Школьный этап
(1,5 часа или 2 урока)
1. Найдите два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе — делится на 8? Проверьте, что они удовлетворяют всем условиям.
Решение. 1 способ. Так как число делится на 8, то оно чётное. Значит, последняя цифра чётная. Тогда у предыдущего числа последняя цифра нечётная. Рассмотрим двухзначные числа, у которых сумма цифр 8: 17, но 18 не подходит; 35, но 36 не подходит; 53, но 54 не подходит; 71 и тогда 72 подходит.
2 способ. 1000 всегда делится на 8. Тогда найдёт число, которое делится на 8 и сумма цифр которого не больше 8. Например, 16. Перед ним стоит 15. Добавим в разряде тысяч цифру так, чтобы сумма стала равна 8, получим 3015, тогда 3016 подходит.
Критерии: Если проверка не проведена, но ответ верный, то 5 баллов.
2. Расшифруйте ребус: КОТ+КТО=ОТК.
Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры. Ответ обоснуйте.
Ответ: 495+459=954.
Решение. Из второго разряда О+Т оканчивается на Т, значит, обязательно должен быть перенос единицы из предыдущего разряда. Тогда О+1=10, то есть О=9. Тогда в третьем разряде К+К+1=О=9. Отсюда К=4. Тогда в первом разряде Т+9=14, то есть Т=5.
Критерии:
Только верный ответ – 1 балл.
Обосновано значение только некоторых букв и верный ответ – 3 балла.
3. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части.
Решение.
Критерии: Правильный ответ – 7 баллов.
4. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и плотник. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семёнов. У слесаря нет ни братьев, ни сестёр, и он самый младший из друзей. Семёнов женат на сестре Борисова, он старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и плотника и определите самого старшего из друзей. Ответ обоснуйте.
Решение.
Так как у Борисова есть сестра, то он – не слесарь. Так как Семёнов старше токаря, то он тоже не слесарь. Поэтому слесарь – Иванов. Семёнов старше токаря, значит, он – не токарь. Поэтому Семёнов – плотник. Остался Борисов. Он – слесарь. Самый старший – плотник Семёнов, так как слесарь самый младший, а Семёнов старше токаря.
Критерии: Только ответ на один вопрос – 1 балл.
Только ответ на оба вопроса – 2 балла.
Если обосновано найдены только фамилии и не доказано, кто старший, то 4 балла.
Если обосновано, кто старший, но не доказаны все фамилии, то 4 балла.
5. Есть 19 гирек массами 1г, 2г, ..., 19г, из которых 9 железных, 9 бронзовых и одна золотая. Известно, что масса всех бронзовых гирек на 90г меньше, чем масса всех железных. Найдите массу золотой гирьки. Ответ обосновать.
Ответ: 10 г.
Решение. Масса всех гирек 190 г. Рассмотрим 9 самых лёгких гирек. Их масса 45, если они бронзовые, то тогда масса железных 135 и общая масса 180. Осталась гиря в 10 г. Это золотая гиря. Если золотая гиря весит меньше – х г., то самые лёгкие гири весят 55-х. Тогда тяжёлые весят 145-х. И общий вес 200-2х+х=200-х=190. Отсюда х=10. Противоречие.
Критерии: Если только верный ответ – 1 балл.
Если рассмотрен случай самых маленьких гирь, то 3 балла.
