Об одной краевой задаче, возникающей в геомеханике

УДК 624.131+539.215

Шымкентский институт Междунородного казахско-турецкого университета им. , г. Шымкент, Казахстан

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В ГЕОМЕХАНИКЕ

При изучении существующих уравнений состояния скелета земляных масс была установлена нелинейная зависимость между суммой главных тотальных напряженний и коэффицентом пористости, из которого, как частный случай, можно получить различные виды управнений состояния среды, часто применяемые на практике.

Установлена зависимость, определяющая распределение уплотнящей нагрузки, веса земляного массива, расположенного над нефтеносным пластом.

Предложен способ определения начального коэффицента пористости как функции пространственных координат.

На основе этих моделей приведены новые результаты по прогнозировению во времени деформации нефтеносного пласта, изучен характер оседания земной поверхности на территории нефтедобывающих комплексов

Введение

Откачка нефти из залежей приводит к снижению избыточного давления в поровой, жидкости в нижних слоях массива земляной среды. Природный баланс давления в нижних и верхних слоях нарушается. Чем больше разница между ними, тем больше может быть оседание земной поверхности на территории нефтяных месторождений. Этому свидетельствуют результаты, ранее полученные автором данной работы [1,2], а также результаты наблюдения некоторых институтов инженерных исследований.

Чтобы предотвратить чрезмерное оседание земной поверхности на территории нефтедобывающих комплексов, по нашему мнению, необходимо:

- изучить закономерности длительных деформаций нефтеносного пласта вокруг каждой скважины путем решения задачи консолидации грунтов и дать инженерную оценку на характер оседания земной поверхности на территории нефтедобывающих комплексов в целом;

- согласно результатам первого, решить специальные задачи для принятия экономически эффективных конструктивных решений и проектирования мероприятий (искусственно создать граничные условия, обеспечивающие снижение оседаний земной поверхности; закачка в отработанные нефтяные скважины воды, воздуха и т. др.) по предотвращению повреждений, разрушений и чрезмерных деформаций нефтяных сооружений и территории месторождений.

Изучение этих вопросов сводится к составлению уравнений уплотнения и состояний фаз нефтеносных пластов; решению начально-краевых задач для оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) уплотняемых массивов, находящихся под действием поверхностных и объемных сил.

Рассмотрим последовательно эти вопросы.

1. Основное уравнение уплотнения нефтеносного пласта

Для составления уравнения уплотнения нефтеносного пласта, сформулируем следующие основные положения.

- Нефтеносный пласт состоит из твердой и жидкой фаз.

- Деформируемость нефтеносного пласта обусловлена изменением объема пор и сжимаемостью жидкости.

- Движение жидкости, заполняющей поры земляной массы, подчинено закону Дарси-Герсеванова и этот закон для случая, когда жидкость и твердые частицы земляной массы сжимаемы, может быть записан известной формулой

,

где и - коэффициенты пористости и фильтрации;

g - ускорение силы тяжести;

- плотность жидкости.

- Зависимость между приращением давления P и изменением объема жидкости подчинена линейному закону.

- Зависимость между приращением давления в жидкости P и относительным изменением объема минеральных частиц достаточно хорошо согласуется с линейным законом.

- Уравнения неразрывности сжимаемых (жидкой и твердой) фаз представлены в виде

где - плотность твердой фазы.

При этом для объемов жидкой (m) и твердой (n) фаз верны обычные зависимости:

и .

Тогда, согласно изложенному выше, уравнение уплотнения нефтеносного пласта можно представить в виде :

, (1.1)

откуда, принимая

, и полагая с достаточным для целей практики приближением имеем окончательно

. (1.2)

Здесь Кж и Кс – модули объемной сжимаемости жидкости и минеральных частиц.

Уравнение (1.2) для осесимметричных условий деформирования записывается так:

(1.3)

Уравнение (1,1) (или (1,2), (1,3)) называется основным уравнением уплотнения нефтеносного пласта. Методы и свойства его решения во многом зависят от реологического уравнения состояния скелета земляных масс.

2. Уравнение состояния скелета земляных масс

В настоящее время имеется несколько классов реологических моделей. Некоторые из них применительно к грунтам были предложены [3], [4], С. СВяловым [5], [6], [7,8], [9], [10] и. др. Однако, эти модели в случае больших напряжений для описания ползучестей неоднородных грунтов не всегда применнмы. Поведение неоднородных грунтов в области и нелинейной ползучести весьма сложно и изучено недостаточно полно. Требуются всесторонние и углубленные экспериментальные и теоретические исследования их ползучести при больших напряжениях.

Обобщая существующие реологические уравнения, описывающие состояния неоднородных грунтов, и следуя [10], зависимость между суммой главных тотальных напряжений и коэффициентом пористости в области не линейной ползучести представим так:

(2.1)

(2.2)

Здесь коэффициент уплотнения и деформации ползучести определены зависимостями:

,

,

Старение среды математически описывается выражениями

,

.

Функция в (2.2) аппроксимирована несколько видоизмененным выражением [7.11]:

, ,

Приведем принятые здесь обозначения: – коэффициент пористости в момент приложения нагрузки; - функция, характеризующая изменения коэффициента бокового давления нефтеносного пласта в процессе его уплотнения; – функции, характеризующие возрастания плотности и жесткости нефтеносных пластов по глубине под влиянием собственного веса; – параметры неоднородности; - параметры и предельные значения меры ползучести; А0, В0, А1, D1, В1, А2, D2, В2, k, и – опытные данные, зависящие от свойств и условий старения среды; и – параметры упругомгновенной деформации.

3. Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим процесс уплотнения нефтеносного пласта в виде цилиндра радиусом R (R – радиус продуктивности действующей скважины), высотой h (h – мощность нефтеносного пласта) под действием распределенной нагрузки q(t, r), приложенной к части наружной площади, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусами R0 и r0 (r0 –радиус скважины, r0 <R0 ).

1 – земляной массив, расположенный над нефтеносным пластом;

2 – нефтенепроницаемый слой;

3 – нефтеносный пласт

Рисунок 1 – Расчетная схема к прогнозированию уплотнения нефтеносного пласта при откачке нефти из залежей

Для изучения этого процесса допустим, что:

- нефтеносные пласты в отношении деформативности не являются однородными телами, их неоднородность может быть обусловлена непрерывным возрастанием их плотности, а потому, и жесткости по глубине под влиянием собственного веса. При этом функции, характеризующие неоднородность пласта, представлены так [12]:

, (3.1)

где и – опытные данные;

- НДС скелета нефтеносного пласта описывается уравнением (2.1);

- коэффициент фильтрации может быть аппроксимирован выражением

где К0s – называется проницаемостью нефтеносного пласта и характеризуется его геометрическими свойствами, не зависит от характера фильтрующей жидкости; – вязкость жидкости;

- верна гипотеза [3] о постоянстве суммы главных тотальных напряжений;

- нижняя и верхняя поверхности консолидируемого нефтеносного пласта в виде цилиндра нефтенепроницаемые. На боковых поверхностях происходит свободный нефтеобмен со средой. Приток жидкости в дрен (в действующую скважину) свободен.

Тогда решение задачи консолидации нефтеносных пластов может быть сведено к решению начально-краевой задачи вида

(3.2)

, (3.3)

(3.4)

(3.5)

где

Здесь в (3.3) – решение следующей задачи:

(3.6)

(3.6)

(3.7)

, (3.8)

. (3.9)

Начальный коэффициент пористости , согласно гипотезе [3] и (2.1), определен выражением

. (3.11)

Нагрузка q(t, r) представлена так:

, (3.12)

Следует отметить, что под нагрузкой здесь понимаем вес земляного массива, расположенного над нефтеносным пластом.

Из (3.12) видно, что в момент откачки нефти не вся нагрузка передается нефтеносному пласту, передается только лишь ее какая-то часть, и она постепенно нарастает по времени до определенной части всей нагрузки. При этом распределение нагрузки неравномерно: чем больше расстояние от рассматриваемой точки до скважины, тем меньше значение нагрузки, приложенной к этой точке, что является естественным.

Значения параметров и зависят от химического состава, физико-механического свойства, а также НДС верхнего слоя (расположенного над нефтеносным пластом) земляных сред. Так, например, для сыпучих несвязных (или глинисто текучих) сред, значения и соответственно близки к единице , к нулю () и бесконечности .

Задачи (3.6)-(3.10) и (3.2)–(3.5) могут быть решены методом суммарной аппроксимации, методом малого параметра, методом итерации, а также другими методами численного анализа. Здесь предпочтение отдали методу итерации, обоснованному в работе [13], методу аппроксимации [14], методу разложения по собственным функциям и методу вариации произвольных постоянных.

Пользуясь выбранными методами, решения задачи (3.6)–(3.10) и (3.2)–(3.5) соответственно можно представить:

, (3.13)

(3.14)

Здесь - решение дифференциального уравнения вида удовлетворяющее начальному условию (2.4);

– функция из комбинации функции Бесселя первого и второго рода индекса n;

и – положительные корни уравнения составленного из комбинации этих функций, удовлетворяющих условиям (3.4) и (3.5);

– известные функций и константы, определяемые из начально-краевых условий.

Для решения задачи (3.2)-(3.5) был применен метод аппроксимации [14]. Согласно этому методу функция в (2.1) с учетом (3.1), т. е. функция

приближенно заменена функцией :

а функция функцией :

т. е. , (3.15)

. (3.16)

Имея в виду (3.15) и (3.16), функция

приближенно заменена функцией

. (3.17)

Нетрудно заметить, что при z = 0 и z = h аппроксимация вида (3.17) абсолютно точная, и при погрешность аппроксимации стремится к нулю. Следовательно, она для малых значений и вполне приемлема в практических расчетах.

Далее, имея в виду аппроксимацию вида (3.17), последовательным введением новых переменных

и

дифференциальное уравнение

приведено к уравнению Бесселя, общее решение которого известно. Здесь

.

4. Определение осадок нефтеносного пласта.

Осадка нефтеносного пласта, вызванная нагрузкой q(t, r), согласно методу, предложенному в работе [3], и полученных решений (2.14), (2.15), определена формулой:

(4.1)

где – известные коэффициенты.

1. Aq = 0,127; Bq = 0,125; bq = 0,203; aq = 1,5;

2. Aq = 0,369; Bq = 0,125; bq = 0,157; aq = 2,25;

3. Aq = 0,617; Bq = 0,125; bq = 0,077; aq = 5,15.

Рисунок 2 - Осадка нефтеносного пласта в зависимости от Aq, bq и aq при t = 3 года

Выводы

Анализ численных расчетов по формуле (4.1) показал:

- При больших значениях вязкости жидкости, коэффициента бокового давления и параметра неоднородности процесс уплотнения нефтеносного пласта протекает медленнее, а при больших значениях коэффициента проницаемости быстрее.

- Сжимаемость жидкости и минеральных частиц ускоряет процесс уплотнения, и при этом осадка поверхности нефтеносного пласта больше, чем у обычного.

- Кривые, характеризующие осадки поверхности нефтеносного пласта при коэффициенте фильтрации, зависящим от коэффициента пористости, отличаются от обычного: здесь процесс уплотнения с течением времени протекает более медленно.

-Большим значениям параметров ,, соответствует большая осадка.

- Если земляная масса, расположенная над нефтеносным пластом, является слабо глинистой (сыпучей, несвязной) средой, то оседание земной поверхности на территории нефтедобывающих комплексов чрезмерно разрушительно и требует жесткого оптимального режима добычи нефти с одновременным выполнением дополнительных мероприятий по предотвращению разрушений и чрезмерных деформаций (рисунок 2).

На основе теории фильтрационной консолидации приведены новые результаты по расчету во времени деформаций нефтеносных пластов и изучен характер их деформации в зависимости от времени приложенной нагрузки и параметров неоднородности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. О консолидации неоднородных грунтов/ Ш. Алтынбеков, А. Дасибеков // Проблемы механики. – Ташкент. – 1995. – №3-4.–С.7-9.

2. Ширинкулов консолидации неоднородных упругих и упругоползучих грунтов / , Ш. Алтынбеков, А. Дасибеков //Наука и образование Южного Казахстана. Серия механика и машиностроение. – Шымкент. – 1995.– №1.–С.351-356.

3. Флорин механики грунтов / . – М.: Стройиздат, 1961.– Т.2.–543 с.

4. Цытович грунтов / – М.: Изд-во литература по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963.– 633 с.

5. Вялов основы механики грунтов / . – М.: Высшая школа, 1978.–445 с.

6. Зарецкий консолидации грунтов / .– М.: Наука, 1967. – 269 с.

7. Месчян глинистых грунтов / .– Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1967.-318 с.

8. Месчян реология глинистых грунтов / . –М. Недра, 1985.-342 с.

9. Об одном частном случае плоской задачи консолидации с учетом ползучести грунта / // ИФЖ.– 1964.–Т.12, №4.-С.90-93.

10. Ширинкулов задачи теории консолидации неоднородных наследственно-стареющих грунтов / // Изв. Ан Уз ССР. СТН. – 1981. – №6. – С.38-43

11. Арутюнян вопросы теории ползучести / . – М.-Л.: Гостехтеориздат, 195с.

12. Прогнозирование деформации территории нефтедобывающих комплексов / Ш. Алтынбеков // Вестник университета Ясави.-Туркестан. – 1998. – №2.- С.41-47.

13. Об одном итерационном методе нелинейных краевых задач консолидации грунтов / Ш. Алтынбеков, // ДАН Руз. Математика. Технические науки. Естествознание.– 1996.– №1-2.– С.25-27.

14. Об одном методе аппроксимации / Ш. Алтынбеков // Проблемы механики.– Ташкент.–1995. – №3-4.– С.5-7.