Основные численные методы (стр. 4 )

Итак, для получения приближенного значения функции по формуле Ньютона достаточно к табличному значению прибавить поправку, равную .

В случае квадратичной интерполяции используют три значения функции

Вторая интерполяционная формула Ньютона

.

Сравнение записей в форме Лагранжа и Ньютона

Для вычисления значения функции в точке x, не являющейся узлом интерполяции, можно положить (где ).

Пусть уже найден, но мы решили для уточнения привлечь еще один узел и значение в нем. Тогда для вычисления с помощью формулы Лагранжа (3.8 или 3.9) нужно заново провести всю работу.

Для вычисления по формуле Ньютона (3.10) или (3.11) нужно досчитать только поправку или . Кстати, сразу будет видно, насколько она велика.

Теперь ясно видно различие между формулами Ньютона и Лагранжа. В форм.9) каждое из слагаемых представляет многочлен n - ой степени и все эти слагаемые равноправны. Поэтому мы не можем заранее (т. е. до производства вычислений) пренебрегать какими-либо из них. В формулу же Ньютона входят в качестве слагаемых многочлены повышающихся степеней, причем коэффициентами при них служат последовательные конечные разности, деленные на факториалы. Как мы уже видели, последовательные разности обычно довольно быстро уменьшаются. Поэтому мы получаем возможность, не учитывать в формуле Ньютона тех слагаемых, коэффициентами при которых становятся пренебрежимо малыми.

Сравнение форм Лагранжа и Ньютона для интерполяционного многочлена позволяет рекомендовать использование представления в форме Лагранжа:

а) во-первых, в теоретических исследованиях, например при изучении вопроса о сходимости к функции ;

б) во-вторых, при интерполировании нескольких функций на одной и той же сетке узлов, поскольку в этом случае можно один раз вычислить множители Лагранжа и использовать их для интерполяции всех функций.

4. Погрешность интерполяции

Ошибка приближения функции интерполяционным многочленом n-й степени в точке x - это разность . Оценить значение погрешности позволяет следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке , содержащем узлы интерполяции , . Тогда

. (3.12)

Из (3.12) следует оценка погрешности интерполяции

. (3.13)

Погрешность интерполяции в точке относительно переменной t можно представить в виде

, (3.14)

где ξ – некоторая точка, принадлежащая интервалу (a; b).

Если , то оценка погрешности интерполяции в точке , имеет вид

, (3.15)

3. Интерполирование сплайнами.

1. Информация относительно аппроксимируемой функции

Пусть функция определена на отрезке , который разбит точками на n частичных отрезков , и задана таблицей своих значений .

2. Класс аппроксимирующих функций

Интерполяционным сплайном степени m называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) на каждом из частичных отрезков является многочленом степени m;

2) функция непрерывна на отрезке вместе со всеми своими производными до порядка ;

3) .

Если , то для единственности следует задать еще условий, которые обычно задаются на концах отрезка либо произвольно, либо из дополнительной информации о поведении .

Разность между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке производной называется дефектом сплайна.

Если , то имеем сплайн первой степени (метод ломаных) с дефектом, равным единице, так как непрерывна только сама функция (нулевая производная), а первая производная уже разрывная.

Наиболее широкое распространение на практике получили сплайны третьей степени (кубические сплайны) с дефектом, равным 1 или 2.

На каждом из отрезков является кубическим многочленом вида

(3.16)

3. Выбор критерия согласия

Функция обладает следующими свойствами:

1) Функция непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно;

2) в узлах сетки выполняются равенства

; (3.17)

3) удовлетворяет граничным условиям

. (3.18)

4. Метод наименьших квадратов.

1. Информация относительно аппроксимируемой функции

Пусть функция задана таблицей приближенных значений

. (3.19)

Эти значения получены с ошибками , где .

2. Класс аппроксимирующих функций

В качестве аппроксимирующей функции будем принимать многочлен некоторой степени m.

. (3.20)

Здесь – параметры модели, являющиеся коэффициентами многочлена .

3. Выбор критерия согласия

Как нетрудно видеть, при интерполировании происходит повторение ошибок наблюдений, в то время как при обработке экспериментальных данных желательно, напротив, их сглаживание.

Отказываясь от требования выполнения в точках точных равенств, следует все же стремиться к тому, чтобы в этих точках выполнялись соответствующие приближенные равенства . Из различных критериев, позволяющих выбрать параметры модели так, чтобы приближенные равенства удовлетворялись наилучшим в некотором смысле образом, наиболее часто используется критерий наименьших квадратов. Согласно этому критерию параметры выбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратичное уклонение многочлена от заданных табличных значений .

Итак, задача метода наименьших квадратов состоит в следующем. Требуется найти многочлен , для которого среднеквадратичное уклонение принимает минимальное значение .

1) Если (степень аппроксимирующего многочлена не меньше числа наблюдений), то существует бесконечное множество многочленов, для которых выполняется равенство .

2) Если (степень аппроксимирующего многочлена на единицу меньше числа наблюдений) равенство обеспечивается единственным многочленом, дающим решение интерполяционной задачи.

3) Если (в дальнейшем рассматривается только этот случай), то при любых значениях коэффициентов многочлена нужно так выбрать коэффициенты этого многочлена, чтобы величина была минимальной.

4. Погрешность метода наименьших квадратов

Оценить значение погрешности метода наименьших квадратов позволяет следующая формула для среднеквадратичного уклонения

.

В точке минимума функции δ ее производные обращаются в нуль. Дифференцируя δ и приравнивая к нулю производные, получим так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов. Эта система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, т. е. решение системы существует и единственно. Однако на практике описанную методику применяют только для нахождения многочленов, степень которых не выше 4-5. При более высоких степенях нормальная система становится плохо обусловленной и погрешности определения коэффициентов велики.

Пример 4.1. Аппроксимировать многочленом второй степени по методу наименьших квадратов функцию, заданную таблицей:

	-2.6	-2.1	-1.1	0	1.1	2.1
	2.5	3.8	5	4.1	0.6	-4.6

▲ В данном примере заданную табличную функцию требуется аппроксимировать многочленом второй степени . В этом случае нормальная система имеет вид

(3.21)

Исходные данные и результаты обработки представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

i
1	-2.6	6.76	-17.576	45.6976	2.5	-6.5	16.900
2	-2.1	4.41	-9.261	19.4481	3.8	-7.98	16.758
3	-1.1	1.21	-1.331	1.4661	5	-5.5	6.050
4	0	0	0	0	4.1	0	0
5	1.1	1.21	1.331	1.4661	0.6	0.66	0.726
6	2.1	4.41	9.261	19.4481	-4.6	-9.66	-20.286
å	-2.6	18.00	-17.576	87.5260	11.4	-28.98	20.148

Система уравнений (3.21) в данном случае принимает вид

Решая эту систему методом Гаусса (см. пример 2.3 темы 2), находим: .

Следовательно, . ▼

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте постановку задачи об аппроксимации функции.

2. Каковы основные вопросы численной реализации задачи об аппроксимации функции?

3. Сформулируйте постановку задачи интерполяции.

4. В чем заключается отличие интерполяции функции от экстраполяции?

5. Что такое интерполяционный многочлен?

6. От чего зависит интерполяционный многочлен Лагранжа?

7. От чего зависит погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа?

8. В чем состоят свойства конечных разностей?

9. В чем заключается контроль таблицы конечных разностей?

10. В чем заключаются достоинства и недостатки записей в форме Лагранжа и Ньютона?

11. Что представляет собой график интерполяционного многочлена при значениях и ?

12. Какими формулами (Лагранжа или Ньютона) удобнее пользоваться в случае равноотстоящих узлов интерполяции и почему?

13. Сколько интерполяционных многочленов можно построить для одной функции и одной системы узлов интерполяции?

14. Почему погрешность интерполяции для интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона оценивается с помощью одной и той же формулы?

15. В чем заключается задача интерполирования кубическими сплайнами?

16. В чем заключается задача приближения функции методом наименьших квадратов?

Численное дифференцирование и интегрирование

Литература

[1] – Гл. 3; [2] – л. 6; [3] – ч. 1, гл. 3; [4] – гл. 2, п. 15, 16, гл. 3, п. 1-6, 8;

[5] – ч. 2, гл. 4; [6] – гл. 12, 13; [7] – гл. 7, 8; [8] – гл. 6, 7.

Основные теоретические сведения

1. Численное дифференцирование. Пусть функция задана таблицей своих значений

. (4.1)

Простейший способ построения формул численного дифференцирования состоит в следующем. По табличным данным приближаем функцию интерполяционным многочленом с остаточным членом , так что

. (4.2)

Дифференцируя равенство (4.2) необходимое число раз, можно найти значения производных :

. (4.3)

В качестве приближенного значения производной порядка k функции можно принять соответствующее значение производной многочлена , т. е. .

Величина , характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной.

При вычислениях на ПК, когда мы заинтересованы, скорее, не в малом количестве арифметических операций, а в экономии элементов памяти и в простоте программирования, достаточно выгодно использовать представление интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. При счете на микрокалькуляторах более рационально, по-видимому, воспользоваться многочленом в форме Ньютона. Наиболее простой вид принимают формулы численного дифференцирования при использовании таблиц (4.1) с постоянным шагом или . Если, например, исходить из правила Ньютона для интерполирования в начале таблицы, получатся следующие выражения для производных: