О выборе опционного базиса при использовании CC-VAR на финансовых рынках (стр. 3 )

cS = {0.082, 0.0 0.0 0.104, 0. 0. 0.108, 0. 0. 0.094};

uC = {0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.};

uP = {0., 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.901898};

cB = {0.0 0.09125, 0.0 0. 0.10725, 0. 0. 0.10525, 0. 0.0942778};

m = {0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0 0.0 1};

cE = m Y–1 = {0.0 0.09125, 0.0 0. 0.10725, 0. 0. 0.10525, 0.089158, 0.105703}.

Вариант #SS.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0. 0. 0. 1.0, 0. 0. 0. 0.0 0.0 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0402203;

GSS = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 – 3.01263 С4 – 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. □

5.1.1. Варианты с базисом Β

Вариант #SB.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0. 0. 0. 1.0, 0. 0. 0. 0.0 0.0 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0398317;

GSB = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 – 3.01263 С4 – 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. □

Вариант #BB.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4}

g = {0. 0. 0. 1.0, 0.79305, 0. 0. 0.0 0. 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0398086;

GBB = 0.129025 U + 0.934846 С1 + 0.510567 С2 + 0.529204 С3 – 3.00937 С4 – 0.653721 С5 + 0.50994 С6 + 0.46634 С7 + 0.478919 С8 + 0.113575 С9 + 0.1197 С10. □ (43)

Вариант #BsB.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0. 0. 0. 1.0, 0. 0. 0. 0.0 0.0 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0398317;

GBsB = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 – 3.01263 С4 – 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. □ (44)

5.1.2. Варианты с базисом Ε

Вариант #SE.

ξ = {10,8,1,7,2,6,3,9,5,4}

g = {0. 0. 0. 1.0, 0. 0. 0. 0. 0. 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.028707;

GSE = w E = g Y–1 E = 0.070119 U + 0.744525 С1 + 0.499635 С2 + 1.41656 С3 – 3.69666 С4 – 1.24148 С5 + 1.29165 С6 + 0.45417 С7 + 3.38563 С8 – 5.84469 С9. □

Вариант #EE.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4}

g = {0. 0. 0. 1.0, 0.79305, 0. 0. 0.0 0. 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0398782;

GEE = w E = g Y–1 E = 0.129025 U + 0.934846 С1 + 0.510567 С2 + 0.529204 С3 – 3.00937 С4 – 0.653721 С5 + 0.50994 С6 + 0.46634 С7 + 0.478919 С8 + 0.121745 С9. □ (45)

Вариант #EsE.

ξ = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0. 0. 0. 1.0, 0. 0. 0. 0.0 0.0 0.};

A = 0. R = 0. y = 0.0399849;

GEsE = w E = g Y–1 E = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 – 3.01263 С4 – 0.654045 С5 + + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0. C10. □ (46)

В отличие от примера 1 на этот раз π(x; GSB) = π(x; GSS), и это обусловлено исключительно совпадением упорядоченностей. Также и π(x; GBsB) = π(x; GSS), что объясняется не только совпадением упорядоченностей, но еще и единым для всех трех вариантов правилом назначения вероятностей. Правило назначения вероятностей иное для варианта #BsB и потому, как и следовало ожидать, оказывается, что π(x; GBB) ≠ π(x; GBsB), но все же можно признать, что π(x; GBB) ≈ π(x; GBsB).

Как и в примере 1, качественную оценку вариантов можно формально записать соотношением предпочтения

#EsE (#EE, #SE, #SS).

5.2. Графики и анализ результатов для примера 2

Здесь для примера 2 приводятся графики, аналогичные графикам на рис. 2–7. Различий в графиках для портфелей GBB и GSB в принятом на рис. 8 масштабе практически не заметно, что обусловлено совпадением упорядоченностей по страйкам (см. рис. 11 ниже). График для портфеля GSB одновременно служит графиком для GBsB, так как в данном примере π(x; GBsB) = π(x; GSB).

На рис. 9 приводятся аналогичные графики для базиса E. На нем различия в графиках для портфелей GEE и GSE уже весьма значимы; они обусловлены различием в упорядоченностях по страйкам, возникающим вследствие несовпадения векторов cE и cS. График для портфеля GEsE при изображении в принятом на данном рисунке масштабе должен практически сливаться с графиком для GEE (см. рис. 11 ниже).

Рис. 8. Графики функций π(x; GBB) (непрерывная линия), π(x; GSB) – 0.02 (прерывистая линия)

Рис. 9. Графики функций π(x; GEE) (непрерывная линия) и π(x; GSE) – 0.02 (прерывистая линия)

Рис. 10. Графики функций π(x; GBsB – GEsE) (непрерывная линия), π(x; GSB – GSE) + 0.002 (прерывистая линия)

На рис. 10 в увеличенном масштабе приводятся графики для разностей платежных функций однотипных портфелей для разных базисов, демонстрирующие наличие расхождений.

Рис. 11. Графики функций π(x; GBB – GBsB) (непрерывная линия) и π(x; GEE – GEsE) + 0.00005 (прерывистая линия).

Они позволяют оценить степень различия обоих портфелей в двух родственных вариантах. Очевидно, что между вариантами #BsB и #EsE различия незначительны, причем проявляются они лишь в зоне двух наибольших страйков, но более значимы между вариантами #SB и #SE.

Функция π(x; GBB – GEE) должна на этом графике почти сливаться с π(x; GBsB – GEsE) и потому на нем не изображается (см. рис. 12 ниже).

Для примера 2 аналоги графиков на рис. 6 и 7 можно не строить. Специфика выбора базиса E такова, что изменения по сравнению с базисом Β затрагивают лишь последние два базисных инструмента и, кроме того, в обоих случаях ξ1 = 10, ξ2 = 9. В то же время изменения в данных коснулись лишь ценовых характеристик и не изменили назначения вероятностей. Вследствие этого функции π(x; GBsB – GEsE) и π(x; GBB – GEE) и их разность в рассматриваемом случае одинаковы для обоих примеров. Поэтому и их графики для примера 2 в точности совпадают с соответствующими графиками для примера 1 (на рис. 6 и 7). В этом можно удостовериться, если провести фактические вычитания в выражениях для платежных функций, заданных соотношениями (43)-(46).

Итак, результаты примеров 1 и 2 схожи, если не считать двух особенностей. Во-первых, в отличие от примера 1 в примере 2 платежные функции π(x; GBsB) и π(x; GSS) совпадают, что следует объяснять игрой случая, управляющего упорядоченностями. Во-вторых, в примере 2 в зоне ответственности крайне правых страйков (при x > sn–1) отклонение π(x; GSE) от π(x; GEE) существенно больше, что связано с изменением ценовой плотности. Общим является то, что в обоих примерах значительные искажения в платежных функциях портфелей оказываются возможными, и происходит это вследствие использования базисов из элементарных инструментов, не сводящихся к каноническому. В остальном выводы из результатов примера 2 делаются аналогичные.

6. Примеры сведения базиса к каноническому

В данном разделе приводятся два примера базисов, сводящихся к каноническому.

6.1. Базис из пут - и колл-спрэдов

Здесь рассматривается пример 3 с использованием данных из примера 1, но применяться они будут к иному базису из элементарных инструментов. Введем более сложный базис, состоящий исключительно из спрэдов, в котором прослеживается целенаправленная избыточность исходного инструментария. В наборе участвуют
путы Pi, i ≤ 6, и коллы Ci, i ≥ 5, (всего 12 инструментов), их которых строятся пять пут-спрэдов Si = Pi+1 – Pi, i ≤ 5, и пять колл-
спрэдов Si = Ci–1 – Ci, i ≥ 6. Эти инструменты должны играть роль элементарных инструментов в базисе Ε. Имеем

Ε = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10} = {P2 – P1, P3 – P2,
P4 –P3, P5 – P4, P6 – P5, C5 – C6, C6 – C7, C7 – C8, C8 – C9, C9 – C10}.

Суть базиса в том, что крайние два спрэда (P2 – P1 и C9 – C10) обеспечивают адекватное отображение хвостов прогнозного распределения вероятностей, остальные – кумулятивных вероятностей для двух начинающихся от краев вложенных совокупностей сценариев.

Матрица Y = [yij] для этого базиса образуется по очевидному правилу: yij = h, если i ≤ 5 и j ≤ i или если i ≥ 6 и j ≥ i, в противном случае yij = 0. Имеем

,

Поскольку Det[Y] ≠ 0, базис Ε является допустимым и его можно использовать для построения оптимального портфеля. Определяя базис Φ по формуле (31), получаем

Φ = Y–1 E = {– (P1 – P2)/h,  (P1 – 2P2 + P3)/h,  (P2 – 2P3 + P4)/h,  (P3 – 2P4 + P5)/h, (P4 – 2P5 + P6)/h, (C5 – 2C6 + C7)/h, (C6 – 2C7 + C8)/h, (C7 – 2C8 + C9)/h, (C8 – 2C9 + C10)/h, (C9 – C10)/h}.

В базисе Φ первые пять инструментов образованы путами, а вторые – коллами, и определение стоимости первых следовало бы проводить по формулам (23), (25), а вторых – (22), (24). Однако из теорем паритета следует, что в представлении для Φ коллы и путы взаимозаменяемы. Поэтому базис Φ эквивалентен канониче-
скому (21), и мы фактически имеем дело с разновидностью задачи для примера 1.1, во всяком случае, для нашего идеального рынка. Поэтому и результаты применения алгоритма можно заимствовать из того же примера. Нам понадобится лишь учесть специфику данного примера в окончательном представлении портфеля.

Итак, рассмотрим три варианта с базисом Ε.

Вариант #SE. Вариант состоит в использовании пары
векторов {pS, cE}, т. е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению ρ = pS/cE, но средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pE[ξ]). При этом pS заимствуется из
примера 1, а cE = cB, где cB, заимствуется из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #SB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0. 0.80425, 1.0, 0.64513, 0. 0.25, 0. 0.0 0.0 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β:

GSE = ∑ iÎI giBi.

Теперь приводим его к желаемому виду

G3,SE = w E = g Y–1 E = –2.33461 S1 – 0.978749 S2 + 1.77435 S3 + 0.820246 S4 + 2.4054 S5 + 1.25 S6 – 0.500381 S7 – 0.36431 S8 – 0.233232 S9 – 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 2.33461 P1 – 1.35586 P2 – 2.7531 P3 + 0.954102 P4 – 1.58516 P5 + 2.4054 P6 + 1.25 C5 –1.75038 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (27) совпадают: π(x; G3,SE) =  π(x; G1,SB) (числовой индекс обозначения портфеля указывает номер примера).

Вариант #EE. Вариант использует пару векторов {pE, cE}, т. е. упорядочение сценариев проводится по отношению ρ = pE/cE, и средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pУ[ξ]). При этом pE = pB, cE = cB, где pB и cB, заимствуются из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #BB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0. 0. 1.0, 0. 0.37536, 0.25, 0. 0.0 0. 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EE = w E = g Y–1 E = –1.61427 S1 – 0.977553 S2 + 1.77221 S3 + 1.35099 S4 + 1.8768 S5 + 1.25 S6 – 0.499864 S7 – 0.364086 S8 – 0.233274 S9 – 0.1197 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,EE = 1.61427 P1 – 0.636714 P2 – 2.74976 P3 + 0.421215 P4 – 0.525811 P5 + 1.8768 P6 + 1.25 C5 – 1.74986 C6 + 0.135778 C7 + 0.130812 C8 + 0.113575 C9 + 0.1197 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (28) совпадают: π(x; G3,EE) =  π(x; G1,BB).

Вариант #EsE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т. е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению ρ = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c используются векторы pE и cE, за исключением того, что назначение вероятностей проводится по формуле d = pS[ξ]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

g = {0. 0.80425, 1.0, 0.64513, 0. 0.25, 0. 0.0 0.0 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EsE = w E = g Y–1 E = –1.61585 S1 – 0.978749 S2 + 1.77435 S3 + 1.34803 S4 + 1.87762 S5 + 1.25 S6 – 0.500381 S7 – 0.36431 S8 – 0.233232 S9 – 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 1.61585 P1 – 0.637098 P2 – 2.7531 P3 + 0.426317 P4 – 0.529587 P5 + 1.87762 P6 + 1.25 C5 –1.75038 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (29) совпадают: π(x; G3,EsE) = π(x; G1,BsB).

6.2. Базис из пут - и колл-спрэдов с парой баттерфляев

Здесь рассматривается пример 4 с использованием данных из примера 1, но применяться они будут к иному базису из элементарных инструментов. Введем более сложный базис, состоящий исключительно из спрэдов, в котором прослеживается целенаправленная избыточность исходного инструментария.

В наборе снова участвуют путы Pi, i ≤ 6, и коллы Ci, i ≥ 5, (всего 12 инструментов). Из них строятся четыре пут-
спрэда Si = Pi+1 – Pi, i ≤ 4, четыре колл-спрэда Si = Ci–1 – Ci, i ≥ 7, а также два смешанных баттерфляя E5 = 2hU + P3 – P5 – C5 + C7
и E6 = 2hU + P4 –– P6 – C6 + C8. Все эти десять инструментов играют роль элементарных инструментов, составляющих базис Ε. Итак,

Ε = {S1, S2, S3, S4, E5, E6, S7, S8, S9, S10} = {P2 – P1, P3 – P2,
P4 – P3, P5 – P4, 2hU + P3 – P5 – C5 + C7, 2hU + P4 ––P6 – C6 + C8,
C6 – C7, C7 – C8, C8 – C9, C9 – C10}.

Матрица Y = [yij] для этого базиса образуется по правилу: yij = h, если i ≤ 4, j ≤ i, или если i ≥ 7, j ≥ i, или если j = i ± 1, i=5,6; yij = 2h, если j = i, i = 5,6; в противном случае yij = 0. Имеем

,

.

Поскольку Det[Y] ≠ 0, базис Ε является допустимым, и его можно использовать для построения оптимального портфеля.

В структуре базиса вновь выдержана основная идея: крайние два спрэда (P2 – P1 и C9 – C10) должны обеспечить адекватное отображение хвостов прогнозного распределения вероятностей, остальные определенным образом отражают кумулятивные вероятностные свойства покрывающих все множество X совокупностей сценариев.

Определение базиса Φ проводится по формуле (31). Имеем

Φ  = Y–1 E = {–(P1 – P2)/h,  (P1 – 2P2 + P3)/h,  (P2 – 2P3 + P4)/h, (P3 – 2P4 + P5)/h, (2U/3 – 2C5/3 + 2C6/3 + P4 – 4P5/3 + P6/3 )/h, (2U/3 + + C5/3 – 4C6/3 + C7 + 2P5/3 – 2P6/3 )/h, (C6 – 2C7 + C8)/h, (C7 – 2C8 + + C9)/h, (C8 – 2C9 + C10)/h, (C9 – C10)/h}.

Очевидно, что первые четыре и последние четыре элемента этого набора является нормированными простейшими баттерфляями, т. е.

Φi = Bi, iÎI, i ≠ 5,6.

Менее очевидно, что таким же свойством обладают и остальные элементы, но это именно так. Действительно, из теоремы паритета пут-колл следует, что

Pi – Ci = ihU, iÎI.

Поэтому, производя в 5-м и 6-м элементах набора Φ соответственно замены Ci → Pi – ihU, i = 5,6, и Pi → Ci + ihU, i = 5,6, получаем

Φ5 = (2U/3  – 2C5/3 + 2C6/3  + P4 – 4P5/3  + P6/3 )/h  =  (P4 – 2P5 + + P6)/h = B5,

Φ6 = (2U/3  + C5/3 – 4C6/3  + C7 + 2P5/3 – 2P6/3 )/h  =  (C5 – 2C6 + + C7)/h = B6.

Таким образом,

Φ = Β,

и мы фактически вновь имеем дело с задачей для примера 1.1. Поэтому и результаты применения алгоритма в его различных версиях можно заимствовать из того же примера. Затем от нас потребуется лишь дать окончательное представления портфеля в терминах нашего исходного базиса.

Итак, рассмотрим три варианта с базисом Ε.

Вариант #SE. Вариант состоит в использовании пары
векторов {pS, cE}, т. е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению ρ = pS/cE, но средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pE[ξ]). При этом pS заимствуется из примера 1, а cE = cB, где cB, заимствуется из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #SB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0. 0.80425, 1.0, 0.64513, 0. 0.25, 0. 0.0 0.0 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β:

GSE = ∑ iÎI giBi.

Теперь приводим его к желаемому виду

G3,SE = w E = g Y–1 E = –2.33461 S1 – 0.978749 S2 + 2.96129 S3 + 2.03871 S4 + 1.18694 E5 + 0.0315317 E6 – 0.718087 S7 – 0.332779 S8 – 0.233232 S9 – 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов и баттерфляев через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 0.487387 U + 2.33461 P1 – 1.35586 P2 – 2.7531 P3 + 0.954102 P4 + 0.851778 P5 – 0.0315317 P6 – 1.18694 C5 + 0.686556 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (27) совпадают: π(x; G3,SE) = π(x; G1,SB) (числовой индекс в обозначении портфеля указывает номер примера).

Вариант #EE. Вариант использует пару векторов {pE, cE}, т. е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отноше-
нию ρ = pE/cE, и средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pУ[ξ]). При этом pE = pB, cE = cB, где pB и cB, заимствуются из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #BB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0. 0. 1.0, 0. 0.37536, 0.25, 0. 0.0 0. 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EE = w E = g Y–1 E = –1.61427 S1 – 0.977553 S2 + 2.60674 S3 + 2.39326 S4 + 0.834535 E5 + 0.207733 E6 + 0.542403 S7 – 0.156354 S8 – 0.233274 S9 – 0.1197 S10.

После подстановки выражений для спрэдов и баттерфляев через коллы или путы получаем окончательное представление

G3,EE = 0.416907 U + 1.61427 P1 – 0.636714 P2 – 2.74976 P3 + 0.421215 P4 + 1.55872 P5 – 0.207733 P6 – 0.834535 C5 + 0.33467 C6 + 0.135778 C7 + 0.130812 C8 + 0.113575 C9 + 0.1197 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (28) совпадают: π(x; G3,EE) = π(x; G1,BB).

Вариант #EsE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т. е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению ρ = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c используются векторы pE и cE, за исключением того, что назначение вероятностей проводится по формуле d = pS[ξ]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

g = {0. 0.80425, 1.0, 0.64513, 0. 0.25, 0. 0.0 0.0 0.}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса Β. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EsE = w E = g Y–1 E = –1.61585 S1 – 0.978749 S2 + 2.60943 S3 + 2.39057 S4 + 0.835079 E5 + 0.20746 E6 + 0.542159 S7 – 0.15685 S8 – 0.233232 S9 – 0.119434 S10.

После подстановки выражений для спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление

G3,SE = 0.417016 U + 1.61585 P1 – 0.637098 P2 – 2.7531 P3 + 0.426317 P4 + 1.55549 P5 – 0.20746 P6 – 0.835079 C5 + 0.334699 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10. □

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (29) совпадают: π(x; G3,EsE) =  π(x; G1,BsB).

Заключение

В соответствии с примером 1.1 представляется, что в наибольшей степени условиям адекватного построения оптимального портфеля отвечает именно портфель GBsB. Это связано с тремя обстоятельствами:

● в отличие от варианта #SB упорядочение проводится по однотипным векторам (pB и cB);

● в отличие от варианта #BB вероятности назначаются в соответствии с подлинными, а не суррогатными вероятностями сценариев (pS);

● в отличие от варианта #SS используются теоретические цены (cB), которым соответствуют реально формируемые на рынке цены.

Эту качественную оценку можно формально записать посредством отношения предпочтения

#BsB (#BB, #SB, #SS),

интерпретируя знак словом "лучше".

Сказанное о примере 1.1 в равной мере можно отнести и к примеру 1.2 с заменой базиса Β базисом E. В данном случае имеем отношения предпочтения

#EsE (#EE, #SE, #SS).

Наконец, представляется, что и в целом Β E.

Рассмотрение примера 2 не меняет картины, но говорит лишь о том, что искажение картины для разных вариантов при переходе от базиса Β к базису E могут быть весьма значительны.

Примеры 3 и 4 демонстрируют преимущества изначального задания избыточного набора коллов и путов при построении базиса из элементарных инструментов, сводимого линейным преобразованием к базису Β.

Они иллюстрируют, насколько расширяются возможности получения адекватного решения в задачах, если не ограничиваться базисами из простейших баттерфляев, а включать в базис и иные (элементарные) инструменты рынка опционов, таковыми не являющиеся. Однако при этом необходимо проявлять аккуратность. Как показывают примеры 1.2 и 2.2, прямые "бесхитростные" пути, которые основывались на использования базиса из минимально возможного числа коллов, здесь могут не приводить к цели. Напротив, применение изначально избыточного набора коллов и путов при построении базиса, как в примерах 3 и 4, позволяло сводить задачу линейным преобразованием к задаче с базисом Β, рассмотренной в приме-
рах 1.1 и 2.1.

Литература

1.  Агасандян инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 20с.

2.  Агасандян инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов //Экономика и математические методы, 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.

3.  Agasandian G. A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. .

4.  Агасандян теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 20с.

5.  Об адаптации континуального критерия VaR к дискретным рынкам. М.: ВЦ РАН, 20с.

6.  Агасандян портфеля опционов при использовании континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 20с.

7.  Агасандян критерий VaR на произвольном однопериодном рынке. М.: ВЦ РАН, 20с.

8.  Математические методы статистики. М.: Мир, 19с.

9.  Макмиллан как стратегическое инвестирование. 3-е изд. М.: Издательский дом "ЕВРО", 20с.

Оглавление

1. Сценарный рынок как дискретный аналог d-рынка_____ 4

2. Опционный аналог сценарного рынка_________________ 7

2.1. Основные конструкции__________________________ 7

2.2. Вычисление рыночных и справедливых цен опционов 9

2.3. Возможные варианты алгоритма построения оптимального портфеля 11

2.4. Построение оптимального портфеля при базисах, отличных от канонического 13

3. Сравнительный анализ базисов: пример 1_____________ 15

3.1. Базис из простейших нормированных баттерфляев__ 16

3.2. Базис из коллов________________________________ 19

3.3. Графики и анализ результатов для примера 1_______ 25

4. Пример 2: большее расхождение рыночных и справедливых цен 29

4.1. Варианты оптимальных портфелей_______________ 30

4.2. Графики и анализ результатов для примера 2_______ 32

5. Примеры сведения базиса к каноническому____________ 36

5.1. Базис из пут - и колл-спрэдов_____________________ 36

5.2. Базис из пут - и колл-спрэдов с парой баттерфляев___ 40

Заключение_________________________________________ 45

Литература________________________________________ 46

[*] Равномерность разбиения естественна в приложении к опционному рынку, рассматриваемому далее.