Собственные векторы и собственные значения матриц

10. Собственные векторы и собственные значения матриц.

Определение. Собственным вектором квадратной матрицы А порядка n называется ненулевой n-мерный вектор-столбец , такой, что

, (10.1)

где λ – некоторое число.

Число λ называют собственным значением (собственным числом) матрицы А. При этом говорят, что вектор x является собственным вектором матрицы А, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению λ.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Соотношение (10.1) в данном случае выглядит следующим образом:

, т. е.

или (10.2)

Для того, чтобы последняя система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы её коэффициентов был равен нулю:

или , т. е. . Таким образом, собственными значениями матрицы оказываются числа .

Найдем собственные векторы. Для этого подставим найденные числа в систему (10.2):

1) , ,
т. е. все соответствующие собственные векторы имеют вид .

2) , ;
– общий вид собственного вектора при собственном значении .

В общем случае (10.1) можно переписать в виде или

(10.3).

Условием существования ненулевого решения однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными является равенство нулю определителя её матрицы коэффициентов:

.

– Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.
Собственные значения матрицы А являются корнями её характеристического уравнения.

Итак, алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы таков: сначала решают характеристическое уравнение, корнями которого будут собственные числа матрицы; затем каждое полученное собственное число подставляют в матричное равенство (10.3) и решают соответствующую однородную систему линейных уравнений, ненулевыми решениями которой будут собственные векторы, соответствующие найденному собственному значению.

Может случиться, что характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Тогда и у матрицы нет действительных собственных векторов.

Пример 2. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид
или . Это уравнение не имеет корней. Следовательно, у этой матрицы B нет ни собственных значений (действительных), ни собственных векторов.

Следует отметить, что собственные векторы находятся с точностью до умножения на скаляр, а именно, если вектор x является собственным для матрицы А, соответствующим некоторому собственному значению, то вектор t·x также будет собственным для этой матрицы при том же собственном значении.

Отметим особо, что одному и тому же собственному матрицы могут соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

Пример 2. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение имеет в данном случае вид ,

т. е. . Таким образом, .

1)  Равенство (10.3) для соответствует системе уравнений

Û .

Придавая свободному неизвестному произвольное значение, , получаем или .

2)  Аналогично, для имеем систему уравнений

Û .

Считая свободными неизвестными и придавая им произвольные значения s и t, находим общее решение: или .
Иными словами, каждый собственный вектор x, соответствующий собственному значению λ2 = 1, оказывается ненулевой линейной комбинацией двух линейно независимых собственных векторов –– коэффициенты s и t не должны обращаться в нуль одновременно.

Ответ: – собственные значения матрицы;
– общий вид собственного вектора при собственном значении ;
– общий вид собственного вектора при собственном значении .

Задачи. Найдите собственные значения и собственные векторы матриц:
10.1. ; 10.2. ; 10.3.; 10.4.;
10.5.; 10.6.; 10.7. ; 10.8. ;
10.9. ; 10.10. ; 10.11. ;
10.12. ; 10.13. ; 10.14. .

Ответы –– всюду ниже следует считать или :

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7.

10.8. 10.9.

10.10. 10.11.

10.12. 10.13.

10.14.