Теорема о делении с остатком

Теорема о делении с остатком

План лекции

Теорема: Для любых натуральных чисел существуют и единственные положительные числа такие, что причем

Следствие 1. Всякое натуральное число можно представить в виде: или или

Следствие 2. Если подряд стоящих натуральных чисел, то одно из них делится на

Следствие 3. Если два последовательных четных числа, то одно из них делится на

Следствие 4. Всякое простое число имеет вид или

Действительно, всякое число можно представить в виде однако все числа этого ряда, кроме точно являются составными. □

Следствие 5. Если простое число, то делится на

Действительно, три подрядстоящих натуральных числа, причем, четные, а нечетное простое. Следовательно, одно из четных чисел и делится на 4, а одно – еще и на □

Следствие 4. Квадрат натурального числа:

- при делении на дает остатки

- при делении на дает остатки

- при делении на дает остатки или

- при делении на дает остатки или

Определение. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя.

Примеры

1.Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток

2. Ни при каком натуральном n число n2 +1 не делится на 3.

3. Найдутся ли целые числа удовлетворяющие условию

А. Всякое нечетное число можно представить в виде или Возведем каждое из этих чисел в квадрат и получим требуемое утверждение.

Доказательство 2. Всякое натуральное число можно представить в виде Тогда выражение будет равно одному из выражений которые не делятся на

4. Может ли число делиться на а при делении на давать в остатке

5. Докажите, что остаток от деления простого числа на либо либо простое число.

6. Докажите, что при делении квадратов натуральных чисел на 4 или 5 в остатке могут получиться только 2 и 3.

7. Докажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть полным квадратом.

8. Докажите, что сумма квадратов трех целых чисел не может при делении на 8 давать отстаток 7.

9. Докажите, что квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 дает в остатке 1.

10. Решите в целых числах уравнение

А. Если решение то делится на и из уравнения следует, что делится на Следоваетельно при решений нет. Тогда и Переберем все числа от до Ответ:

11. Решите в натуральных числах уравнение

А. Докажем, что Если то левая часть равенства а при делении на правой части равенства (квадрата натурального числа) в остатке будет только Осталось проверить числа

12. Решите в натуральных числах уравнение

А. Заметим, что иначе при делении числа на в остатке будет получаться число а это невозможно. Если то Если то Если то Ответ:

13. Решите в целых числах уравнение

А. Из уравнения видно, что правая часть всегда нечетная, а левая будет нечетной, если одно число больше единицы, а другое – равно единице.

Пусть Если то разделится на без остатка.

14. Решите в натуральных числах уравнение

А. Докажем, что Если то левая часть равенства а при делении на правой части равенства (квадрата натурального числа) в остатке будет только Осталось проверить числа

15. Решите в натуральных числах уравнение

А. Из уравнения видно, что т. е. четное число Далее, четное Наконец,

16. Решите в натуральных числах уравнение

А. Если то правая часть исходного равенства делится на а левая – нет:

Значит Почему других нет?

17. Найдите все натуральные числа удовлетворяющие равенству

А. Если то число имеет столько нулей, сколько их у числа а число имеет по крайней мере на один нуль больше Следовательно,

Выпишем все возможные значения факториалов:

Решение 2. Докажем, что

Действительно, если значное число, то Ответ:

18. Найдите все такие p, что p и 5p + 1 – простые.

А. Если то число нечетное, а число четное (составное). Значит

19. Найдите все такие p, что p, p + 10 и p + 14 – простые.

20. Докажите, что следующие числа одновременно не могут быть простыми: