r Z)/G [Дж/кг] (2.65)

Силу R можно вычислить также по подъёмной силе Ry и силе сопротивления Rх, действующих на каждый профиль рассматриваемого сечения на радиусе r, которые вычисляются по формулам:

Ry=Су rm b (Wm2/2); Rx=Сx rm b (Wm2/2), где

Cy и Сх - коэффициенты подъёмной силы и силы сопротивления.

Эти коэффициенты определяются экспериментально или теоретическим путем после расчета эпюр распределения скорости (давления) по контуру профиля (рис.2.14), по которой интегрированием можно найти усилие, действующее перпендикулярно хорде профиля и приложенное, в первом приближении, например, в центре тяжести профиля, а силу сопротивления вычисляют одним из методов, например, расчетом пограничного слоя по той же эпюре распределения скорости.

Рис.2.14

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТУРБОМАШИНАХ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ В P-V, T-S И i-s диаграммах

Используя возможность наглядного представления процессов в термодинамических диаграммах можно отразить отдельные элементы уравнений энергии, получать физическое представление о влиянии ряда факторов на процесс энергообмена в турбомашинах, а при размерном отображении процессов вычислить величину энергии и оценить эффективность её преобразования, т. е. КПД турбомашины.

Ниже рассматриваются основные приёмы отображения отдельных составляющих уравнений энергии в различных термодинамических параметров: давление - удельный объём (P-V); температура - энтропия (T-S); энтальпия - энтропия (i - S).

3.1 КОМПРЕССОР

3.1.1 Изображение процесса сжатия в компрессоре в P-V диаграмме

Рис 3.1

1). На рис.3.1 пл.( Рv - в - Vв -0 ) ~ работе всасывания Lвс Lвс = Рv Vв ;

2). пл.( в-к-Vв - Vв )~ работе политропическогосжатия Lсж Lсж = т Р dV

3). пл.( Рк - к - Vк -0 ) ~ (соответствует) работе выталкивания (подачи)

При суммировании площадей (работ) следует иметь ввиду, что на энергию всасывания работа не тратится, поэтому можно её вычесть из общей работы, затрачиваемой на привод компрессора.

Тогда работа, затраченная на повышение давления от Р2 до Рк отобразится площадью в-к-Рк - Рв, расположенной слева от кривой, изображающей термодинамический процесс и являющейся политропической работой сжатия Lkv.

Lkv = тVdP = т (dP/r) (3.1)

В соответствии с уравнением энергии в механической форме (в форме Бернулли) теоретический напор равен:

Нт = т (dP/r) + (Ск2- Св2 )/2 + LR (3.2)

На Р-V диаграмме без специальных построений не отображаются потери и кинетическая энергия, поэтому получают представление лишь о величине политропическрй работы сжатия (формула 3.1).

Политропический процесс выражается условием: Pvn = const.

Если принять в процессе сжатия n = const т использовать уравнение энергии в тепловой форме, то можно записать:

Lkv = т (dP/r)=(n/n-1)R(Тк - Тв) = (n/n-1)RТв[ (Тк /Тв -

Отношение температур можно заменить отношением давлений, т. к. они связаны по уравнению политропы:

(Тк /Тв ) = (Рк/Рв)(n-1)/n , а (Рк /Рв) = pк - степень повышения давления,

(Часто pк называют «степенью сжатия». Однако, строго говоря, так называется отношение плотностей - e = (rв/rк) ).

С учётом изложенного, можно записать:

Lkv = т (dP/r)=(n/n-1)RТв [pк (n-1)/n - 1] (3.4)

Т. к. показатель политропы зависит от величины потерь и тепловыделения, то часто для оценки энергообмена обращаются к идеализированному представлению процесса - изоэнтропичкескому, т. е. процессу без потерь. В этом случае показатель изоэнтропы k для определённого газа известен и вместо политропической работы сжатия, в частности в компрессоре, можно использовать выражение, аналогичное (3.4) , которое позволяет вычислить изоэнтропическую работу сжатия Lks.

При n = k, т. е. при равенстве отведённого тепла dQq теплу потерь dQR, выражение (3.4) можно переписать:

Lks =[ т (dP/r)]s=(k/k-1)RТв [pк (k-1)/k - 1] (3.5)

С помощью Р-V диаграммы можно показать разницу (Lкv - Lks)= D L, которую принято называть дополнительной работой сжатия (см. рис.3.2)

Рис.3.2

Отводом (подводом) тепла можно изменять показатель политропы.

При dQ <0, n < k, при n = 1 процесс изоэнтропический (см. рис. 3.3), т. е. процесс отображается правой крайней линией, если dQ >0, n > k.

Рис.3.3

В пределе n = Ґ - изобарный процесс - правая вертикальная линия на рис.3.3.

Величину D L иногда называют тепловым сопротивлением, т. к. она при отводе тепла тратится на компенсацию увеличения объёма газа при выделении тепла, соответствующего потерям, сопровождающим реальный процесс.

Иначе: при наличии потерь для повышения давления на заданную величину необходимо затратить энергии больше, чем это могло быть, если бы в результате выделения тепла потерь не увеличивался удельный объём газа.

3.1.2 Изображение процесса сжатия в компрессоре в T-S диаграмме

В полном объёме всю информацию об отдельных составляющих уравнений энергии можно получить отображая процессы, проходящие в турбомашинах в Т-S - диаграмме.

1).Рассмотрим процесс сжатия газа в компрессоре, пренебрегая теплоотводом и считая скорость до и после ступени одинаковой, т. е.:dQq = 0 и Ск =Св .

В этом случае обозначим Нт = Нтх, тогда уравнение энергии в механической форме примет вид:

Нтх = т (dP/r)+ LR (3.8)

Процесс сжатия в Т-S диаграмме показан на рис.3.4.

Рис. 3.4

Напомним, что в Т-S диаграмме изобары эквидистантны, а поскольку процессы взаимодействия лопаточных венцов с реальным газом сопровождаются потерями, то энтропия рабочего тела (газа) увеличивается. Кроме того, площадь под линией в-к отображает тепло, выделившееся в результате процесса, т. е.:

dQ = T dS, a Q = твк СрdT (3.9)

В рассматриваемом случае при политропическом процессе сжатия от давления Рв до Рк

dQ=dQq + dQr. Т. к. dQq = 0, dQ = dQr (3.10)

Следовательно, площадь под линией в-к, соответствующая политропическому процессу сжатия - пл. в-к-Sk-Sв-в, отображает тепло, выделившееся в связи с наличием потерь Qr и равно Lr.:

Qr = Lr = твк СрdT (3.11)

Для нахождения работы сжатия рассмотрим процесс сжатия как разность площадей под кривыми, обозначенными 0 - к и 1 - в.

ПРИМЕЧАНИЕ. Реально изобары Рв и Рк с осью S не пересекаются. Они асимптотически приближаются к ней.

В данном случае точки 0 и 2 поставлены на оси S условно.

При таком подходе работа сжатия, найденная таким образом, будет разностью двух изобарных процессов Рк = const и Pв = const:

Нтх = Ср(Тк - 0) - Ср(Тв -

[(пл. Sк -2 - к - Sк ) - (пл. Sв - 1 - в - Sв )]

T. к. изобары эквидистантны, площади (4-2-3) = (Sв - в-1), то

Нтх отображается площадью Sк - к-3-4-Sк.

В то же время, т. к. в соответствии с (3.8) Нтх = твк (dP/r)+ LR, а

пл. в-к-Sk-Sв-в ~ Lr, то пл. (в-к-3-4-Sв -в) ~твк (dP/r), где знак «~«

означает «соответствует».

При изоэнтропическом процессе DS = 0, Lr = 0 и

пл. (в-Кs-3-4-Sв -в ) ~Нтs =[ твКs (dP/r) ] и

пл. (в-Кs-к) ~DL = твк (dP/r) - [твКs (dP/r)] (3.13)

Таким образом, при dQq = 0, Hk = Hkx = Hтх + Lr +DL, (3.14)

а Lr +DL = Lr’ ,

т. е. безвозвратным потерям Lr’ ~ пл. (Sв - Кs - K - Sк) (3.15)

2). Рассмотрим поцесс сжатия при условиях:

Qq № 0, но Cк = Св.

При отводе тепла показатель политропы n уменьшится. На диаграмме (рис. 3.5) процесс будет представлен линией в-к’.

Рис.3.5

Отведённое тепло представится разностью дополнительных работ

(DL - DL’) = Нтх - Нтх ‘ = Qq.

При этом величина Lr = idem.

Если Qq = Lr , выигрыш равен дополнительной работе DL.

В принципе, при интенсивном отводе тепла может быть реализован изотермический процесс сжатия, однако, следует иметь ввиду, что затраты энергии на преодоление потерь сохранятся при отводе любого количества тепла.

Отвод тепла в процессе сжатия может быть средством форсирования, например авиационного ГТД, путем впрыска жидкости в проточную часть. В стационарных многоступенчатых компрессорных установках отвод тепла применяют, практически всегда, т. к. есть возможность пропустить газ через теплообменник перед подачей его в следующую ступень сжатия.

3). Процесс сжатия при Qq = 0, но Cк № Св.

В этом случае процесс сжатия представляется, практически, в заторможенных параметрах, т. е. проходит от изобары Рв* до Рк*.

Рис.3.6

Политропу сжатия в этом случае можно провести условно, т. к. в действительности такого процесса нет, а переход от статических параметров к заторможенным проводят при допущении о изоэнтропическом характере такого перехода в связи с удобством использования заторможенных параметров при экспериментальных исследованиях. Очевидно, что при рассмотрении процесса сжатия в заторможенных параметрах нет физических причин для возрастания потерь. Поэтому потери отображает площадь под кривой реального политропического процесса т. е. под кривой В-К.

Несмотря на указанные условности, изображения процесса сжатия в заторможенных параметрах это представляется полезным, т. к. можно более полно представить все составляющие уравнения энергии.

3.1.3 Изображение процесса сжатия в компрессоре в I-s диаграмме

Процесс сжатия при Qq =0 и Св = Ск представлен на рис 3.7.

В этом случае, т. к. Нтх - Нтs = Lr + DL, то отрезок ik - iв = Lr + DL.

Рис.3.7

Как видно, в i-S диаграмме нельзя отдельно увидеть потери и дополнительную работу сжатия. Поэтому сжатия в i-S диаграмме представляют обычно при качественном анализе процесса сжатия в компрессоре.

ПРИМЕЧАНИЕ

Рассмотрение процессов повышения давления, например. в Р-V диаграмме позволяет получить наглядное представление о разнице в затраченной работе.

На рис. 3.8 Показан процесс повышения давления в насосе.

Рис.3.8

Поскольку жидкость - несжимаема, процесс представляется изохорой В-К.

Работа, затраченная на повышение давления вычисляется:

твк (dP/r) = (Рк - Рв)/r =v (Pk - Pв) = Lвы - Lвсас (3.23)

Если сравнить работу затраченную на одинаковое повышение давления в компрессоре и в насосе, например в 3,5 раза, то получится, что учитывая плотности воздуха (r= 1.29 кг/м3) и воды (r= 1000 кг/м3), работа в компрессоре примерно в 800 раз больше, чем в насосе.

3.2 ТУРБИНА

Представление отдельных составляющих уравнения энергии в термодинамических диаграммах для турбины аналогично компрессору, но в то же время существует ряд особенностей, которые заслуживают детального рассмотрения.

3.2.1 Процесс расширения в турбине в P-Vдиаграмме

Процесс расширения в турбине, приведённый на рис.3.9, можно разделить на три этапа:

1- подача газа к сопловому аппарату - (Рг - Г),

2- расширение (понижение давления) - (Г - Т),

3- выталкивание газа - (Т - Рт ).

Принято обозначать отношение давлений не входе к давлению на выходе обозначать - pт и называть «степень понижения давления», а отношение удельных объёмов - e - «степень расширения» :

Рг /Рт = pт ; e = Vт /Vг.

Рис.3.9

ПРИМЕЧАНИЕ

Часто на практике употребляют термин «степень расширения», имея ввиду отношение давлений. В дальнейшем будем для краткости также употреблять термин «степень расширения», обозначая его: pт.

Уравнение энергии для теоретической работы турбины в механической форме имеет вид:

Lтu = LR (3.24)

На диаграмме работе подачи Lп = Рг Vг соответствует (~) площадь (Рг - Г-Vг - 0), работе политропического расширения

Lр =ттгР dV ~ пл.(Vг-Г-Т-Vт), работе выталкивания Lвыт =Рт Vт.

Lвыт непосредственно турбиной не совершается, поэтому при определении работы расширения её следует исключить.

Суммируя площади, соответствующие работе подачи и работе политропического расширения получают:

LS = Lп + Lр + Lвыт = Рт Vт + ттгР dV - Рт Vт (3.25)

Эта работа изображается площадью Рг-Г-Т-Рт и может быть представлена выражением

LS = ттг VdР = ттг dР/r = Lрт (3.26)

Таким образом в Р-V диаграмме простым построением может быть представлена только политропическая работа расширения и не показывается работа потерь и кинетическая энергия.

В качестве идеального процесса обычно используется изоэнтропический процесс, который в Р-V диаграмме изображается линией Г-Тs. Видна разница величин политропической и изоэнтропоческой в виде площади Тs-Г-Т. Эту работу обозначают DL и называют «возвращённое тепло», т. к. она отражает увеличение удельного объёмного в конце политропического процесса расширения в связи с теплом, выделившимся под действием потерь и, соответственно, температура на выходе из турбины в реальном процессе выше, чем в идеальном. В дальнейшем будет показано, что это обстоятельство приводит к возрастанию работы на валу многоступенчатой турбины, т. е. тепло потерь как бы возвращается в турбину.

Политропическая работа расширения может быть вычислена, если известен показатель политропы nт .

Lпт = ттг (dР)/r =nт/(nт-1)RTг[1-(Pт/Pг)(nт-1)/nт] (3.27)

3.2.2 Процесс расширения в турбине в T-S диаграмме

Особенности представления энергии в Т-S диаграмме были отмечены при рассмотрении процесса сжатия в компрессоре, поэтому перейдём непосредственно к анализу процесса расширения в турбине, в начале приняв, что отсутствует теплообмен с внешней средой и нет разницы в скоростях потока на входе и выходе из турбины.

а) Qq =0; Сг =Ст. В этом случае обозначим теоретическую работу Lтu =Lтuх, тогда уравнение энергии в механической форме будет иметь вид:

Lтuх =ттг dР/r - Lr, а в тепловой форме Lтuх =Ср(Тг-Тт). (3.28)

Графически этот вариант представлен на рис. 3.10.

Рис. 3.10

Запишем эту работу в виде разности работ в изобарических процессах Pт =соnst от температуры 0 до Тг и Рт =const от температуры 0 до Тт:

Lтuх =Ср(Тг-0)- (Тт -

б) Qq №0; Сг =Ст;

Этот случай имеет практическое значение, особенно в случае охлаждения лопаток турбины, а также в связи с отводом значительного количества тепла через корпус, в диск и т. д.

Процесс расширения в турбине в этом случае представлен на рис.3.11.

При отводе тепла политропа расширения пройдёт левее той, которая соответствует случаю Qq =0; Сг =Ст, т. е. пойдёт из точки Г в точку Т’ .

Рис. 3.11

Отведённому теплу Qq, соответствует площадь Г-Т-8-9-Т’-Г, т. е. части тепла потерь и возвращенного тепла.

в) Qq =0; Сг №Ст.

В данном случае процесс расширения, представленный на рис.3.12, рассматривается в заторможенных параметрах от точки Г* на изобаре Рг*=const в точку Т*=const на изобаре Рт*,

Тогда Lт=Ср(Тг*-Тт*)~пл. Г*-5*-3*-1-Т*, (3.32)

Рис.3.12

т. е. также как изображалась Lтux, только между изобарами, соответствующими давлениям торможения на входе и выходе из турбины.

Lnu= тnu dH|r - (Cu2 - Cn2)|2 + LR (3.33)

Представление процесса расширения в турбине имеет те же условности, что и в компрессоре.

3.2.3 Изображение процесса расширения в турбине

в i-S диаграмме

Изображение процесса расширения в турбине в I-S диаграмме широко распространено, т. к. даёт возможность проще, чем в других диаграммах отражать и анализировать влияние основных факторов на работу турбины.

а) На рис.3.13 показан процесс расширения в турбине в I-S диаграмме в случае, когда Qq =0; Сг=Ст.

Рис.3.13

В этой диаграмме тепло, соответствующее различным составляющим уравнения энергии отображается отрезками. В частности, Нтх=iг-iт ; Нтs= iг-iтs, а разность (Нтs-Нтх) = (Lr-DL) = Lr’ отображается отрезком (iт-iтs).

В этом состоит основное объяснение широкого распространения I-S диаграмм в теории турбин.

б) Qq =0; Сг№Ст. Этот случай изображен на рис.3.14.

Рис.3.14

В этом случае процесс расширения в турбине изображается в заторможенных параметрах и наиболее полно отражает члены уравнения энергии.

Lт=Ср(Тг*-Тт*) = iг*-iт*. (3.34)

Можно записать выражение для Lтх: Lтх=Ср(Тг*-Тт*)+(Ст)2/2, тогда

Lтх= Ср(Тг*-Тт) = iг*-iт.

Отрезок (iт*-iт) ~ (Ст)2/2 .

Он отражает потери с выходной скоростью. Это даёт наглядное представление о том, что выходная скорость с точки зрения работы турбины, является потерянной энергией.

Приведённые выше иллюстрации изображения процессов в компрессорах и турбинах на термодинамических диаграммах показывают, что:

1. энергия и отдельные её составляющие могут быть наглядно показаны;

2. размерное представление элементов уравнения энергии позволяет планиметрированием площадей (на Р-V и Т-S), или измерением отрезков (на I-S) диаграммах численно определить вклад отдельных элементов в процессе преобразования энергии в лопаточной машине и вычислить коэффициент полезного действия.

3.  с помощью диаграммы могут быть найдены конечные параметры на выходе из лопаточной машины, в том числе с учетом переменного значения показателей политропы или изоэнтропы.

4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН

Эффективность любой машины принято оценивать сравнивая возможный по теоретическим соображениям полезный эффект с реальным энергетическим параметром, полученным в результате преобразования энергии в данной машине.

Известно, что в зависимости от того, что принято в качестве полезного эффекта и как оцениваются потери, сопровождающие преобразование энергии, может быть получен различный численный результат и, соответственно, необходимо иметь представление о том, каким образом этот параметр был оценен и что он отражает. Для решения задачи оценки эффективности преобразования энаргии при взаимодействии потока газа с лопатками в турбомашинах принято использовать возможности термодинамических диаграмм, на которых наглядно отображаются различные составляющие уравнения энергии и потери.

4.1. Коэффициенты полезного действия компрессоров

Строго говоря, компрессор полезной работы не совершает - он энергию потребляет и преобразует в давление. Поэтому можно говорить о полезном эффекте и сравнивать его с затраченной работой.

Полезный эффект L

КПД компрессора = = Затраченная работа Lзатр

Тем не менее этот параметр принято называть коэффициентом полезного действия КПД.

Согласно формуле, возможны различные виды КПД в зависимости от того, что принимается в качестве полезного эффекта или затраченной работы.

ПОЛЕЗНЫМ ЭФФЕКТОМ компрессора является энергия, сообщенная газу в результате взаимодействия лопаток с потоком.

В этом случае в компрессоре повышается давление, которое может быть оценено изменением статического или полного давления, соответственно в качестве работы сжатия по статическим или заторможенным параметрам. С другой стороны, работа сжатия может быть как действительная, политропическая, так и идеализированная, изоэнтропическая.

Как видно, в зависимости от того, что представлено в числителе можно получить четыре вида КПД.

В качестве ЗАТРАЧЕННОЙ НА ВРАЩЕНИЕ КОМПРЕССОРА РАБОТЫ также можно взять различные понятия.

Наиболее полно затраченная работа полно представляется, если в её состав включаются все потери, в том числе механические.

Такие КПД, вне зависимости от того, чем является числитель, называют ЭФФЕКТИВНЫМИ.

Однако, с точки зрения теории рабочего процесса в лопаточной машине этот вид КПД не удобен и им пользуются лишь тогда, когда компрессор оценивается в целом, кат самостоятельный агрегат.

Более целесообразно, с точки зрения рабочего процесса, при оценке эффективности преобразование энергии учитывать только потери, связанные с наличием движения газа относительно поверхностей элементов ротора и поверхностей ограничивающих межлопаточные каналы, т. е. потери внутри лопаточных венцов компрессора.

В этом случае в знаменателе берётся работа сжатия, подведенная к валу и состоящая из работы сжатия в том или ином виде, потерь внутри межлопаточных каналов и потерь вне контрольного пространства, ограниченного лопаточными венцами, т. е. на элементах ротора (диски, барабан и т. д. в зависимости от конструкции ротора) и в радиальном зазоре между корпусом (в рабочих колёсах) и торцами лопаток и между втулкой и торцами лопаток направляющих аппаратов (если НА консольные).

Итак, если в качестве затраченной работы принимается внутренняя работа, т. е. работа, учитывающая газодинамические потери внутри компрессора, то КПД называют ВНУТРЕННИМИ.

Если ведется поиск геометрической формы лопаток и ищется наиболее благоприятное сочетание параметров элементарных ступеней и выбирается закон профилирования, то интерес представляют лишь потери. связанные с процессами взаимодействия потока с лопатками в пределах лопаточного венца, т. е. те потери, которые, в частности входят в теоретическую работу компрессора, вычисляемую с помощью уравнений Эйлера, и, соответственно, в качестве затраченной работы берётся теоретическая работа, то такой КПД называют ЛОПАТОЧНЫМ.

На практике широко применяют ВНУТРЕННИЕ КПД, где в качестве первого приближения в числителе используется изоэнтропическая работа сжатия по заторможенным параметрам.

Его называют ВНУТРЕННИМ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИМ КПД ПО ЗАТОРМОЖЕННЫМ ПАРАМЕТРАМ, обозначают hкs* и выражают формулой:

hкs* =(твк dp/r)s*/Lk= 1-(Lr’+DL)/Lk (4.2)

Этот КПД легко вычисляется и широко применяется в экспериментальных исследованиях по измеренным и осреднённым соответствующим образом полным давлениям перед и за компрессором при известном показателе изоэнтропы.

Более точная оценка эффективности преобразования энергии в компрессоре определяется, если в качестве полезного эффекта принимать политропическую работу по заторможенным параметрам с учетом среднего значения показателя политропы в процессе сжатия.

Такой КПД называют ВНУТРЕННИМ ПОЛИТРОПИЧЕСКИМ КПД ПО ЗАТОРМОЖЕННЫМ ПАРАМЕТРАМ, обозначают hк* и вычисляют по формуле:

hк* =(твк dp/r)*/Lk= 1-Lr’/Lk (4.3)

Соотношение между hкs* и hк* приведено на рис.4.1.[2].

Рис.4.1

4.2. Коэффициенты полезного действия турбин

Принципиально КПД турбин различаются аналогично тому, как это показано для компрессора и. соответственно их можно назвать по-разному в зависимости от того, что принято в качестве числителя и знаменателя.

Так. если в числителе берётся работа на валу с учётом всех потерь, в том числе и механических, то КПД называют ЭФФЕКТИВНЫМИ. Их также, как в компрессоре применяют тогда, турбина является самостоятельным агрегатом.

При газодинамическом проектировании турбин более целесообразно оценивать эффективность преобразования энергии с учетом газодинамических потерь внутри проточной части и на поверхностях вращающихся вместе с лопаточным венцом, т. е на дисках и в зазорах между корпусом и торцами лопаток рабочих колёс. Такие КПД называют ВНУТРЕННИМИ.

В знаменателе могут быть разные виды работы расширения, т. е. политропические или изоэнтропические работы расширения, соответственно, по статическим, или заторможенным параметрам.

Тогда КПД называют ВНУТРЕННИМИ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИМИ ИЛИ ПОЛИТРОПИЧЕСКИМИ.

Изображение процесса расширения в турбине на i-S диаграмме позволяет показать отрезки, отношение которых дают значения тех, или иных видов КПД ( см. рис.4.2).

Рис.4.2

Видно, например, что изоэнтропический КПД - hтs*, который может быть выражен формулой:

hтs*= Lг/Lтs*=(iг*-iт*)/ (iг*-iтs*) (4.4)

Часто рассматривают расширение в турбине до статического давления за ней. Тогда КПД называют МОЩНОСТНЫМ и в соответствии с диаграммой его вычисляют по формуле:

hт= Lг/Lтs=(iг*-iт*)/ (iг*-iтs) (4.5)

Рис. 4.2 В этом случае Lт=Lтs-[Lr’+(Cт2/2)]. т. е. кинетическая энергия на выходе является потерянной. Её называю потерями с выходной скоростью.

Достаточно широко применяют ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЙ КПД «по полным перепадам»:

hтs= (Lт+Ст2/2)/Lтs= (iг*-iт)/ (iг*-iтs) (4.6)

4.3 Связь КПД многоступенчатой лопаточной машины и её отдельных ступеней.

4.3.1 компрессор

Для рассмотрения связи КПД многоступенчатого компрессора и отдельных ступеней обратимся в изображению процесса сжатия в P-V диаграмме, показанному на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Пусть процесс сжатия в многоступенчатом компрессоре изображается политропой В-К. Точки К1 , К11 , К111 и т. д. соответствуют действительным параметрам за кождой ступенью, т. е. являются параметрами на входе в следующую ступень (В11=К1; В111=К11 и т. д.). Площади слева от линий, соответвтвуют работе, затраченной на сжатие в каждой ступени Lkvi. Сумма этих площадей равна площади слева от линии В-К, соответствующей Lkv, следовательно можно записать:

hkv = Lkv/(SLkvi/hkvi) (4.7)

Если принять, что КПД во всех ступенях одинаковое, его можно вынести за скобки, а т. к. Lkv = SLkvi, то hkv = hkvi.

Часто используют изоэнтропический КПД. На рис 4.4 показан процесс сжатия в Р-V диаграмме, где линия В-К отражает действительный политропический, а линия В-Кs изоэнтропический.

Рис. 4.4

В Z - ступенчатом компрессоре поступенчатое изоэнтропическое сжатие изобразится так, что в первой ступени изоэнтропа В-К1 совпадёт с начальной частью изоэнтропы В-К. Изоэнтропический процесс в следующей ступени должен быть начат из точки В2, лежащей на политропе при давлении, равном Рк1. Итак следует поступить и в следующих ступенях, представляя в каждой из них изоэнтропическое сжатие эквидистантно изоэнтропе В-Кs на соответствующем участке. При давлении Рк на выходе из последней ступени точка Кsz окажется правее точки Кs и площадь, отображающая работу итзоэнтропического сжатия по общей изоэнтропе Lks окажется меньше, чем сумма работ, набранная по отдельным ступеням (SLksi).

Затраченная на вращение компрессора работа Lk не зависит от того какой процее принят при рассмотрении и естественно Lk = SLki.

Используя понятие изоэнтропического КПД для всего компрессора и отдельных его ступеней можно записать:

Lk = Lks/hks = Lks1/hks1+ Lks2/hks2 +Lks3/hks3 + ....+Lksz/hksz (4.8)

откуда получим: hks = Lks/(SLksi/hksi) (4.9)

Если принять hksi = idem, то hksi можно в знаменателе вынести за скобки и переписать выражение (4.9) в виде:

hks = (Lks/SLksi) hksi, но поскольку Lks < SLksi, то hks < hksi (4.10)

4.3.2 турбина

Рассуждая таким же образом, как при рассмотрении соотношений КПД в многоступенчатом компрессоре и ого отдельных ступенях можно показать, что политропические КПД многоступенчатой турбины и её отдельных ступеней при hтv=idem одинаковые, т. е hтv= hтvi .

Рассмотрим связь изоэнтропических КПД с использованием Р-V диаграммы, представленной на рис.4.5.

Рис. 4.5

На диаграмме показаны изоэнтопические процессы расширения в многоступенчатой турбине и отдельных её ступенях.

Видно, что площадь слева от линии Г-Тs сответствующая Lтs, меньше суммы площадей слева от процессов расширения в отдельных ступенях, соответствующих SLтsi, т. е. Lтs < SLтsi. (4.11)

КПД турбины можно представить в виде:

hтs = (SLтsi hтsi)/ Lтs

При hтsi = idem, hтs = (SLтsi )hтsi/ Lтs. Имея ввиду (4.11 ),получаем что hтs > hтsi (4.12)

Т. е. КПД турбины больше КПД отдельной ступени.

Отношение (SLтsi )/ Lтs называют «КОЭФФИЦИЕНТОМ ВОЗВРАТА ТЕПЛА» и обозначают « a«, т. е.

a = (SLтsi )/ Lтs (4.13)

ЛИТЕРАТУРА

1.  Холщевников и расчёт авиационных лопаточных машин. М.: Машиностроение, 19с.

2.  , , Теория и расчёт авиационных лопаточных машин. М.: Машиностроение, 19с.

3.  Теория и расчёт турбокомпрессоров. /Под ред. К.П. Селезнёва. Л.:Машиностроение, 19с.

4.  , Фёдоров авиационных газотурбинных двигателей. Учебник для вузов. Ч.1. М.: 19с.

5.  Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок. Под ред. . М., 1973, 392 с.

6.  Теория и расчёт воздушно-реактивных двигателей./Под ред. . М.: Машиностроение, 1с.

7.  Брусиловский расчёт вентиляторов. М.: Машиностроение, 1986, 288 с.

8.  Быков учебное пособие по теории рабочего процесса авиационных лопаточных машин. М.:МАИ, 1980, 86 с.

9.  Быков учебное пособие по характеристикам и регулированию авиационных лопаточных машин. М.:МАИ, 1981, 68 с.