МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Институт Энергомашиностроения и механики (ЭнМИ)

Направление подготовки: 221000 – Мехатроника и робототехника

Магистерская программа: Разработка компьютерных технологий управления и математического моделирования в робототехнике и мехатронике

Квалификация (степень) выпускника: магистр

Форма обучения: очная

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РОБОТОТЕХНИКЕ”

Цикл:

профессиональный

Часть цикла:

вариативная

№ дисциплины по учебному плану:

M.2.5

Часов (всего) по учебному плану:

180

Трудоёмкость в зачётных единицах:

5

1 семестр – 5

Лекции

36 часов

1 семестр – 36

Практические занятия

36 часов

1 семестр – 36

Лабораторные работы

нет

нет

Расчётные задания, рефераты

18 час самостоят. работы

1 семестр – 18

Объём самостоятельной работы по учебному плану (всего)

108 часов

1 семестр – 108

Экзамены

1 семестр

Курсовые проекты (работы)

нет

Москва - 2011

1.ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью дисциплины является изучение численных методов инженерных расчётов и со­путствующего математического аппарата, применяемых при компьютерном моделировании робототехнических систем для математического описания их движения и планирования траекторий рабочих органов.

При изучении дисциплины “Численные методы в робототехнике” следует иметь в виду, что данная дисциплина, будучи органическим продолжением дисциплин бакалавриата “Вы­числительная механика” и “Вычислительные методы компьютерного моделирования в механике”, оказывается одной из важнейших дисциплин в программе подготовки магистров по мехатронике и робототехнике. Это вызвано тем, что с ростом сложности проектируемых систем их аналитическое исследование становится всё более затруднительным, а создание опытных образцов обходится всё дороже, так что вычислительный эксперимент превращается в ведущий метод исследования.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Освоение данной дисциплины вносит существенный вклад в формирование у студента следующих компетенций:

Общекультурные компетенции из ФГОС ВПО:

–способности совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень (ОК-1);

–способности к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности (ОК-2);

–способности самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности (ОК-4).

Дополнительные общекультурные компетенции:

–способности использовать основные законы математических и общетехнических дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-5);

–способности мыслить логично, аргументированно – в плане логики и содержания – обосновывать свои рассуждения, обобщать и анализировать доступную информацию, планировать пути достижения поставленных целей, отличать научный подход к изучению окружающего мира от антинаучного (ОК-6);

–способности квалифицированно использовать компьютер как инструмент вычислительного эксперимента и как средство управления информацией (ОК-7);

–владения математической и естественнонаучной культурой (в том числе – в области численных методов инженерных расчётов) как частью профессиональной и общечеловеческой культуры (ОК-8).

Профессиональные компетенции из ФГОС ВПО:

–способности демонстрировать знания фундаментальных и стыковых прикладных разделов специальных дисциплин ООП магистратуры (ПК-1);

–способности самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности, расширять и углублять своё научное мировоззрение (ПК-3);

–способности совершенствовать и развивать свой интеллектуальный уровень (ПК-6);

–способности выбирать общесистемные средства программного назначения (ПК-12);

–способности свободно владеть и использовать в профессиональной сфере современные информационные технологии (ПК-19);

–способности использовать современные компьютерные сети, программные продукты и ресурсы Интернета для решения задач профессиональной деятельности, в том числе находящихся за пределами профильной подготовки (ПК-20);

–способности разрабатывать и реализовывать комплексные математические модели мехатронных и робототехнических систем (ПК-23).

Дополнительные профессиональные компетенции:

–знания – на соответствующем уровне – предметного содержания всех изучаемых в вузе разделов дисциплины “Численные методы в робототехнике”, её основных понятий, концепций и методов (ПК-26);

–способности научно анализировать проблемы, процессы и явления в области численных методов, умения квалифицированно применять на практике базовые знания, методы и алгоритмы исследования, усвоенные в ходе изучения дисциплины “Численные методы в робототехнике” (ПК-27);

–способности применять знания в области численных методов на практике, в том числе выдвигать гипотезы, составлять теоретические и информационные модели, проводить анализ границ их применимости, выбирать подходящие методы для научного анализа данных проблем (ПК-28);

–способности использовать усвоенные при изучении дисциплины “Численные методы в робототехнике” понятия и методы для решения задач теоретического и прикладного характера, для самостоятельного приобретения новых знаний в области численных методов и их приложений (ПК-29);

–способности планирования и организации собственной деятельности, осуществления адекватной самооценки и самоконтроля в процессе выполнения работы, анализа полученных результатов и прогнозирования их изменения при изменении начальных условий или параметров задачи, интерпретации полученных результатов в терминах решаемой прикладной задачи (ПК-30);

–умения квалифицированно использовать со­временные информационные технологии, системы компьютерной математики, инструментальные средства компьютерного моделирования (ПК-31);

–способности формировать законченное представление о принятых решениях и полученных результатах в виде отчёта с его публикацией (публичной защитой) (ПК-32).

Задачами дисциплины являются:

–изучение применяемых при решении задач робототехники численных методов и лежащего в основе данных методов математического аппарата (включая получение необходимых сведений из общей и линейной алгебры);

–овладение важнейшими методами решения прикладных задач в области компьютерного моделирования робототехнических систем, включая методы интерполяции и аппроксимации функций тригонометрическими многочленами и сплайнами, линейные многошаговые методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений;

–формирование устойчивых навыков по применению арсенала численных методов инженерных расчётов при решении робототехнических задач, включая методы построения программного движения роботов, методы алгебры кватернионов в применении к кинематике систем твёрдых тел, линейные многошаговые методы численного решения задачи Коши.

2.МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла основной образовательной программы подготовки магистров по магистерской программе “Разработка ком­пью­тер­ных технологий управления и математического моделирования в робототехнике и мехатронике” направления 221000 “Ме­ха­троника и робототехника”.

Дисциплина базируется на следующих дисциплинах, изучаемых в бакалавриате: “Высшая математика”, “Дискретная математика”, “Вычислительная механика”, “Основы мехатроники и робототехники”, “Вычислительные методы компьютерного моделирования в механике”.

В результате изучения дисциплины “Численные методы в робототехнике” выпускник магистратуры приобретает способность самостоятельно строить и исследовать при помощи современной компьютерной техники математические модели робототехнических систем, способные адекватно описывать поведение данных систем, а также овладевает необходимым спектром численных методов такого исследования, что позволяет ему успешно справляться с решением разнообразных задач, возникающих в современной механике, мехатронике и робототехнике.

В рамках данной дисциплины студенты приобретают навыки формализованного описания реальных систем, необходимые для успешного применения компьютерного моделирования, расширяют свой математический кругозор. С учётом этого дисциплина “Численные методы в робототехнике” играет значительную дидактическую роль. Её изучение способствует развитию у будущих специалистов склонности и способности к творческому мышлению, выработке системного подхода к исследуемым явлениям.

Знания, полученные по освоению дисциплины, необходимы при выполнении выпускной квалификационной работы магистра.

3.РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны демонстрировать следующие результаты образования:

Знать:

–основные понятия и концепции по курсу “Численные методы в робототехнике” (включая теорию и методы интерполяции и аппроксимации функций тригонометрическими многочленами и сплайнами, методы планирования траекторий и построения программного движения роботов, методы алгебры кватернионов в применении к кинематике систем твёрдых тел, основы теории линейных многошаговых методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений), порядок применения соответствующего теоретического аппарата в важнейших практических приложениях (ПК-1,23,26);

–теоретические основы применяемых при решении задач робототехники численных методов и лежащего в основе данных методов математического аппарата (включая необходимый материал из общей и линейной алгебры) (ОК-5,8, ПК-26);

–основные алгоритмы, реализующие численные методы инженерных расчётов (включая алгоритмы тригонометрической интерполяции, интерполяции и аппроксимации сплайнами, алгоритмы решения задачи Коши линейными многошаговыми методами численного интегрирования) и условия, при соблюдении которых их применение является оправданным (ОК-7,8, ПК-26,28).

Уметь:

–находить, обобщать и анализировать информацию о робототехнических системах и условиях их эксплуатации, планировать ход исследования и пути достижения поставленных целей (ОК-6, ПК-28,30);

–выделять при анализе робототехнических систем и условий их эксплуатации задачи, требующие применения численных методов и проведения вычислительных экспериментов, планировать и реализовывать решение данных задач, пользуясь общесистемными средствами программного назначения, современными программными продуктами и информационными технологиями, системами компьютерной математики, инструментальными средствами компьютерного моделирования (ОК-5,7, ПК-12,19,20,28,31);

–правильно применять основные алгоритмы, реализующие численные методы инженерных расчётов, использовать численные методы в технических приложениях (ПК-1,27,28,29);

–разрабатывать и успешно применять, пользуясь приобретёнными математическими знаниями и освоенным арсеналом численных методов, а также получаемыми самостоятельно при помощи современных информационных технологий новыми знаниями, умениями и методами исследования, алгоритмы решения практических задач в области робототехники (ОК-2,4,5, ПК-3,19,27,29);

–пользоваться современными информационными технологиями для совершенствования и развития своего интеллектуального, профессионального и общекультурного уровня (ОК-1,2,7, ПК-3,6,19);

–мыслить логично, аргументированно – в плане логики и содержания – обосновывать свои рассуждения, ясно и доходчиво излагать суть предлагаемых решений и получаемых результатов, представлять окончательные результаты проделанной работы в виде отчёта с его публикацией или публичной защитой (ОК-6, ПК-32).

Владеть:

–усвоенными при изучении дисциплины “Численные методы в робототехнике” основными понятиями и концепциями в области теории численных методов и тех разделов алгебры и анализа, которые используются при построении данной теории (ОК-5,8, ПК-1,26);

–численными методами интерполяции и аппроксимации функций тригонометрическими многочленами и сплайнами, методами планирования траекторий и построения программного движения роботов, методами алгебры кватернионов в применении к кинематике систем твёрдых тел, линейными многошаговыми методами численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ПК-1,26);

–навыками применения численных методов и алгоритмов при проведении вычислительных экспериментов и исследовании робототехнических систем в процессе выполняемых ими операций (ОК-5,7, ПК-27,28,29);

–навыками использования возможностей со­временных компьютеров и информационных технологий при компьютерном моделировании робототехнических систем (ОК-7, ПК-19,20,21,31);

–навыками письменного аргументирования собственной точки зрения (ОК-6, ПК-32).

4.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.1.Структура дисциплины

Общая трудоёмкость дисциплины составляет 5 зачётных единиц, 180 часов.

№

п/п

Раздел дисциплины.

Форма промежуточной аттестации
(по семестрам)

Всего часов на раздел

Семестр

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и
трудоёмкость (в часах)

Формы текущего контроля успеваемости

(по разделам)

лк

пр

лаб

сам.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.

Тригонометрическая интерполяция

14

1

2

4

–

8

Защита типового рас­­чё­та

2.

Интерполяция кусочными многочленами

34

1

6

10

–

18

Контрольная работа; защита типового расчёта

3.

Кватернионы в вычислительной механике

41

1

11

10

–

20

Контрольная работа; защита типового расчёта

4.

B-сплай­ны в практике приближения функций

32

1

10

8

–

14

Защита типового расчёта

5.

Линейные многошаговые методы решения обыкновенных диффе­ренциальных уравнений

21

1

7

4

–

10

Защита типового расчёта

Зачёт

2

1

–

–

–

2

Экзамен

36

1

–

–

–

36

письменный

Итого:

180

36

36

–

108

4.2.Содержание лекционно-практических форм обучения

4.2.1.Лекции

1. Тригонометрическая интерполяция

Интерполяция периодических функций. Тригонометрические многочлены. Теорема об аналоге интерполяционной формулы Лагранжа при интерполяции тригонометрическими многочленами. Лемма о суммах косинусов и синусов кратных аргументов и следствие из неё. Теорема о коэффициентах интерполяционного тригонометрического многочлена при интерполяции по равномерной сетке. Комплексная форма записи тригонометрического многочлена. Понятие о дискретном преобразовании Фурье.

2. Интерполяция кусочными многочленами

Усечённые степенные функции. Кусочные многочлены, их степень и дефект; соотношения непрерывности. Пространства кусочных многочленов; вывод формулы для их размерности. Условия включения для пространств кусочных многочленов. Звенное представление кусочного многочлена. Сплайны; пространства сплайнов, их размерность. Задача интерполяции линейными сплайнами и её решение. Вывод оценки для погрешности кусочно линейной интерполяции. Задача интерполяции эрмитовыми кубическими многочленами и вычисление коэффициентов таких многочленов. Оценка погрешности интерполяции эрмитовыми кубическими много­членами. Кубические сплайны. Получение трёхдиагональной системы уравнений для наклонов фундаменталь­ного кубического сплайна; две формы записи этих уравнений. Ре­шение систем линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей методом про­гонки. Вывод расчётных формул монотонной прогонки. Алгоритм монотонной прогонки. Матрицы с диагональным преобладанием. Теорема Леви – Деспланка. Вывод оценки для числа обусловленности матрицы системы уравнений для наклонов фундаментального кубического сплайна; оценка погрешности интерполяции такими сплайнами. Различные виды граничных условий при интерполяции сплай­нами. Особенности постановки интерполяционных задач в робо­то­тех­нике.

3. Кватернионы в вычислительной механике

Алгебраическая система кватернионов над трёхмерным векторным пространством. Основные операции над кватернионами. Арифметические кватернионы. Выражение кватернионов через их компоненты. Частные случаи формулы умножения кватернионов и следствия из них. Соотношение перестановочности для умножения кватернионов. Сопряжённый кватернион. Теорема о свойствах операции сопряжения. Формула обращения кватерниона. Основная теорема о теле кватернионов и следствия из неё. Внутренние автоморфизмы групп и колец. Теорема о внутренних автоморфизмах групп. Внутренние автоморфизмы тела кватернионов. Теорема об условиях, при которых два кватерниона порождают один и тот же внутренний автоморфизм. Гомоморфизмы групп, их примеры. Теорема о ядре и образе гомоморфизма групп. Центр группы. Представление группы в множестве. Теорема о присоединённом представлении группы; его ядро и образ. Гомоморфизм группы ненулевых кватернионов в группу автоморфизмов тела кватернионов. Гомоморфизмы колец и модулей. Рекуррентные формулы для опе­ра­торов поворота звеньев простой кинематической цепи. Единичная сфера в теле кватернионов. Гомоморфизм группы единичных кватернионов в группу автоморфизмов тела кватернионов. Кватернионы поворота. Теорема Гамильтона и следствия из неё. Параметры Родрига – Гамильтона. Описание поворотов при помощи ненормированных кватернионов. Рекуррентные формулы для вычисления кватернионов поворота звеньев простой кинематической цепи. Выражение матрицы оператора поворота через компоненты кватерниона поворота. Лемма о дифференцировании единичного кватерниона. Теорема о выражении вектора угловой скорости через производную от кватерниона поворота. Кинематическое уравнение для кватерниона поворота.

4. B-сплайны в практике приближения функций

Определение B-сплай­на при помощи рекуррентных формул. Явная формула для B-сплай­на. Вывод формулы Кокса – де Бора. Явные формулы для B-сплайнов нулевой и первой степени. Теорема о носителе B-сплай­на; следствия из неё. Разложение единицы. Теорема о получении разложения единицы на отрезке числовой прямой с использованием B-сплайнов. Задача о склеивании функций и её решение при помощи B-сплайнов. Вывод формулы для производной B-сплайна. Теорема Карри – Шёнберга. Представление сплайнов в виде ли­нейных комбинаций B-сплайнов. Решение задач интерполяции с помощью кубических B-сплайнов. Простейший способ локальной аппроксимации функций действительного переменного при помощи ку­бических B-сплайнов; теорема о погрешности этого способа аппроксимации. Кубические V-сплайны Шёнберга и их применение при локальной аппроксимации функций действительного переменного. Свойства V-сплайнов. Теорема о сохранении формы для отображения Шёнберга.

5. Линейные многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Понятие о линейных многошаговых методах. Явные и неявные методы Адамса. ABM-методы. Теорема об устойчивости методов Адамса на конечном отрезке. Практика использования методов Адамса. Представление Нордсика; лемма о векторах Нордсика алгебраического многочлена. Треугольная матрица Паскаля и вычисления с её использованием. Явный метод Адамса в представлении Нордсика. Формулы дифференцирования назад. Модельные уравнения; разностные уравнения, получаемые при применении линейных многошаговых методов к модельным уравнениям. Многочлен устойчивости линейного многошагового метода. Абсолютная устойчивость конечноразностных методов. Области абсолютной устойчивости явного и неявного метода Эйлера, правила трапеций. Понятие о жёстких задачах Коши и их свойствах. Алгоритм Гира.

4.2.2.Практические занятия

Тригонометрическая интерполяция на равномерной сетке. Способы вычисления значения тригонометрического многочлена. Аппроксимация функций тригонометрическими многочленами методом регуляризации Тихонова.

Интерполяция функций при помощи эрмитовых кубических многочленов и кубических сплайнов. Метод монотонной прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей; его применение для вычисления наклонов кубического сплайна.

Различные виды граничных условий при интерполяции кубическими сплайнами. Получение уравнений для наклонов сплайна при граничных условиях II и IV типов. Применение интерполяционных сплайнов в задаче о плани­ровании траектории рабочей точки манипуля­тора при наличии препятствий.

Операции над кватернионами. Описание изменения ориентации абсолютно твёрдого тела при помощи кватерниона поворота. Вычисление оператора по­ворота по кватерниону поворота и наоборот. Операторно-матричная интерпретация тела кватернионов.

B-сплай­ны. Вычисление значений B-сплайнов. Нахождение коэффициентов звенного представления кубического B-сплайна для случая равномерной сетки. Решение задач интерполяции кубическими сплайнами с помощью B-сплайнов.

Локальная аппроксимация функций при помощи кубических V-сплай­нов Шёнберга. Применение аппроксимационных сплайнов в задаче о плани­ровании траектории рабочей точки манипуля­тора при наличии препятствий.

Решение задачи Коши при помощи методов Адамса – Башфорта и Адамса – Мултона.

4.3.Лабораторные работы

Лабораторные работы учебным планом не предусмотрены.

4.4.Расчётные задания

Решение индивидуальных заданий по теме “Тригонометрическая интерполяция гладких и негладких функций” (выполнение задания включает составление студентом на языке Си программ по образцу типовых программ, , ).

Решение индивидуальных заданий по теме “Планирование траектории рабочей точки манипуля­тора при наличии препятствий с помощью интерполяционных кубических сплайнов” (выполнение задания включает составление студентом на языке Си программы по образцу типовой программы ).

Решение индивидуальных заданий по теме “Моде­ли­рование движения абсолютно твёрдого тела с неподвижной точкой при помощи кватернионов” (выполнение задания включает составление на языке Си программы по образцу типовой программы ).

Решение индивидуальных заданий по теме “Планирование траектории рабочей точки манипуля­тора при наличии препятствий на основе локальной аппроксимации кубическими B-сплайнами” (выполнение задания включает составление студентом на языке Си программы по образцу типовой программы ).

Решение индивидуальных заданий по теме “Численное решение задачи Коши для системы трёх дифференциальных уравнений методами Адамса – Башфорта и Адамса – Мултона” (выполнение задания включает составление программы в среде математической системы ).

5.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Лекционные занятия проводятся в форме, сочетающей традиционную манеру изложения материала и интерактивное обсуждение тех мест курса, которые относительно трудны для понимания.

Практические занятия проводятся в традиционной форме и включают как разбор типовых задач на доске, так и индивидуальное решение задач под контролем преподавателя.

Самостоятельная работа включает: повторение студентом изложенного на лекциях и практических занятиях учебного материала, решение индивидуальных домашних задач, выполнение расчётных заданий, подготовку к контрольным работам, зачёту и экзамену. При отработке студентами навыков, полученных на аудиторных занятиях, подготовке к контрольным работам, анализе результатов расчётных заданий предусматривается использование математической системы.

6.ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Для текущего контроля используются устный опрос, индивидуальные домашние задачи, расчётные задания, контрольные работы (две в течение семестра).

Аттестация по дисциплине: зачёт, экзамен.

Оценка за освоение дисциплины определяется как оценка на экзамене.

В приложение к диплому выносится оценка экзамена за первый семестр.

7.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

7.1.Литература:

а)основная литература:

1.Вержбицкий численных методов. М.: Высш. шк., 20

2.Механика промышленных роботов. Кн.1: Кинематика и динамика / , , . М.: Высш. шк., 19

б)дополнительная литература:

3., , Копчёнова методы. М.: Издательский дом МЭИ, 20

4., Шмыглевский в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 19

5.Де Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 19

6. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 20

7., Осадченко моделирование кинематики манипуляционных роботов. М.: Изд-во МЭИ, 20

8.Кострикин в алгебру. Часть III. Основные структуры. М.: Физматлит, 20

9., Хлобыстов -аппроксимация функций. М.: Высш. шк., 19

10., Сливина практикум по высшей математике. М.: Высш. шк., 19

11.Погорелов в моделирование систем твёрдых тел. Брянск: Изд-во БГТУ, 19

12., , Зенкевич роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука, 19

13.Рябенький в вычислительную математику. М.: Физматлит, 19

14.Сборник задач по методам вычислений / , , и др. М.: Физматлит, 19

15.Форсайт, М., К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 19

16. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М.: Мир, 19

17. Курс робототехники. М.: Мир, 19

7.2.Электронные образовательные ресурсы:

а)лицензионное программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

Сайт в Интернете: http://vuz.exponenta.ru (имеются наборы задач по различным разделам курсов теоретической и вычислительной механики, много полезных компьютерных программ и анимированных иллюстраций).

б)другие:

Нет.

8.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для обеспечения освоения дисциплины необходимо наличие учебных аудиторий для проведения лекций и практических занятий.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 221000 “Мехатроника и робототехника”.

ПРОГРАММУ СОСТАВИЛ:

к. ф.-м. н., доцент

УТВЕРЖДАЮ:

Зав. кафедрой теоретической механики и мехатроники

д. т.н., профессор