Электростатика

Электростатика

Из повседневного опыта известно, что тела, обработанные специальным образом, приобретают особые свойства. Например, пластмассовая расческа после трения о волосы начинает их притягивать, новые пластмассовые пакеты слипаются. Чистая шелковая рубашка «прилипает» к телу. Траектории некоторых частиц сильно изменяются при движении вблизи других тел малой массы.

С корпускулярной точки зрения эти явления могут быть объяснены, если у тел или частиц есть особое свойство: частицы (материальные точки) обладают зарядом. Причем у частицы может быть положительный или отрицательный заряд, или она не несет заряда, т. е. она нейтральна. Элементарной частицей, несущей отрицательный заряд является электрон (e); частица, несущая наименьший положительный заряд, называется протон (p); частицей, не обладающей зарядом, является нейтрон (n).

Между массами частиц существует соотношение:

а между зарядами

в СИ масса элементарного отрицательного заряда равна

а величина заряда определяется

Заряды других частиц и макротел кратны заряду электрона.

Рассмотрим теперь количественные соотношения, возникающие между заряженными телами.

1.  Движение заряженной частицы (тела) происходит по прямой, если на неё не действуют силы. Поэтому отклонение траектории от прямой понимается как действие на частицу силы. Если частицы движутся с небольшими скоростями (v<<c) и их размеры много меньше расстояния между ними, то считают, что силы электростатические и могут быть выражены в форме

где k — размерный коэффициент (k==9× в системе СИ); и — заряды частиц (тел), выраженные в кулонах; — вектор расстояния между точками, в которых находятся заряженные тела. Заряженные тела, размеры которых существенно меньше расстояния между ними, называются точечными зарядами. Примерами, очевидно, служат электроны и протоны. Ионы и более крупные тела проявляют себя как точечные заряды на расстоянии r>> размеров этих тел. Сила считается положительной, если заряды и противоположны по знаку (заряженные тела притягиваются), и отрицательной при одинаковости знаков зарядов (заряженные тела отталкивают друг-друга). Формула (1) называется законом Кулона. Экспериментально закон Кулона подтвержден вплоть до расстояний r~м.

2.  В электростатике выполняется III закон Ньютона,
т. е.


Абсолютная величина электрической силы много больше силы их гравитационного притяжения.
Так для электронов

И именно поэтому малая нескомпенсированность числа положительных и отрицательных зарядов могла бы привести к значительному, т. е. наблюдаемому, отклонению движения больших тел в гравитационном поле от ожидаемого. С другой стороны, прочность тел, т. е. Существование сил поверхностного натяжения (например, в клее) объясняется существованием электрических сил.

3.  Для точечных зарядов сила определяется формулой (1). Если есть несколько точечных зарядов, то для определения действующей силы применяют принцип наложения (суперпозиции) сил между любыми парами систем точечных зарядов.

4.  Если около заряженного тела с зарядом Q поместить малое заряженное тело — пробный заряд q, то между этими точечными зарядами возникает сила

которая зависит от величин зарядов Q и q. Чтобы охарактеризовать влияние заряда Q на произвольные пробные заряды решили выбрать величину пробного заряда единичной q=1, и силу, действующую на единичный положительный заряд назвать напряженностью электрического поля.

Размерность [E]=H/Кл (в дальнейшем будем использовать [E]= В/м), поэтому сила, действующая на произвольный пробный заряд, равна

Выражение (5) также является выражением закона Кулона для произвольного распределения зарядов, а формула (1) — законом Кулона для точечных зарядов.

5.  Напряженность электрического поля систем зарядов определяется по принципу суперпозиции, т. е. правилом векторного сложения, но в случае их симметричного расположения пользуются теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса

Для её формулировки введем понятие потока вектора.

Потоком вектора через заданную площадку d называется произведение

dN = d = AdS cos(, ), (6)

где — нормаль к внешней стороне площадки.

Если напряженность создается точечным зарядом q, помещенным в т. O, то поток

dN = EdS cos(, ) = (7)

Поскольку dScos(, ) = ,

а

d, (8)

то

dN = . (9)

Знаку «+» соответствует случай, когда из т. О видна внутренняя сторона площадки, и знаку «-», когда видна внешняя сторона площадки. Подразумевая это соглашение, знак будем опускать.

Для конечной поверхности S получим

N = = (10)

и Ω - положительный или отрицательный телесный угол, под которым из точки О видна вся поверхность S.

В том случае, когда S замкнута, полный угол Ω может быть равен 0 или 4.

Если поверхность окружает т. О, то Ω=4π; если т. О находится вне замкнутой поверхности, то Ω=0. Поэтому

N=

(заряд находится вне замкнутой поверхности)

Будем рассматривать только случаи, когда заряд находится внутри замкнутой поверхности S.

Тогда

Для произвольной системы зарядов пользуясь разбиением системы на совокупность точечных зарядов записывают, что

и поэтому

Стало быть

причем суммирование распространяется только на заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности S.

Теперь можно сформулировать фундаментальную теорему Гаусса.

В вакууме в произвольном электростатическом поле поток электрического вектора через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности, умноженному на .

Формулировка закона Кулона

носит интегральный характер, т. е. указывает на связь между и q в конечном объеме. В дифференциальном виде (а законы физики просты в малом), вводя плотность электрического заряда

или

и используя теорему Остроградского-Гаусса, закон Кулона принимает вид

Связав электростатическое поле и заряд однозначно (за исключением экстравагантных случаев типа поля в центре материальной точки, несущей заряд) мы можем утверждать о необходимости закона сохранения заряда. Иначе, если заряд может произвольно (сам собой) изменяться, то и электрическое поле не определено. Таким образом, если постулировать закон сохранения электрического заряда, то решение задачи электростатики будет подразумевать сохранение заряда.

В ядерных реакциях могут рождаться частицы (например, электрон и позитрон). Их заряды должны быть в точности равны и противоположны по знаку! Иначе нарушился бы закон сохранения заряда.

Примеры применения теоремы Остроградского-Гаусса для определения электрических полей заряженных тел симметричной формы.

1.  Сфера.

Сфера заряжена зарядом Q, поверхностная плотность заряда

Внутри сферы зарядов нет, поэтому выбирая произвольную замкнутую поверхность S, не касающуюся стенок сферы, найдем, что поток вектора через S, согласно (13a) равен

Нормальная компонента вектора равна нулю. В самом деле, если поверхность симметрична с центром симметрии, совпадающим с центром сферы О, то постоянно и может быть вынесено за знак интеграла. Исходя из симметрии задачи, получим, что . Поскольку компоненты вектора равен нулю, то и сам вектор (внутри сферы напряженность равна нулю).

Выбирая поверхность замкнутой, симметричной, с центром симметрии О, на основании равенства (13a) получим

а т. к. в силу симметрии (нет выделенного направления в пространстве. Кроме того, в электростатическом поле ), то

причем вектор напряженности электрического поля направлен вдоль радиус-вектора .

2.  Нить (цилиндр).



Нить заряжена с линейной плотностью заряда

Замкнутую поверхность S выберем в виде цилиндра с осью, совпадающей с осью нити. Высота цилиндра h. Очевидно, что поток вектора можно разбить на поток через поверхности и поверхность . Вектор вследствие симметрии расположения поверхности S и особенности распределения зарядов имеет только нормальную (вдоль радиус-вектора ) компоненту. Поэтому

a

Из формулы (13a) имеем

Следовательно,

3.  Плоскость.



Рассмотрим плоскость (лист) заряженную равномерно с поверхностной плотностью σ
Учитывая симметрию данной задачи удобно выбрать замкнутую поверхность S в виде цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости. Принимая во внимание распределение зарядов, приходим к выводу, что вектор имеет только нормальную к плоскости компоненту. Поэтому . Следовательно, поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через основание равен:

Используя формулу (13a) получим:

т. к. основания два, то слева стоит коэффициент 2.
Окончательно,

Примечательно, что напряженность , создаваемая бесконечной, заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до неё.

Определение вектора в каждой точке пространства позволяет определить силу и вывести (см. Механика ч. I лекция 4) понятие силового поля. Электрическое силовое поле существует вокруг заряда (зарядов) и в отсутствии пробного заряда и характеризуется вектором ().

Знание поля вектора () позволяет согласно уравнениям (13a) и (15) определить распределение зарядов, т. е. решить «обратную» задачу электростатики. Однако, для решения «прямой» задачи — дано распределение зарядов, определить электрическое поле — необходимо воспользоваться другим свойством электростатического поля.

Рассмотрим работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного заряда q на отрезке dl

Если заряд единичный, то приращение работы равно

Для конечного пути L работа W определяется

Согласно определению (21) работа может зависеть как от положения начальной и конечной точек, так и от формы пути L. Однако, электрическое поле неподвижных зарядов обладает той особенностью, что работа сил этого поля зависит только от положения этих точек и не определяется формой пути. (т. е. Поля, создаваемые зарядами, стационарны, а силы, действующие на заряды, которые помещают в поле заряженных тел, зависят от положения, но не от скорости тел).

Силовые поля, обладающие такими особенностями, называются консервативными или потенциальными полями.

Как известно (см. Механика ч. I лекция 4), для потенциальных полей справедливо утверждение, что

Обратное (т. е., что ) означает, что поле вектора - потенциально. Т. о. равенство нулю работы вектора на произвольном и замкнутом пути — необходимое и достаточное условие потенциальности электрического поля. Часто переходят к дифференциальной формулировке утверждения (22). Вводя оператор rot вектора

где dS — площадка, охватываемая контуром, по которому идет интегрирование, для нашего случая () получим

Уравнения (22) и (23) справедливы только для неподвижных зарядов!

Из уравнения (22) следует, что тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля равны.

Возвращаясь назад, докажем равенство (22).

1. Для точечного заряда.
По определению (20)

где dr — проекция перемещения пробного единичного заряда d на радиус-вектор . С другой стороны, dr — приращение численного значения радиус-вектора , т. е. увеличение расстояния пробного заряда от заряда q.

Поэтому приращение работы dW может быть представлена в виде полного дифференциала скалярной функции точки - .

Следовательно, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда на пути L равна

т. о. Для поля неподвижного точечного заряда работа по перемещению единичного заряда определяется положением (расстоянием) начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. Иначе говоря, поле точечного заряда потенциально.

2. Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого заряда:

В следствии аддитивности интеграла работа равнодействующих слагаемых сил по замкнутому контуру равна нулю. Поэтому электростатическое поле потенциально и удовлетворяет равенствам (22) и (23).

Потенциальный характер электростатического поля может быть доказан на основе закона сохранения энергии и невозможности вечного двигателя I рода.

Потенциал электростатического поля.

То обстоятельство, что работа сил электростатического поля на данном пути не зависит от формы пути, дает возможность ввести в рассмотрение потенциала электростатического поля.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного заряда из одной точки в другую.

При этом полагается, что при перемещении пробного единичного заряда, все заряды, создающие поле, остаются неподвижными.

Итак,

и

Обычно постоянную выбирают так, чтобы потенциал бесконечно удаленных тел равнялся нулю (в практических измерениях потенциал Земли полагается равным 0). При таком условии потенциал точки P равен работе, совершаемой силами поля при удалении единичного положительного заряда из т. P в

Для точечного положительного заряда q разность потенциалов между точками P и равна

Чтобы удовлетворить условию , положим

Тогда потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него окажется равным

Для произвольной системы точечных зарядов потенциал поля:

Если заряды расположены на поверхности с плотностью

В поле объемных зарядов выражение потенциала (29) принимает вид

где - объемная плотность зарядов.

Потенциал измеряется в Вольтах [В].

Пример. Потенциал поля диполя.

Диполем называется система из двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку зарядов, разделенных расстоянием l.

Определим потенциал электростатического поля достаточно далеко от диполя, чтобы считать заряды q — точечными. Пользуясь принципом суперпозиции запишем

Если расстояние между зарядами l<<(, ), то = ; - =lcos. Вводя обозначение , получим

Поле диполя.

Градиент электростатического поля.

Связь между .

Из формулы (26)

следует, что

причем - производная по направлению .

По определению градиента

поэтому

и так как это равенство проекций векторов и - должно иметь место при любом выборе направления , то и сами вектора должны быть равны друг другу. Таким образом,

Градиент функции указывает на направление наибольшего роста функции, поэтому можно сказать, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убыли потенциала (в сторону падения напряжения).

Теперь у нас есть три способа определения напряженности электростатического поля.

1.  Опираясь на принцип суперпозиции.

2.  Исходя из теоремы Гаусса.

3.  Пользуясь зависимостью = - grad .

М. Фарадею принадлежит идея графически (геометрически) описать поведение электростатического поля. Причем два закона электростатики

и

могут быть пояснены графически.

При геометрическом представлении электростатического поля пользуются понятиями 1) силовых линий и 2) эквипотенциальных линий (поверхностей)

1) Электрической силовой линией называется линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля в той же точке.

Через каждую точку поля, в которой можно провести одну и только одну силовую линию. (В противном случае вектор не имел бы определенного направления).

Уравнение силовой линии получают, предполагая, что элемент длины силовой линии d параллелен вектору напряженности поля , то есть компоненты вектора d по осям координат (dx, dy, dz) пропорциональны компонентам , , вектора .

Цепочка равенств (34) эквивалентна системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений

и или

и (35)

Интегралы которых имеют вид:

и

(36)

где и — постоянные интегрирования. Совместное решение двух уравнений представляет собой уравнение силовых линий.

Густота силовых линий, то есть их число, приходящееся на единицу площади площадки, которая им перпендикулярна, берется равной (пропорциональной) величине напряженности электрического поля. Поэтому формулируя теорему Гаусса, вместо выражения «поток вектора » можно говорить «число силовых линий, пересекающих данную поверхность».

При этом, определяя число линий, пересекающих площадку, каждой линии приписывается знак «+» или «-» (добавляем или вычитаем из общего числа) в зависимости от того на каком виде зарядов они начинаются (или от совпадения или противонаправленности с внешней нормалью к поверхности площадки) Например, число силовых линий, пересекающую любую замкнутую поверхность, не содержащую зарядов, равно нулю. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участков поля силовые линии не могут ни начинаться, ни заканчиваться (кроме случая, в котором определяется вдоль прямой, соединяющей два заряда одинакового знака. Напряженность поля вначале уменьшается до нуля, а потом возрастает по величине по мере приближения к другому заряду. Но изменяет своё направление на противоположное

).

С другой стороны, в электростатическом поле силовые линии не могут быть замкнутыми (иначе, )

Следовательно, в электростатическом поле силовые линии либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним своим концом уходят на бесконечность.

Следует помнить, что касательная к силовой линии определяет вектор , то есть вектор единичной силы. Однако сила, в свою очередь, определяет ускорение. Поэтому силовая линия, как правило, не совпадает с траекторией пробного заряда, помещенного в электрическое поле.

2. Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, каждая точка которой обладает ровным потенциалом. Её аналитический вид можно определить из условия, что работа электростатического поле по перемещению пробного заряда вдоль эквивалентной поверхности равна нулю. Отметим также, что эквипотенциальные поверхности и силовые линии в точках их пересечения взаимно перпендикулярны. Действительно, работа по перемещению единичного положительного заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна

(37)

С другой стороны, равенство (37) можно понимать как условие, что

где лежит на эквипотенциальной линии.

Примеры геометрической интерпретации электростатических полей.

Силовые линии и эквипотенциальные кривые для положительного точечного заряда.

Силовые линии и эквипотенциальные кривые для двух, но разноименно заряженных точечных тел.

Нужно отметить, что представление электростатического поля силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями наглядно и дает возможность «увидеть» где поле сильнее, где его неоднородность меньше. Однако, геометрические рассуждения не позволяют в простой форме проанализировать как пройдут силовые линии при сложении полей от нескольких зарядов. То есть приходится отказаться от принципа суперпозиций.

Типичные задачи электростатики.

Чтобы определить поведения электрического поля мы ввели напряженность электрического поля , то есть задали три числа , , , и связали определенную его характеристику (дивергенцию) с распределением электрических зарядов. Определив потенциал электростатического поля, мы значительно упростили задачу, поскольку вместо трех чисел (связанных к тому же определенным образом, что бы быть компонентами вектора) нужно знать только одно (-скаляр). Для связи с распределением зарядов пользуются дифференциальным уравнением, которое получают из следующих рассуждений. По теореме Гаусса в дифференциальной форме:

Кроме того,

Поэтому

(38)

Или в более символической форме записи

(39)
где - лапласиан (в декартовой системе координат )

Уравнение (38) или (39) называют уравнением Пуассона. При отсутствии зарядов ( в свободном пространстве уравнение (39) принимает вид

(40)

- уравнение Лапласа.

Теперь, зная плотность объемного и поверхностного распределения зарядов, можно найти потенциал поля, а по потенциалу – напряженность поля. Обратной задачей электростатики является определение распределения зарядов по градиенту потенциала .