Устойчивость растяжения нанослоев

устойчивость растяжения нанослоев

¹, ²

¹ Уральский государственный университет им. , Екатеринбург, Россия,

² Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, Россия

В задаче рассматривается атомный слой, с дефектом типа вакансии, заключенный между двумя слоями металла, к которым приложено одинаковое растягивающее усилие. Растяжение происходит в направление перпендикулярно протяженности атомного слоя. Требуется найти дважды вырожденные критические точки, которые соответствуют потери устойчивости положения равновесия системы и ее переходу в новое положение равновесия или разрушению системы, и соответствующее им перемещения. Некоторые результаты опубликованные ранее [1], [2].

1. Описание задачи.

В качестве модели рассмотрим упрощенную атомную решетку, расположенную между двумя слоями стали, в которой имеется дефект - отсутствует центральный атом в ряду (Рис. 1). Задача осесимметричная. Силы, взаимодействующие между атомами 1-2, 2-3, 1-6, 2-5, 3-4 заданы выражением [3]

Взаимодействие между атомами 1-7, 1-5, 2-4, 2-6, 3-5 будет слабее, так как расстояние между ними в первоначальном положении равновесия больше, чем между атомами 1-2, 2-3, 1-6, 2-5, 3-4. Определим его функцией

Здесь w, z - удлинения соответствующих межатомных расстояний, - неупругие составляющие удлинений.

Рис.1

Будем растягивать решетку, задавая перемещение u, внешнему материалу, скрепленному атомной решеткой. Тогда выражение для энергии деформаций имеет вид

Параметр управления здесь u, параметры состояния - .

Многообразие катастрофы определяется системой алгебраических нелинейных уравнений, получаемых приравниванием к нулю частных производных функции по .

Матрица из вторых частных производных приравненная к нулю дает нам поверхность в пространстве размерности равной числу параметров состояния. Этой поверхности принадлежат дважды вырожденные критические точки, которые дают нам момент катастрофы [4], [5].

где частная производная по и .

Будем искать сепаратрису нашей системы, разделяющую пространство параметров состояния на область устойчивости и область неустойчивости. Предположим, что максимальное значение каждого из параметров состояния не может превосходить a (расстояния между узлами). Построим в пространстве, размерности равной числу параметров состояния, куб, и разобьем его n самоподобными кубами, где n будем варьировать, для точности. Совершая обход по вершинам кубов разбиения, будем подставлять координаты этих вершин в матрицу Гессе, и вычисляя Гессиан будем получать область устойчивости, где значения Гессиана будут принимать положительные значения, и область неустойчивости, где они будут отрицательны. Чем мельче разбиение, тем точнее мы можем вычислить положение сепаратрисы. Затем берем точки с границы областей устойчивости и неустойчивости, и подставляем их в систему, состоящую из частных уравнений приравняных к нулю, и таким образом будем находить допустимые значения параметра управления.

2. Частный случай.

Рассмотрим случай с двумя параметрами состояния. В вертикальном направлении у нас будет действовать удлинение , в горизонтальном (рис. 2).

Рис. 2

В этом случае уравнение энергии примет вид:

Уравнения равновесия:

Матрица вторых производных:

где частная производная по и

Поиск решений будем производить разбиением области пространства, размерности равной числу параметров состояний, на самоподобные элементы и подстановкой координат вершин элементов в матрицу вторых производных и систему уравнений равновесия, без уравнения которое зависит от параметра управления. Точки, в которых определитель и уравнения равновесия обращаются в нуль одновременно, дает нам значения параметров состояния дважды вырожденных критических точек. Найденные значения подставляем в оставшееся уравнение равновесия и вычисляем критическое значение параметра управления.

Рассмотрим зависимость решений от коэффициента , (рис. 3).

Рис. 3

где

красный - уравнение равновесия

зеленый - = Е

голубой - = 0.5Е

черный - = 0.25Е

розовый - = 0.1Е

Нас интересуют только решения удовлетворяющие физическим ограничениям, то есть . Тогда из рисунка (Рис. 3) можно увидеть, что общее решение уравнений равновесия и нулей матрицы вторых производных существуют при = 0.25Е, = 0.1Е и имеют два решения первое из которых соответствует переходу в новое положение равновесия, второе разрушение системы. Также можно заметить что координата начинает уменьшаться после прохождения системой первой дважды вырожденной точки, что соответствует ослабеванию связи 1-3.

Рассмотрим график зависимости параметра управления от параметров состояния (рис. 4).

Рис. 4

где

красный - = Е

зеленый - = 0.5Е

голубой - = 0.25Е

черный - = 0.1Е

Можно заметить, что имеет две точки экстремума, которые совпадают с дважды вырожденными точками на предыдущем графике. Отслеживая поведение параметра управления, в зависимости от , мы видим, что при больших значениях параметра у нас нет точек экстремума или есть тока перегиба как при = 0.5Е, тогда разрушение системы происходит постепенно. При = 0.25Е делая параллельный перенос из точки максимума, т. к. значение параметра управления не может уменьшаться, мы попадаем на восходящую ветвь графика, т. е. в новое положение равновесия. При = 0.1Е при параллельном переносе мы не попадем на продолжение графика, следовательно, в этом случае в точке максимума и происходит разрушение системы.

Множество дважды вырожденных точек описывает нам многообразие катастроф и позволяет найти критические значения параметра управления для данной системы.

Работа выполнена по программе Президиума РАН №22 (проект -1-1008)

Список литературы.

[1] , , Растяжение атомного слоя с дефектом//Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой Всероссийской научной конференции. Часть 1. Секция Математические модели механики прочности, надежности элементов конструкций. Самара: Самарский государственный технический университет, 2009. с. 41-47.

[2] , , Расчет параметров равновесия при растяжении атомных рядов с вакансией// Механика сплошных сред как основа современных технологий. XVI зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь-Екатеринбург: ИМСС УрО РАН, 2009. с. 49.

[3] , , Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций, НИСО УрО РАН 1(95), Екатеринбург, Первомайская, 91, 1995

[4] Прикладная теория катастроф, Кн. 1. М.; Мир, 1984

[5] Теория катастроф и ее приложения, М.; Мир, 1980