Турнир им. 1991

Т У Р Н И Р им. 1991

Предисловие к книжке

В Москве есть давняя хорошая традиция - представители разных наук ищут свой резерв, готовят свою будущую смену среди школьников. Для этого проводятся вечерние школы, кружки при вузах, предметные олимпиады и другие мероприятия, цель которых - помочь любознательным старшеклассникам правильно найти свою любимую профессию.

Представители разных наук конкурируют между собой за души учащихся. В конечном счете все они делают общее дело, и чем больше разных предметов, тем меньше шансов, что выбор профессии будет случайным.

Но есть в Москве одно школьное соревнование, которое представители различных наук проводят совместно. Это - Турнир им. . Книжка, которую Вы держите в руках, документально рассказывает о том, как проводился Турнир в 1991-92 учебном году.

В один день учащиеся приглашались в один из нескольких вузов. Программа Турнира была в этих вузах почти одинакова. Проводилось несколько конкурсов по различным предметам - математике, математическим играм, физике, химии, астрономии, геофизике, биологии, лингвистике, истории. Каждый учащийся мог принять участие в одном конкурсе или в нескольких - по своему выбору. Задание в каждом из конкурсов было расчитано на час или полтора. После Турнира проводилось награждение победителей, причём отмечались как хорошие выступления по отдельным конкурсам, так и совокупное хорошее выступление по нескольким предметам (грамота за выступление в многоборье). Но главное - это не грамоты, а те приглашения, которые учащиеся получали после Турнира в различные предметные кружки.

Турнир проводится и в настоящем - 1992-93 учебном году. О времени и месте его проведения будут извещены все школы. Оргкомитет Турнира им. просит директоров школ и учителей оповестить учащихся о Турнире, а учащихся, которые узнают о Турнире от знакомых - сообщить о нем своим учителям.

МАТЕМАТИКА

Младшие классы (7-8)

На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что их можно разбить на две группы так, что эти группы точек нельзя будет отделить одну от другой никакой прямой. (Летучая ладья). На шахматной доске 4x4 расположена фигура - "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле? Докажите, что

1 1

-- + ------ = 1

1 1

2 + 1 + --

1 1

3 + ----- 1 +

1

4 + . 3 + -----

.

. 1 4 + .

+ ---- .

1

+ ----

1991

По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1.
а) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию.
б) Сколько различных таких наборов существует? Решения, получающиеся друг из друга поворотом окружности, считаются одинаковыми.

Старшие классы (9-10)

Через центр окружности 1 проведена окружность 2; А и В - точки пересечения окружностей. Касательная к окружности 2 в точке В пересекает окружность 1 в точке С. Докажите, что АВ=ВС. В лес пошло 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали
n2+9n-2 гриба, причем все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек? В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D такая,
что AD/DC=AB/BC. Докажите, что угол С - тупой. Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три подряд стоящих солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из n солдат разного роста, если
а) n=4;
б) n=5?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Сеанс 1.

Ладья стоит в правом верхнем углу шахматной доски размером K*N. Два игрока делают ходы по очереди. Одним ходом разрешается двинуть ладью на несколько полей вниз или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто побеждает при правильной игре - первый или второй? На листе выписаны подряд числа от 0 до 2N. Двое играющих по очереди вычеркивают произвольные числа: сначала первый 2N-1 чисел, затем второй 2N-2 чисел и т. д., пока не останутся два числа. Их разность (по модулю) - выигрыш первого и проигрыш второго. Найдите его оптимальное значение, т. е. чему он равен при правильной игре обоих партнеров.

Сеанс 2.

Два игрока по очереди берут по одной из девяти фишек, на которых написаны числа 1, 2, ..., 9. Выигрывает тот, кто первым соберет у себя какие-либо три фишки, дающие в сумме 15. Кто победит при правильной игре? На бесконечном листе клетчатой бумаги играют двое, ходят по очереди. Первый ставит за один ход два крестика, второй - два нолика. Первый стремится целиком заполнить какой-либо квадрат размером 2*2, второй - помешать первому. Может ли первый добиться успеха?

Сеанс 3.

Имеется куча из 31 камня. Двое играющих делают ходы по очереди. Одним ходом разрешается разделить любую из имеющихся куч на две непустые кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре - первый или второй? На квадратном клетчатом поле 7x7 играют двое. Первый ставит крестик на центр поля, второй может поставить нолик на любую из восьми клеток, соседних с занятой. После этого первый может поставить крестик на любую клетку рядом с уже занятыми и т. д. Выигрывает тот, кто первым займет какую-либо угловую клетку. Кто выигрывает при правильной игре?

Дополнительные игры.

Два программиста играют в следующую игру. Первый выбирает одно из двух чисел 11 или 17 (вариант: 10 или 17) и вводит его в компьютер. Затем второй выбирает одно из чисел 11 или 12 и вводит его (второй больше не участвует в игре). Компьютер складывает эти числа. Через минуту компьютер к полученному результату снова прибавляет число, введенное вторым, еще через минуту делает то же самое и т. д. Первый имеет право в любой момент переставить цифры последнего из имеющихся на экране чисел. Если число на экране станет трехзначным, выигрывает второй, иначе - первый.
Кто выиграет при правильной игре? Двое играющих по очереди вычеркивают одно число из ряда 1, 2, ..., 27 до тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выиграл первый, иначе - второй. Кто выиграет при правильной игре? На доску размером 2N*2N двое играющих по очереди ставят фишки так, чтобы ни в одном квадратике 2*2 не было больше
а) двух,
б) трех
фишек. Кто первым нарушит это условие, проигрывает.
Кто выиграет при правильной игре?