Растяжение и сжатие

III.Растяжение и сжатие

1.Продольная сила

В сечениях действует только продольная сила. Её определяют методом сечений. Если она растягивающая (например от сечения), считается положительной, если сжимающая – отрицательной.

График изменения продольной силы вдоль оси z называется эпюрой: . Её строят по определённым правилам.

. N-?

1 участок

, , .

Сила N направлена в противоположную сторону, является сжимающей.

2 участок

, ,

.

2.Напряжения в поперечных и наклонных сечениях

Волокна удлиняются одинаково. Продольная сила N распределена равномерно в виде нормальных напряжений σ = const

(1)

Угол α определяет положение наклонного сечения

,

,

,

Экстремумы функций, на площадке перпендикулярной данной:

- Закон парности касательных напряжений.

Это формулы для сечениях, удалённых от мест возмущения примерно на расстояниях, характерного размера поперечного сечения. Принцип Сен-Венана: способ приложения внешних сил существенно влияет на распределение напряжений только вблизи места нагружения. При их выводе применена гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): поперечные сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформирования, остаются такими же и в процессе деформирования.

3.Закон Гука. Деформации и перемещения.

Закон Гука (1676г.):

,

k – коэффициент пропорциональности. Эту формулу можно преобразо-

вать:

. (1)

Е – модуль упругости. Е = 200 ГПа (сталь), 10 ГПа (дерево).

Первоначальная длина элементарно малого отрезка - dz, его удлинение - Δdz, относительная деформация

.

Общее удлинение стержня является суммой элементарных удлинений, т. е. интегралом

, если , . (2)

Это другое выражение для закона Гука. Какое место занимают N, , Е, А в формуле!?

Перемещения двух соседних сечений разные u, u+du. Возникает относительная деформация

, .

Отсюда можно найти перемещения

, .

По рисунку . . - прямая линия, .

Пример. Определить АA'. .

Метод сечений.

1) , .

2) , .

, .

,

Напряжения и деформации могут возникать из-за действия температуры

α – коэфф. лин. рас.

.

Пример. Построить эпюры N, σ, u.

2 участка. Метод сечений.

1 участок.

2 участок. .

.

. ,

,

Поперечная деформация.

,

,

μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона),

μ = 0,24…0,30 – сталь

4. Учёт собственного веса

(Изучить самостоятельно)

5.Диаграммы растяжения и сжатия.

Основные механические характеристики материала

Экспериментальная часть с. м. Оборудование для испытаний. Свойства: Е, μ, прочностные свойства.

Растяжение

Образцы для испытания. Испытательная машина даёт график . Такой график приводится к диаграмме .

,

А – начальная площадь сечения.

(пласт. деф.)

Разгрузка, наклёп.

Сталь 30, , .

Явно выраженной пло-щадки текучести может не быть (алюминий, отож-жённая медь, легиров. стали). Условный предел текучести

- абсолютное удлинение после разрыва,

- относительное остаточное удлинение при разрыве. Сталь 30,

, - относит. остаточ. сужение.

Пластичные и хрупкие материалы. У хрупких (чугун, высокоугл. стали, стекло).

Сжатие

Образцы в виде цилиндра, кубика или призмы.

Пластичные материалы.

. Предела прочности нет.

Условно:

- в большинстве слу-чаев. По торцам действуют силы трения, отсюда бочкообразность.

Хрупкие материалы.

Хрупкие материалы явно разрушаются с образованием тре-щины и дальнейшим разделением на 2 части.

Сила трения по торцам влияют на прочность. Кубиковая прочность больше призменной (4≤h/a≤8)

- бетон.

, .

Для чугуна . Для бетона .

6.Расчёты на прочность по

допускаемым напряжениям

Хрупкие материалы (чугун, высокоуглеродистые стали, стекло). Свойства на растяжение и сжатие неодинаковые .

- условие прочности

, nв – коэфф. запаса по временному сопротивлению (пределу прочности), .

, .

Если оба условия прочности выполнены, то «прочность обеспечена».

Пластичные материалы (сталь, медь, алюминий, латунь и т. д.). Опасность заключается не в разрушении а в появлении чрезмерно больших деформаций при достижении предела текучести.

1) обычно. Тогда - коэфф. запаса по текучести, (1,3…2,5).

Условие прочности:

2)

, .

Оба условия должны быть выполнены.

Условие прочности может формулироваться и в форме:

- требуемый, нормат. коэфф. запаса.

- хр. мат., - пл. мат.

Расчёт называется расчётом по допускаемым напряжениям. Три типа расчётов:

1) Проверочный расчёт. По известной нагрузке определяется наибольшее напряжение и сравнивается с допускаемым напряжением. Ответ имеет два варианта: 1) да, прочность обеспечена; 2) нет, прочность не обеспечена.

2) Проектный расчёт (подбор сечения). Определяется необходимая площадь сечения

3) Определение грузоподъёмности (несущей способ-ности). По известным поперечным размерам бруса (А) и допускаемому напряжению устанавливают значение допускаемой продольной силы, а далее, и значение нагрузок.

Пример. Выполнить провероч-ный расчёт чугунного стержня.

,

, .

Два участка: 1 и 2. ,

, .

Проверяем прочность в сечениях участков

.

Прочность обеспечена.

7.Статически неопределимые задачи

при растяжении и сжатии

1 р. с.н. с. 2 р. с.н. с.

1) (1)

2) (2)

, .

1) , (1)

2) (2)

3)

, , (3)

8.Расчёты на прочность по разрушающим нагрузкам

Разрушающая сила не должна превышать допускаемую

, (1)

Fпр - предельная нагрузка, при которой из-за пластических деформаций начинаются неограниченно большие перемещения, n – коэфф. запаса прочности.

Схематизированная диаграмма Прандтля.

Идеальный упруго-пластический материал

Горизонтальная прямая - неограниченная.

В стадии упругой работы матер. ,

, .

Напряжения в сечениях 2-го участка больше.

, .

При этой нагрузке начинаются пластические деформации во всех сечениях 2-го участка. это не опасно, - не предельная нагрузка. Нагрузка может увеличиваться до появления пластических деформаций и в сечениях 1-го участка. такая нагрузка является предельной, т. к. точка В будет перемещаться уже неограниченно. Для определения воспользуемся методом сечений:

. .

.

Из условия прочности (1)

Условие прочности по допускаемым напряжениям дал бы другой результат:

Отсюда:

9.Расчёты на прочность по предельным состояниям

(метод частных коэффициентов)

Метод расчёта по допускаемым напряжениям и разрушающим нагрузкам пользуются единственным обобщенным коэффициентом запаса прочности. Между тем аварии наступают в результате случайного совпадения нескольких факторов: отклонения нагрузки в худшую сторону, снижения механических свойств материала, неблагоприятных условий эксплуатации, неточности расчётной схемы и т. д. Поэтому возник метод предельных состояний (, 1955).

Предельным считается такое состояние конструкции, при котором она перестаёт удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания (сооружения).

2  группы предельных состояний:

1)по потере несущей способности или непригодности к эксплуатации (разрушение, нарушение прочности, потеря устойчивости);

2) по непригодности к нормальной эксплуатации в соответствии с предусмотренными технологическими или бытовыми условиями (большие деформации, образование трещин, колебания).

Характерной особенностью МПС является то, что все исходные величины, случайные по своей природе, представлены некоторыми детерминированными норма-тивными значениями, а влияние их изменчивость учитывается соответствующими коэффициентами надёжности. Надёжностью называется способность объекта сохранять в процессе эксплуатации качество, заложенное при проектировании.

Каждый из коэффициентов надёжности учитывает изменчивость только одной исходной величины, т. е. носит частный характер. Поэтому и др. название – метод частных коэффициентов.

Основные факторы, влияющие на надёжность:

1)  нагрузки и прочие воздействия;

2)  механические свойства материала;

3)  геометрические размеры;

4)  условия работы;

5)  степень ответственности сооружения.

Нормативные нагрузки , определяются на основе вероятностного подхода, статистической обработки данных наблюдений за нагрузками. Это-нагрузки при нормальной эксплуатации, нагрузки при обычных условиях. По ним с помощью коэффициента надёжности по нагрузке подсчитываются расчётные нагрузки

, .

При расчёте по первой группе предельных состояний, как правило, (1,05…1,4). Коэффициент надёжности по нагрузке корректирует неточно установленную нормативную нагрузку до предельной нагрузки. Для постоянной нагрузки (собственный вес) будет близок к 1, а вот для временной нагрузки будет существенно больше 1.

О материале. Устанавливается нормативное сопротивление . Если нет явно , то или . Для бетона предел прочности (призменная прочность, 4≤h/a≤8) или . Для кирпичной кладки (28 дней).

Возможное отклонение сопротивления материала в неблагоприятную сторону от нормативного значения учитывается с помощью коэффициента надёжности по материалу (для стали 1,025…1,15). Расчётное сопротивление материала

. (1)

Отклонения по геометрии учитываются либо при помощи коэффициента точности, либо путём дополнительного слагаемого, которое прибавляется к нормативному значению геометрической характеристики, либо в ряде случаев коэффициентом надёжности по материалу.

Коэффициент условий работы вводится как множитель к значению расчётного сопротивления (СНиП) - . (0,75…1, температура, агрессивность среды), (перераспределение усилий при развитии пластических деформации и т. д.). В большинстве случаев .

Степень ответственности и капитальности зданий, а также значимость последствий тех или иных предельных состояний учитывается коэффициентом надёжности по ответственности . Его вводят в качестве множителя к значению расчётных нагрузок (усилий) - или как делитель к значению расчётного сопротивления - . (γn = 0,8…1,2).

Если ввести в формулу (1) , то условие прочности при осевом растяжении (сжатии)

. (2)

Здесь N – абсолютное значение продольной силы от расчётных нагрузок, R – расчётное сопротивление материала, - коэффициент условий работы.

Три задачи:

1)Проверка прочности – непосредственно по (2).

2)Подбор сечения (проект. расчёт):

. (3)

3)Определение эксплуатационной способности (предельного усилия):

. (4)

Пример 1. На деревянной стойке 10×10 см лежит плита с собственным весом с коэффициентом надёжности и временная нагрузка с коэффициентом надёжности .

Предел прочности древесины при сжатии , коэффициент надёжности материала . Коэффициент условий работы , коэффициент надёжности по ответственности . Точность геометрических размеров мм. Проверить прочность.

Проверку прочности проведём по условию (2).

.

.

.

Подставляем в условие (2)

, .

Условие выполнено. Прочность обеспечена.

Пример 2. Кронштейн состоит из 2-х стержней.

, ,

.

Определить из расчёта по допускаемым напряжениям и по предельным состояниям.

Усилия найдём по нормативной нагрузке, т. к. этого требует расчёт по допускаемым напряжениям

1) .

2) ,

.

I.Расчёт по допускаемым напряжениям

, .

.

II. Расчёт по предельным состояниям

. Здесь N – нормативные усилия, найденные выше, R – расчётное сопротивление материала , - нормат. сопрот. матер.

,

.

Площади сечений, найденные из расчёта по предельным состояниям заметно меньше найденных по допускаемым напряжениям. Это означает, что расчёт по предельным состояниям даёт более экономичные решения по сравнению с расчётом по допускаемым напряжениям.