Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Тема 1.3 Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Вопросы:

1. Апостериорные вероятности гипотез и их расчет с помощью формул Байеса.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: - продукция первого предприятия, - продукция второго предприятия, - продукция третьего предприятия; далее, продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - и на третьем - продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

.

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность: .

Пример. Учащийся приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие, хотя по виду этого не скажешь. У медсестры две гипотезы  - он действительно болен,  - он здоров, но хочет получить справку, например, для продления сессии. По внешнему виду она оценивает априорные вероятности , и ставит ему градусник. Измеренная температура (событие ). Предположим, (не при всякой болезни повышается температура), (у некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или учащийся мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная вероятность того, что учащийся болен: ,

и у медсестры есть все основания направить учащегося к врачу.

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна , для второго - ; для третьего - . Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то .

В результате опыта наблюдалось событие - после произведенных выстрелов мишень не поражена.

Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны: , по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта: .

Пример. Из студентов, которые пришли на экзамен по математике,

подготовлены отлично, – хорошо, – посредственно, – плохо.

В экзаменационных билетах вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросов, хорошо подготовленный – на , посредственно – на , плохо – на вопросов.

Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса.

Найти вероятность того, что этот студент подготовлен:

1. отлично,

2. плохо.

Решение. Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

Где – вероятность гипотезы ,

– условная вероятность события при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

– студент подготовлен отлично, – студент подготовлен хорошо,

– студент подготовлен посредственно, – студент подготовлен плохо.

До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:

,

,

,

.

После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:

,

,

,

.

1. По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:

.

2. Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:

.

Ответ:

1. Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично:

,

2. Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо: