Касательная плоскость и нормаль

§8. Касательная плоскость и нормаль.

Пусть - гладкая поверхность. Зададим функции . Потребуем, чтобы функции были гладкими и производные и не обращались в нуль одновременно на промежутке . Подставим их в векторное уравнение поверхности: . Это гладкая линия на поверхности . Верно и обратное, любая линия на поверхности может быть задана уравнениями .

Рассмотрим произвольную регулярную точку , то есть в этой точке . Будем обозначать плоскость, проходящую через точку параллельно векторам через .

Теорема. Пусть . Тогда множество касательных в точке ко всем гладким кривым которые лежат на поверхности , и проходят через эту точку, образуют пучок прямых плоскости с центром в точке .

† 1) Пусть - гладкая линия на поверхности, проходящая через точку . Ее уравнения . Пусть - параметр, соответствующий точке , ее криволинейные координаты обозначим . Найдем касательный вектор к в точке: , где вычислены в точке , в точке . Следовательно, касательная к линии лежит в плоскости .

2) Докажем обратное, что любая прямая плоскости является касательной к некоторой гладкой линии лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Пусть - прямая в плоскости. Тогда , . Рассмотрим кривую . Очевидно, эта кривая лежит на поверхности . Векторное уравнение этой линии в пространстве имеет вид . Найдем ее касательный вектор в точке : , то есть ее касательная в точке совпадает с прямой . †

Определение. Плоскость, в которой лежат все касательные к кривым поверхности , проходящим через точку , называется касательной плоскостью поверхности в точке . Обозначение .

Двумерное векторное пространство называется касательным векторным пространством поверхности в точке и обозначается . Пара векторов образует его базис.

Определение. Нормалью к гладкой поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости.

Заметим, что является направляющим вектором нормали. Будем обозначать нормаль .

Замечание. Семейство прямых пространства ,зависящее от двух параметров, называется конгруэнцией. Семейство нормалей зависит от параметров , следовательно, является конгруэнцией.

Как написать уравнения касательной плоскости и нормали, если поверхность задана различными способами?

1. Поверхность задана векторным уравнением . Тогда нужно найти , и по этим данным написать уравнения.

2. Пусть поверхность задана в неявном виде: .

Лемма. Если гладкая поверхность задана в неявном виде уравнением , то вектор и является перпендикулярным вектором к касательной плоскости к поверхности в данной точке .

†Так как поверхность гладкая, . Докажем, что перпендикулярен касательной плоскости. Для этого достаточно доказать, что если любая кривая поверхности проходит через точку М, то ее касательный вектор перпендикулярен вектору . Пусть лежит на поверхности . Тогда - тождество. Продифференцируем его по : . Это скалярное произведение вектора и касательного вектора кривой . †

Чтобы написать уравнения касательной плоскости и нормали, нужно найти вектор , затем написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору .