Уравнение продольных огибающих нерелятивистского сгустка заряженных частиц, движущегося в поле бегущей волны

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

уРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ОГИБАЮЩИХ

НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО СГУСТКА ЗАРЯЖЕННЫХ

ЧАСТИЦ, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ПОЛЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Для продольного движения нерелятивистского сгустка заряженных частиц в поле бегущей волны построена функция Лагранжа и выведено одноименное уравнение, представляющее уравнение продольных огибающих сгустка.

Для нерелятивистского сгустка заряженных частиц эллипсоидной формы построена функция Лагранжа продольного движения сгустка в поле бегущей волны (система с одной степенью свободы) при условии, что заряды распределены равномерно в занимаемой или области фазового пространства, и что в качестве обобщенной координаты q выбрана продольная полуось эллипсоида вращения, аппроксимирующего сгусток в конфигурационном пространстве.

На основе полученной функции Лагранжа составлено одноименное уравнение, которое является уравнением продольных огибающих сгустка и которое в безразмерных единицах имеет вид

, (1)

где

; ; ; (2)

здесь А – амплитуда бегущей волны; βp – ее фазовая скорость; φр – фаза равновесной частицы; z – продольная координата; Е0 – энергия покоя ионов сгустка; Z – кратность их заряда; η – поперечная полуось эллипсоида вращения, аппроксимирующего сгусток; I – импульсный ток цуга сгустков; М – коэффициент формы эллипсоида вращения; Р(Ψ) – полином, который получается при переходе из фазового в конфигурационное пространство путем интегрирования функции распределения ионов в фазовом пространстве по обобщенному импульсу.

При выводе уравнения огибающих никаких ограничений на длину сгустка (фазовый размер) не накладывалось. Кроме того, как это видно из уравнения, в нем учитывается сила трения, вызванная изменением фазовой скорости волны, и собственное продольное кулоновское поле сгустка, аппроксимируемое полем равномерно заряженного эллипсоида [1], так что по отношению к такому полю уравнение огибающих является самосогласованным.

В качестве примера на рис. 1, 2 приведены полученные из уравнения Лагранжа продольные огибающие сгустка и его спектра, которые сравниваются с аналогичными функциями, рассчитанными традиционным методом отдельных частиц. В приведенном примере = 45˚, а начальная длина сгустка равна 80˚.

Хорошее совпадение результатов говорит о работоспособности данного подхода.

Рис. 1

Рис. 2

Список литературы

1. Власов линейных ускорителей. – М.: Атомиздат, 1965.