Задачи на вероятность

Титульный лист

Содержание

Задание 1 3

Задание 2 4

Задание 3 5

Задание 4 7

Задание 5 9

Задание 6 10

Задание 7 11

Список литературы 14

Задание № 1

Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первой будет «решка»?

Решение

Пусть событие A – искомое событие. Т. к. монета симметричная, то вероятность выпадения на одной монете либо «орла», либо «решки» равна 0,5. На первой монете должна выпасть «решка». Тогда остается 3 варианта: РОО, РОР, РРО.

Найдем вероятность каждого из этих событий.

Т. к. выпадение значений на каждой монете независимые друг от друга события, то вероятность каждого из них найдем по формуле умножения независимых событий:

;

.

Аналогично находим вероятности для двух других событий:

;

.

Т. к. данные события несовместимы, т. е. не могут выполняться одновременно, то вероятность выпадения хотя бы одного «орла», при том, что первой выпадет «решка», найдем по формуле суммы вероятностей несовместимых событий:

;

.

Ответ. 0,375

Задание № 2

Бросают две кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков будет равна 9, и при этом на первой кости будет очков больше 4?

Решение

На первой кости может быть больше 4 очков в двух случаях: выпадет 5 очков или выпадет 6 очков. Тогда, чтобы в сумме было 9 очков, на второй кости должно выпасть 4 и 3 очка соответственно.

Всех комбинаций в подбрасывании кубика существует . Тогда вероятность указанного события будет:

Ответ. .

Задание № 3

Среди жильцов некоторого дома 25% имеют собаку, 35% имеют кошку и 10% имеют и кошку, и собаку. Какова вероятность того, что наугад выбранный человек: а) не имеет кошку и имеет собаку? б) или имеет кошку, или не имеет собаку?

Решение

Введем обозначения:

А – событие «человек имеет кошку»;

– событие «человек имеет собаку»;

– событие «человек имеет и кошку, и собаку»;

– событие «человек не имеет ни кошку, ни собаку»;

– событие «человек не имеет кошку и имеет собаку»;

– событие «человек или имеет кошку, или не имеет собаку».

100%, т. е. полная вероятность, вычисляется по формуле:

.

Изобразим это с помощью кругов Эйлера:

 

;

;

;

.

Найдем вероятность событий и исходя из данного рисунка:

;

;

;

.

Ответ. а) 0,15; б) 0,85.

Задание № 4

В ящике находятся 10 шаров, каждый под номером от 1 до 10. Вытаскивают (случайным образом) 5 шаров. Какова вероятность того, что шар под номером 1 будет вытащен?

Решение

Пусть событие А - «достали шар под номером 1». Т. к. в урне 10 шаров, а шар под номером 1 – 1, то вероятность события А:

Тогда вероятность события «достали шар не под номером 1»:

Вероятность того, что из 5 наугад взятых шаров будет шар под номером 1, найдем по формуле Бернулли:

Ответ. 0,33.

Задание № 5

Среди служащих некоторой компании 40% старше 40 лет, 30 % курящих, при этом 20 % и старше 40 лет, и курит. Какова вероятность того, что наугад выбранный человек: а) не курит, если известно, что он старше 40 лет; б) моложе 40 лет, если известно, что он курит?

Решение

Введем обозначения:

А – событие «человек старше 40 лет», тогда - «человек моложе 40 лет»;

– событие «человек курящий», тогда - «человек некурящий»;

– событие «человек курящий старше 40 лет»;

– событие «человек некурящий старше 40 лет»;

– событие «человек курящий моложе 40 лет»;

– событие «человек некурящий моложе 40 лет».

;

;

0,4	0,6
	0,3	0,2	0,1
	0,7	0,2	0,5

Построим таблицу, в которой в столбцах разобьем служащих по возрасту, в строках – по отношению к курению. Исходные данные отметим жирным.

Т. к. события «старше 40 лет» и «моложе 40 лет составляют полную вероятность, то:

.

Аналогично находим количество некурящих человек:

.

Заполним оставшиеся графы таблицы, учитывая, что сумма в столбцах и строках должна быть равна значению в главных ячейках:

;

;

.

Проверим правильность решения. Сумма в зависимых ячейках должна составлять полную вероятность, то есть быть равной 1:

.

.

Задача решена верно.

Ответ. а) 0,2; б) 0,1.

Задание № 6

Задана случайная величина

	-6	5	2	11
	0,3	0,5	0,15	0,05

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение

1)  Определим математическое ожидание данной случайной величины (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):

2)  Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):

3)  Определим среднеквадратическое отклонение:

Ответ. 1,55; 27,55; 5,25.

Задание № 7

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием M(X)=15 и среднеквадратическим отклонением . Найти вероятность того, что она принимает значения:

а) в интервале (9;18); б) больше 12;

в) меньше 11; г) либо меньше 7, либо больше 20;

д) отличающиеся от M(X) не больше, чем на 1,5.

Решение

а)  Т. к. значение дискретной случайной величины неотрицательно и существует ее математическое ожидание M(X)=15, то для любого числа справедливы неравенства Маркова:

Из этих двух неравенств можно сделать вывод, что

Т. к. вероятность не может быть больше 1, то искомая вероятность:

То есть

б)  По тем же формулам находим вероятность того, что случайная величина больше 12:

Т. к. вероятность случайного события не может быть больше 1, то:

То есть может быть любой.

в)  По тем же формулам находим вероятность того, что случайная величина меньше 11:

Т. к. вероятность не может быть отрицательной, то =0

г)  Т. к. из двух условий (либо меньше 7, либо больше 20) может выполняться любое, то запишем совокупность неравенств:

Т. к. вероятность не может быть отрицательным числом, то вероятность данного события либо равна 0, либо меньше 0,75, отсюда делаем вывод, что:

д)  Данный пример решим с помощью неравенства Чебышева:

Т. к. вероятность не может быть отрицательным числом, то .

Ответ. а) ; б) ; в)=0;

г) ; д).

Список литературы

1.  Вентцель вероятностей. – М.: Наука, 1969.

2.  , Овчаров вероятностей. Упражнения и задачи. – М., 1969.

3.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 20с.

4.  , , и др. Теория вероятностей в примерах и задачах / Учебное пособие. – М., 20с.

5.  Колмогоров вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 535 с.

6.  Кремер вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с.

7.  Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис пресс, 2с.