Обоснование эффективности концепции Р. Зельтена и О. Харшаньи в исследовании игровых моделей

ОБОСНОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КОНЦЕПЦИИ
Р. ЗЕЛЬТЕНА И О. ХАРШАНЬИ В ИССЛЕДОВАНИИ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ

, ,

МГОПУ им.

Классическая теория бескоалиционных игр является, по су­ществу, теорией одной базисной концепции решения, а именно концепции ситуаций равновесия. Напротив, классическая теория кооперативных игр предлагает богатое разнообразие альтерна­тивных концепций решения, а именно: устойчивые множества фон Неймана—Моргенштерна, решение Нэша для игр двух лиц с переговорами, вектор Шепли, ядро, перего­ворные множества Аумана—Машлера и другие.

Каждая из этих концепций решения в отдельности представ­ляет огромный теоретический интерес. Но как группа они не дают ясной и последовательной теории кооперативных игр. Дей­ствительно, большинство различных концепций решения имеют весьма слабую логическую связность, и поэтому их нельзя интер­претировать как частные случаи общей теории.

Можно подумать, что это обстоятельство отражает лишь кон­цептуальную ограниченность классической теории игр, которая может иметь некоторое значение для специалиста по логике, ме­тодологии или философии, но несущественна для обществоведа, интересующегося в основном возможными приложениями тео­рии игр к экономике, политологии и социологии. Однако эта концептуальная ограниченность в действительности создает ос­новные проблемы и в сфере эмпирических применений.

Во-первых, хотя классическая теория игр предлагает ряд аль­тернативных концепций решения для кооперативных игр, она не дает четкого критерия относительно того, какую концепцию ре­шения следует применять при анализе любой социальной ситуа­ции в реальной жизни. Не дает она ясного ответа и на очевид­ный вопрос о том, почему необходимо так много различных кон­цепций решения.

Множественность концепций решения порождает некоторые Дополнительные измерения неопределенности. Даже если при­нимается решение проанализировать данную социальную ситуа­цию на основе некоторой концепции решения А, нередко не уда­ется конкретизировать хорошо определенный исход: она скорее Могла бы проинформировать нас лишь о том, что исход будет выбран из некоторого (возможно, большого) множества S «приемлемых» исходов; действительно, она может сообщить нам толь­ко то, что исход будет представлен точкой, лежащей в одном из нескольких альтернативных множеств S, S'. S", ..., каждое из которых в равной мере согласуется с аксиомами выбранной кон­цепции решения А.

Более серьезный недостаток классической теории игр состо­ит в ее неспособности давать сколько-нибудь применимые кон­цепции решения для некоторых теоретически и эмпирически весь­ма важных классов кооперативных (и не вполне кооперативных) игр. Они включают следующие классы игр.

1. Игры, занимающие промежуточное положение между впол­не кооперативными и вполне бескоалиционными играми.

2. Кооперативные игры с последовательной структурой.

3. Кооперативные игры с неполной информацией.

Все эти трудности вызваны тем, что классическая теория игр систематически пренебрегает любым анализом переговорного про­цесса между игроками, который, вероятно, составляет самую важ­ную деятельность в любой кооперативной игре. Это осуществля­ется посредством описания переговоров как «предыгрового об­суждения условий» и предположения, что они происходят до фактического проведения игры и поэтому вообще не входят в состав «игры». Конечно, этот подход сводится к отказу от любой серьезной попытки понять, почему исход игры зависит от специ­фики переговорного процесса между игроками.

По сравнению с классической теорией кооперативных игр классическая теория бескоалиционных игр являет собой более удовлетворительную картину. Она отличается большим теорети­ческим единством, так как опирается на одну базисную концеп­цию решения, концепцию ситуаций равновесия. Кроме того, это более полная теория, поскольку она стремится охватить все ас­пекты игры и автоматически не исключает из своего анализа переговорные ходы игроков, как это делает теория кооператив­ных игр. Более того, концепцию ситуаций равновесия, а следова­тельно, и классическую теорию бескоалиционных игр можно легко распространить на игры с неполной информацией.

Наконец, концепция ситуаций равновесия относится к числу немногих теоретико-игровых концепций решения, непосредственно применимых к играм как в развернутой, так и в нормальной форме.

Хотя концепция ситуаций равновесия обладает множеством несомненных достоинств, есть у нее и недостатки, из которых три имеют важное значение для нашего обсуждения.

1. Почти каждая нетривиальная игра имеет много (иногда бесконечно много) различных ситуаций равновесия. Следователь­но, теория, которая может лишь прогнозировать, что исходом бес­коалиционной игры послужит ситуация равновесия — без кон­кретизации, какой именно ситуацией равновесия она является, будет крайне слабой и не информативной теорией. Эту трудность мы называем проблемой выбора равновесия.

2. Любая ситуация равновесия в смешанных стратегиях по существу неустойчива или может представляться таковой и поэтому не является приемлемым решением игры. Это приводит к так называемой проблеме неустойчивости: ка­ким образом следует определить решение для бескоалиционной игры, которая имеет лишь ситуации равновесия в смешанных стра­тегиях?

3. Рейнхард Зельтен отметил третью трудность: большое число ситуаций равновесия требует, чтобы некоторые или все игроки применяли высоко иррациональные стратегии. Такие ситуации равновесия он предложил называть ситуациями несовершенного равновесия, чтобы отли­чать их от ситуаций совершенного равновесия, не содержащих иррациональных стратегий. Проблему, возникающую в играх, име­ющих ситуации несовершенного равновесия, будем называть про­блемой несовершенства. Наиболее важной из трех проблем, поставленных концепци­ей ситуаций равновесия, является проблема выбора равновесия. Чтобы проиллюстрировать природу этой проблемы, рассмотрим очень простую игру двух лиц с переговорами, в которой два игро­ка должны прийти к соглашению о том, как разделить 100 дол­ларов; если они не придут к соглашению, деньги для них будут потеряны. (Будем исходить из предположения, что деньги для обоих игроков имеют линейные функции полезности). Эту игру можно представить с помощью следующей модели переговоров. Каждый игрок должен назвать вещественное число, представля­ющее его заявку на выигрыш. Числа, называемые игроками 1 и 2, будут обозначаться соответственно x1 и x2. Если x1 + x2 ≤ 100 (если заявки на выигрыш этих двух игроков взаимно совмести­мы), то оба игрока получат требуемые выигрыши при u1=x1 и u2=x2. Наоборот, если x1 + x2 ≥ 100 (если их требования к вы­игрышам несовместимы), они получат нулевые выигрыши и, u1=u2=0 (поскольку это будет означать, что они не смогли до­стичь соглашения).

Если игроки имеют возможность делить 100 долларов всеми математически возможными способами, эта игра будет иметь бес­конечное множество ситуаций равновесия в чистых стратегиях, поскольку ситуациями равновесия будут все возможные пары (x1,x2), удовлетворяющие равенству x1+x2=100, где x1≥ 0 и x2≥0. Но даже если мы ограничим игроков заявками на выиг­рыш, представляющими целые числа долларов, игра будет иметь 101 ситуацию равновесия от (0, 100), (1, 99), ..., до (100, 0). Ясно, что теория, которая сообщает лишь то, что исходом может стать любая из этих ситуаций равновесия, не будет информатив­ной. Необходима теория, выбирающая в качестве решения игры одну ситуацию равновесия. Цель новой концепции реше­ния заключается в том, чтобы дать математический критерий, который в качестве решения всегда выбирает одну ситуацию рав­новесия. Зельтена позволяет с помощью одноэлементного решения преодолеть проблему выбора равновесия, и две другие проблемы, поставленные концепцией ситуаций равно­весия, — проблемы неустойчивости и несовершенства.

Математическую основу концепции решения Зельтена состав­ляет процедура трассирования, которая представляет собой ма­тематическую процедуру определения рациональных исходов для бескоалиционных игр с помощью байесовской концептуальной структуры. Байесовская теория принятия решений успешно при­менялась при анализе проблем принятия решений одним ли­цом в условиях неопределенности. Цель процедуры трассирова­ния состоит в распространении байесовского подхода на пробле­мы принятия решений для n лиц, которые были поставлены бескоалиционными играми n лиц. Такие игры ставят проблемы принятия решений в условиях неопределенности, так как они требуют, чтобы каждый игрок выбирал свою стратегию, не зная, какие стратегии выберут другие игроки. Вначале определим процедуру трассирования для ситуаций, в которых игроки при­меняют смешанные стратегии.

Рассмотрим бескоалиционную игру n лиц G, в которой лю­бой игрок имеет чистых стратегий. Для стра­тегий и ситуаций будем использовать те же обозначения, за исключением того, что для удобства перенумеруем чистые стратегии игрока iкак Также будем использовать символ в качестве общего обозначения для любой чистой стратегии игрока i. Число элементов в любом конечном множестве S будет обозначаться через |S| . Поскольку |Фi| = Кi при i = 1,..., n, число полных ситуаций в чистых стратегиях в игре будет равно

|Ф| = К = (1)

где N — множество всех n игроков. С другой стороны, число i-неполных ситуаций будет равно

(1)

Смешанная стратегия любого игрока может рассматриваться как вектор вероятностей qi = (qi,......,qiKi), где qik (k = 1,..., Кi) - вероятность, которую эта смешанная стратегия приписывает чистой стратегии . Разумеется, должно быть qik0 для k = l,…,Ki, (2)

(3)

Таким образом, множество Q = {qi} смешанных стратегий игрока i будет представлять собой (Кi - 1)-мерный замкнутый сим­плекс.

Если данная смешанная стратегия q сосредоточивает всю вероятность на одной чистой стратегии , она будет называться несобственной смешанной стратегией; таким образом, мы бу­дем писать qi = . Но если qi приписывает положительные веро­ятности всем чистым стратегиям игрока i, она будет называть­ся вполне смешанной стратегией. Смешанная стратегия будет называться собственной, если она не является несобственной; она будет называться не вполне смешанной, если она не являет­ся вполне смешанной.

Вообще говоря, множество Z(q ) всех чистых стратегий, выбираемых данной стратегией с положительными вероятностями, будет называться носителем стратегии

Предположим, что векторы вероятностей удовлетворяют условиям вида , где и . (4)

Тогда будем говорить, что смешанная стратегия называется вероятностной смесью (или выпуклой комбинацией) смешанных стратегий

Множество всех полных ситуаций в смешанных стратегиях q будет -мерным замкнутым многогранником, где

(5)

Множество Q называется пространством стратегий игры.

Напротив, множество всех i-неполных ситуаций в смешанных стратегиях будет замкнутым многогранником размерности , где

для . (6)

Совместные смеси на i-неполных ситуациях в чистых стратегиях - т. е. распределение вероятностей на множестве -будут обозначаться символами с нижним индексом (Но нижний индекс – i всегда будет обозначать i-неполную ситуацию в смешанных стратегиях.) Теперь предположим, что (n-1) игроков, отличных от игрока i, использует i-неполную ситуацию в смешанных стратегиях Тогда по правилу умножения вероятностей имеем, что любая i-неполная ситуация в чистых стратегиях реализуется с вероятностью

(7)

Здесь обозначает вероятность, которую смешанная стратегия игрока j приписывает чистой стратегии . [Таким образом, если , то ] Это распределение вероятностей будем называть совместной смесью, порожденной . Для про­стоты записи также будем использовать квадратные скобки для обозначения этой совместной смеси и (Любое распределение вероятностей [], является совме­стной смесью особого вида: оно составляет совместную смесь без стати­стической корреляции между чистыми стратегиями , применяемыми игроками .)

Основная цель теории — предложить рациональные критерии для выбора одной ситуации равновесия в качестве решения любой бескоалиционной игры, а также лю­бой кооперативной игры, смоделированной в виде бескоалицион­ной игры с переговорами. В течение последних 20 лет наблюдалось плодотворность моделирования широкого спектра экономических ситуаций в виде бескоалиционных игр с неполной информацией в той или иной форме или без таковой.

Разумеется, нередко можно выбирать одну ситуацию рав­новесия по некоторым приемлемым специальным критериям в качестве прогнозируемого исхода. Но предпочтительно ре­шать проблему выбора равновесия с использованием система­тической общей теории.

Задача, которую попытался решить Зельтен, со­пряжена со значительными трудностями. Разумеется, утверждается, что предложенная теория составляет наилуч­шее окончательное решение этой задачи. В действительности, Зельтен собирается очертить некоторые возможные уточнения своей теории. Но полагает, что достиг значительных успехов в решении этой задачи, и поэтому счита­ет, что даже те исследователи, которым не нравится его тео­рия, нередко сочтут полезными для своих исследований некото­рые из разработанных концепций и методов.

Основная задача теории Зельтена — сообщить, каких стратегий будут придерживаться рациональные игроки и какие ожидания они могут рационально использовать в отношении стратегий дру­гих рациональных игроков. Проблемы рациональных стратегий и рациональных ожиданий существенно взаимозависимы и тре­буют одновременных решений, так как, для того чтобы стратегия любого игрока была рациональной, она должна служить наилуч­шим ответом на его рациональные ожидания относительно стра­тегий других игроков.

Тем не менее понятию рациональных ожиданий присуща неодно-значность. На вопрос, какие ожидания рациональны, можно получить один ответ, если предположить, что эти ожида­ния строго эндогенны в том смысле, что они базируются только на внутренних факторах игры, таких как математическая струк­тура этой игры (определяемая ее развернутой или нормальной формой) и предположение, что все игроки будут действовать в игре рационально. Можно получить совершенно иной ответ, если предпо-ложить, что ожидания игроков будут зависеть также и от внешних факторов игры.

Теория Зельтена подобно большинству других теоретико-игровых теорий решения полностью зависит от предположения относительно эндогенных ожиданий.