Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 1
г. Климовска Московской области
_________________________________________________________________________
МО, г Климовск, ул. Рощинская, д. 17 А, тел.\ факс : ; ,
/ учитель математики
МОУ СОШ № 1 г. Климовска /
Методика обучения решению заданий
с параметрами.
Проект
/ практико – ориентируемая работа /
2012 год
- 2 –
Содержание
Введение…………………………………………………………3
І. Основная часть.
1.Содержание основного раздела ……………………………………4
2.Тематическое планирование………………………………………..5
3.Поурочные разработки…………………………………………6 - 18
ІІ. Заключение………………………………………………….19
ІІІ. Список литературы…………………………………………20
- 3 -
Введение
Задачи с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие – либо тонкости. Здесь проверяется не натаскивание учащегося на определенные алгоритмы, а понимание смысла конкретной задачи. Поэтому ведущие вузы с повышенной требовательностью к математической подготовке абитуриентов уравнения и неравенства с параметрами часто включают в письменные работы по математике.
Как известно, решению задач с параметрами в общеобразовательной средней школе уделяется очень мало внимания. Потому трудно предположить, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрического тренажера», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами.
Таким образом, старшеклассникам, готовящимся поступить в вузы, где требуется основательная подготовка по математике, необходимо серьезно поработать над изучением этой темы.
Все многообразие уравнений или систем уравнений, предлагаемых на вступительных экзаменах, приводятся к квадратным уравнениям, корни которых находятся на ограниченном множестве переменной величины.
- 4 -
Предлагаемый элективный курс « Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами » ( 8 часов ) является предметно – ориентированным и предназначен для реализации в 9 классах общеобразовательной средней школе для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры, - один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.
Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче Государственной итоговой аттестации.
Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а так же формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана общеобразовательного учреждения.
В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений с параметрами, знать некоторые методы решения с параметрами ( по определению, по свойствам )
Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач :
- овладению системой знаний об уравнениях с параметрами как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений, их особенностей ;
- формированию логического мышления учащихся ;
- вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.
Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы, как выступления с докладами дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся.
Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.
- 5 -
Содержание основного раздела
квадратные уравнения.
Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента 
и дискриминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметрами первого типа ( « для каждого значения параметра найти все решения уравнения »). Решение квадратных уравнений второго типа ( «найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям »).
Тематическое планирование
Номер урока | Тема урока | Кол – во часов |
1 | Решение квадратных уравнений с параметрами | 1 |
2 | Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами. | 1 |
3 | Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным. | 1 |
4 – 6 | Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра. | 3 |
7 | Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений. | 1 |
8 | Контрольная работа « Квадратные уравнения с параметрами ». | 1 |
Итого : | 8 |
- 6 -
Урок 1.
Тема : Решение квадратных уравнений с параметрами.
Цели : формировать умение решать квадратные уравнения с параметрами; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока
І.Объяснение материала.
Определение. Уравнение вида 
, 
, где коэффициенты 
- любые действительные числа, называется квадратным.
Определение. Квадратное уравнение называется приведенным, если 
; квадратное уравнение называют неприведённым, если 
.
Определение. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором отличны от нуля.
Определение. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором один или оба коэффициента 
равны нулю.
Определение. Корнем квадратного уравнения , называют всякое значение переменной 
, при котором квадратный трехчлен 
обращается в нуль.
Выражение 
называют дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение в зависимости от знака дискриминанта D может иметь один, два или не иметь корней.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень 
( или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня 
).
- 7 -
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня 
; 
.
Теорема Виета. Если 
- корни квадратного уравнения , , то сумма корней равна 
, а их произведение равно 
.
Обратное утверждение. Если числа таковы, что 
, то эти числа – корни уравнения ,.
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при 
обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму (меняется процедура решения, в этом и состоит качественное изменение уравнения ). Дальнейшее решение зависит от D.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь коэффициент перед отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант.
D > 0, значит квадратное уравнение имеет два различных корня.
; 
Ответ : при любых значениях 
;
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрев контрольное значение 
имеем два случая.
Если 
, то получается уравнение вида 
которое является линейным и имеет корень 
- 8 -
Если 
то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.
;
; 
Ответ : при 
; при 
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при обращается в 0.
Если 
уравнение примет вид 
и является линейным. Корнем этого уравнения является 
Если 
уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант :
Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта. Если 
то квадратное уравнение не имеет корней; если 
то уравнение имеет один корень; если 
, то уравнение имеет два корня. Дискриминант обращается в нуль при 
( можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения ).
Если 
то 
и, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Если 
( но, напомним, ), то и, значит, квадратное уравнение имеет два корня :
; 
.
Если , то уравнение имеет единственное решение :
.
- 9 -
Ответ : при ;
при .;
при корней нет ;
при ; .
Пример 4. При каких значениях m ровно один из корней уравнения
равен нулю.
Решение. Если нуль является корнем уравнения, значит, квадратный трехчлен 
при 
обращается в нуль.
;
;
.
Найдем второй корень при найденных значениях m.
Если m = 3, то уравнение примет вид 
; 
.
Если m = - 3, то уравнение примет вид 
, которое имеет два кратных корня, равных нулю.
Ответ : при m = 3.
ІІ. Закрепление пройденного материала.
1. Решите уравнения :
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г)
;
д) 
;
Ответ :
а) 
; 2;
б) 
в) при 
при 
г) при 
при 
;
д) при ; при 
; при 
, 
;
2.При каких значениях m ровно один из корней уравнения 
равен нулю?
- 10 -
Ответ : m = 1,5.
3.При каких значениях m оба корня уравнения 
равны нулю?
Ответ : m = 0.
ІІІ. Самостоятельная работа по теме « Решение квадратных уравнений с параметрами ».
1.При каких значениях m ровно один из корней уравнения 
равен нулю?
2.Решите уравнения :
а) 
;
б) 
.
Ответ :
1. При m = 1,5.
2. а) 
б) при 
; при m 
.
ІV. Домашнее задание.
Решите уравнения :
1. 
;
2. 
;
3. 
.
Ответы : 1) при b = 0 
; при b = -1 ; при b = 4 
; при 
;при 
корней нет;
2) при 
; при 
корней нет; при 
;
3) при 
; при 
; при 
корней нет; при 
.
Урок 2.
Тема : Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами.
- 11 -
Цели : формировать умение решать квадратные уравнения с параметром с использованием теоремы Виета; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации.
Ход урока
І. Подведение итогов самостоятельной работы.
ІІ. Актуализация теоретических знаний.
Провести опрос по теории предыдущего урока.
- Какое уравнение называется квадратным?
-Квадратным или линейным является уравнение
;
а) при 
= 6; б) = 0 ; в) = 0,5; г) = 5 ?
ІІІ. Объяснение нового материала.
ІV. Закрепление пройденного материала.
1. Найдите все значения параметра , при которых корни 1 и 2 уравнения 
удовлетворяют условию
72 - 41 =47.
2. Найдите все значения параметра , при которых один из корней уравнения 
в два раза больше другого.
3. Найдите все значения параметра , при которых отношение корней уравнения 
равно – 4.
4. Найдите все значения параметра , при которых один корень уравнения 
равен квадрату другого.
5. Найдите все значения параметра , при которых сумма квадратов корней уравнения 
равна произведению корней этого уравнения.
6. Найдите все значения параметра , при каждом из которых больший корень уравнения 
в 6 раз больше, чем его меньший корень.
Ответы :
1) -;,5; 0,5. 5) нет решений. Решениями системы являются 
1 = 3 ; 2 = 1,5, но при каждом из этих значений дискриминант квадратного уравнения отрицателен. 6) При 
.
V. Самостоятельная работа по теме « Решение квадратных уравнений с параметрами ».
1. Решите уравнение 
.
2. При каком значении параметра разность квадратов корней уравнения 
равна 288.
3. Найдите значение m, при котором сумма квадратов корней уравнения 
равна 18.
- 12 -
Ответы :
1. При 
; при 
корней нет ; при 
;
2. с = - 108; 3. m = 4; m = -2.
V І. Домашнее задание.
1) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения 
?
Ответ : 1; -5.
2) При каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения 
равно нулю?
Ответ : 3 ; 4.
3) Дано уравнение 
. Известно, что произведение корней равно -21. Найдите значение параметра р.
Ответ : 3; 1,5 .
4) Один из корней уравнения 
больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра р и корни уравнения.
Ответ : 2 и 5 при р = 20.
Урок 3.
Тема : Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным.
Цели : использовать полученные навыки для решения нестандартных задач; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации.
Ход урока
І. Подведение итогов самостоятельной работы.
ІІ. Объяснение нового материала.
Некоторые уравнения с дробными членами сводятся к нахождению корней квадратного уравнения. Так же, как и при решении дробных уравнений, сводящихся к линейным, здесь надо проверять значения, при которых уравнение не имеет смысла.
ІІІ.. Закрепление пройденного материала.
1. Решить устно :
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Ответы : а) 
; б) при 
= -2; при = -2 = 2; при 
=2, = -2; в) при 
= - ; при 
= , = - ; г) при любых =- .
- 13 -
2. Решите уравнения :
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
3. При каких значениях параметра уравнение 
ІV. Домашнее задание.
Решить уравнения :
1. 
; 2. 
;
3. 
4. 
Урок 4 – 6.
Тема : Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.
Цели : формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от ее коэффициента.
На первом уроке после проверки домашнего задания целесообразно подать материал в форме лекции.
На втором уроке в начале проводится теоретический опрос.
- Каково расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков коэффициента и дискриминанта?
- По данным схемам назовите, какие системы им соответствуют. Не забудьте, что контрольными являются : направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершин параболы.
- Перечислите основные характеристики квадратного трехчлена.
Провести практикум.
В конце третьего урока целесообразна обучающая самостоятельная работа по теме « Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра ».
Ход урока
І. Проверка домашнего задания.
- 14 -
ІІ. Объяснение нового материала.
В результате объяснения заполняется таблица.
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков коэффициента и дискриминанта
|
| ||||||
|
 
|
| |||||
|
|
 
| |||||
|
|
|
ІІ. Закрепление пройденного материала.
1. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
больше 3 ?
2. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
больше 
?
3. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
больше 1 ?
- 15 -
4. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
положительны?
5. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
лежат в интервале ( 0; 3 ) ?
6. Существуют ли такие значения параметра , что корни уравнения 
лежат между -1 и 1 ?
7. При каких значениях параметра все решения уравнения 
удовлетворяют условию 0 < < 3?
8. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < < 3?
9. При каких значениях параметра оба корня уравнения 
больше ?
10. При каких значениях параметра все корни уравнения 
расположены на отрезке [ -2;6 ] ?
11. При каких значениях параметра все корн и уравнения 
расположены на отрезке [ 2; 5 ] ?
ІІІ. Домашнее задание.
1) При каких значениях параметра оба корня уравнения 
положительны?
2) При каких значениях параметра m корни уравнения 
имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4 ?
3) При каких значениях параметра оба корня уравнения 
принадлежат интервалу ( 2; 5 ) ?
Ответы :; -4 ) ;,9; - 5,5 ) ; 3) 
.
Урок 7.
Тема : Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений.
Цели : развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации, активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока
І. Подведение итогов самостоятельной работы.
ІІ. Объяснение нового материала.
- 16 -
Довольно типичными являются задачи со следующим условием : найти те значения параметра , при которых два уравнения 
и 
имеют общий корень. Если одно из этих уравнений можно легко решить относительно переменной , то так и нужно сделать, после
чего подставить найденные корни во второе уравнение. В противном случае следует рассмотреть какое – нибудь вспомогательное уравнение
вида 
, в котором коэффициенты α и β подбираются так, чтобы уравнение уже не содержало параметра или легко решалось относительно . Если два уравнения и имеют общий корень 0 , то при любых α и β уравнение имеет тот же корень 0 . Поэтому все общие корни уравнений и являются корнем уравнения . Решив последнее уравнение и подставив найденные числа в одно из данных уравнений, можно найти допустимые значения параметра.
ІІІ. Закрепление пройденного материала.
1.Установить, при каких значениях параметра уравнения 
и 
имеют общий корень. Найти соответствующий корень.
Ответ : = 1, = 1; 
, .
2. Даны два уравнения 
и 
, 
.Определить то значение 
, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.
Ответ : 
ІV. Домашнее задание.
При каких значениях параметра уравнения 
и имеют общий корень?
Ответ : = -6.
Урок 8.
Тема : Контрольная работа по теме « Квадратные неравенства с параметрами »
Цель : осуществить контроль усвоения полученных знаний..
Вариант 1.
- 17 -
1. Определить, квадратным или линейным является уравнение 
при а) = 5; б) = 3; в) = -1.
2. При каких значениях параметра уравнение 
имеет два различных корня?
3. При каких значения параметра произведение корней уравнения 
равно нулю?
4. При каких значениях параметра уравнение 
имеет единственное решение?
5. Решите уравнения : а) 
; б) 
;
в) 
.
Вариант 2.
6. Определить, квадратным или линейным является уравнение 
при а) с = 5; б) с = -3; в) с = 1.
7. При каких значениях параметра уравнение 
не имеет корней?
8. При каких значения параметра произведение корней уравнения 
равно 1 ?
9. При каких значениях параметра уравнение 
имеет два различных корня?
10. Решите уравнения : а) 
; б) 
;
в) 
.
Ответы :
Вариант1.
1. а) Квадратным ; б) Линейным ; в) Квадратным.
2. 
. 3. При = 1, =При = 2.
5. а) При = 0 ; при = 0, = -;
б) При = 0 = - 
; при 
; при 
; при 
корней нет;
- 18 -
в) При 
корней нет; при 
= 1; при 
.
Вариант 2.
1. а) Квадратным ; б) Линейным ; в) Квадратным.
2.
. 3. При = 1, = 
. 4. При 
.
5. а) При = 0 у = 0 ; при у = 0, у = 1 ;
б) При = 0 =1,2 ; при 
; при 
; при 
нет корней ;
в) При 
корней нет ; при 
; при = 1 
; при 
.
- 19 -
Заключение
Во время создания данного проекта я усовершенствовала свои старые знания по теме « Уравнения с параметрами, связанных со свойствами квадратичной функции » и в какой - то мере получила новые.
По завершению работы пришла к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительный в ВУЗы.
- 20 -
Используемая литература.
1. Примеры с параметрами и их решение : пособие для поступающих в вузы /. – М.: АРКТИ, 2000.
2. Элективный курс « Задачи с параметрами »[Электронный ресурс] /, //Фестиваль педагогических идей. Открытый урок 2006 – 2007 учебный год. Сайт ИД «Первое сентября»
3. Факультативный курс по математике. Решение задач.: учебное пособие для 10 класса средней школы / // -М.: Просвещение, 1989.
4. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе / , //- М.: Илекса, 2002.
5. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Пособие для школьников, абитуриентов./ // - С.-Петербург, Москва, 2006.
