Задания

№1. Пусть дано уравнение . ООУ:

Найдем несколько частных решений этого уравнения:

Эти решения можно записать и так:

Если , то . Если , то . Если , то .

Найдем общее решение:

1. 2. Если , то решений нет.

Ответ: 1. Если , то . 2. Если , то решений нет.

►Определение. Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

№2. Решим уравнение .

Решение

ООУ: , .

Ответ: 1. Если , то . 2. Если , то решений нет.

►Определение. Уравнения и равносильны при фиксированном значении , если уравнения и равносильны.

№3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения и равносильны.

Решение

1.  При оба уравнения решений не имеют, а потому равносильны.

2.  Если , то - решения первого уравнения, - решения второго уравнения.

Найдем значения а, при которых эти решения равны.

. При .

Ответ: 1; 3.

►Определение. Уравнение является следствием уравнения при некотором значении , если множество решений уравнения содержится среди множества решений уравнения .

Аналогичные определения легко сформулировать для неравенств с параметром, заменив в выше перечисленных определениях термин «уравнение» на термин «неравенство».

Рассмотрим пример, иллюстрирующий последнее определение для неравенств с параметром.

№4. При каких значениях а неравенство (1) является следствием неравенства (2).

Решение

Решаем каждое из неравенств:

(1) (2)

А теперь достаточно решить неравенство

: , .

Ответ: (4; +¥).

Примеры, иллюстрирующие некоторые особенности авторской методики

№5. Решите неравенство .

Решение

Найдем область определения неравенства (ООН):

От данного неравенства переходим к неравенству , а затем к равносильной ему в ООН совокупности двух систем:

Решаем каждую из систем, а результаты поэтапного решения отмечаем на осях параметра (1) и (2), соответственно. Затем объединяем полученные множества решений на «оси ответа» ( и - корни квадратного трехчлена ).

 

Рис. 1

Ответ: 1. Если , то . 2. Если , то . 3. Если , то . 4. Если , то решений нет.

№6. Решите неравенство .

Решение

ООН:

При аналитическом решении данного неравенства рассматриваем три случая:

1) ; 2) ; 3) .

Результаты решения представлены на «оси ответа» (рис. 2).

Рис. 2

 

Графическая интерпретации ответа, особенно в начале работы с параметром, помогает лучше увидеть связь переменной и параметра в уравнении (неравенстве), глубже понять природу параметра, провести наглядный анализ ответа. Приведем графическую интерпретацию ответа к примеру №6. (Рис. 3).

Координаты каждой точки выделенной на рис. 3 части плоскости (включая прямые и ) удовлетворяют данному неравенству.

Учащимся предлагается ответить на ряд дополнительных вопросов, пользуясь как осью ответа, так и его графической иллюстрацией.

Дополнительные вопросы.

1. При каких значениях b неравенство имеет только положительные решения? (Ответ: ни при каких b).

2. При каких значениях b не является решением неравенства? (Ответ: ).

3. При каких значениях b является решением данного неравенства?

1) Используем ось ответа.

Все значения нас устраивают: .

 

Пусть .

Тогда может занять одно из следующих положений:

 

.

Ответ: .

2) Используем графическую иллюстрацию ответа. (Рис. 6).

 

Ответ: .

4. Найдите множество решений неравенства при .

Ответ: .

№7. Решите неравенство .

Решение

ООН: Решим неравенство в системе координат (хОу). Рассмотрим функцию , задающую семейство парабол, ветви которых направлены вверх. Решаем неравенство .

(-4; 0), (2а; 0), (0; -8а) - точки пересечения парабол с осями координат;

Рассмотрим три случая.

1. , . Получим неравенство , откуда .

2. , . (Рис. 7). Тогда .

3. , . (Рис. 8). Тогда .

Ответ представлен ниже на оси параметра. (Рис. 9).

 

Дополнительные вопросы

Ответьте, используя ось ответа, на следующие вопросы.

1. Сколько целых решений имеет неравенство при ?

Решение

Если , то . Неравенство имеет 7 целых решений: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2.

2. При каких значениях параметра а множество решений неравенства:

а) содержит число 3; б) не содержит число 1; в) содержит хотя бы одно положительное число; г) содержит единственное целое решение?

Решение

а) , если , т. е. . б) удовлетворяет условию.

Легко видеть, что . Поэтому все тоже подходят.

Рассмотрим отрезок , где .

, если т. е. .

в) Отрезок не содержит положительных чисел. Следовательно, не удовлетворяют условию задачи. Отрезок будет содержать хотя бы одно положительное число, если , т. е. .

г) При любом значении параметра а неравенство имеет целое решение . Поэтому условию задачи удовлетворяют следующие значения параметра а:

откуда .

3. Найдите множество решений данного неравенства при .

Ответ: при .

Замечание.

Ответить на все эти дополнительные вопросы можно, используя графическую иллюстрацию ответа. Она приведена на рисунке 10.

-2 0 1 а

 

1. Приведём фрагмент графической иллюстрации. (Рис. 11)

 

Из рисунка видно, что при множество решений неравенства содержит 7 целых чисел.

2. а) Опять воспользуемся графической иллюстрацией ответа (Рис. 12).

 

Если , то . Условию удовлетворяют .

б) Если , то . По условию число 1 не принадлежит множеству решений неравенства. Поэтому . (Рис. 13).

 

в) Из рисунка 14 видно, что условию задачи удовлетворяют .

 

г) Множество решений неравенства содержит только одно целое число, если . (Рис. 15).

 

3. При . (Рис. 16).