Автокорреляция уровней временного ряда

Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда yt и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени yt-t.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt-1, т. е. при лаге 1, рассчитывается по формуле:

,

где

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt-2 и определяется по формуле:

,

где

Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и анализируемого уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Анализ структуры ряда можно проводить следующим образом:

Ø  если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию;

Ø  если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени;

Ø  если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из предположений относительно структуры ряда:

·  ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а включает только случайную компоненту,

·  ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.

Пример. Динамика урожайности зерновых культур за гг. характеризуется данными (ц/га), представленными в табл. 1.

Таблица 1 - Урожайность зерновых культур за гг.

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Урожайность, ц/га	15,4	20,1	12	5,9	8,8	14,8	4,7	7	12,2	17	16,1	15,2	19,2	18,4	17,3

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

2. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Решение:

1. Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда урожайности зерновых культур произведем в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t
1	15,4	-	-	-	-	-	-
2	20,1	15,4	6,62	2,06	13,621	43,8433	4,2318
3	12	20,1	-1,48	6,76	-9,991	2,1862	45,6590
4	5,9	12	-7,58	-1,34	10,177	57,4347	1,8033
5	8,8	5,9	-4,68	-7,44	34,822	21,8890	55,3961
6	14,8	8,8	1,32	-4,54	-6,003	1,7462	20,6376
7	4,7	14,8	-8,78	1,46	-12,792	77,0633	2,1233
8	7	4,7	-6,48	-8,64	55,993	41,9719	74,6990
9	12,2	7	-1,28	-6,34	8,110	1,6347	40,2318
10	17	12,2	3,52	-1,14	-4,024	12,4005	1,3061
11	16,1	17	2,62	3,66	9,587	6,8719	13,3747
12	15,2	16,1	1,72	2,76	4,746	2,9633	7,6018
13	19,2	15,2	5,72	1,86	10,626	32,7347	3,4490
14	18,4	19,2	4,92	5,86	28,826	24,2205	34,3061
15	17,3	18,4	3,82	5,06	19,326	14,6033	25,5747
Итого	188,7*	186,8	0,00	0,00	163,023	341,5636	330,3943

*) Сумма приведена без значения 15,4 (затемненная ячейка).

Средние составят:

Коэффициент автокорреляции первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об отсутствии зависимости между урожайностью зерновых культур текущего и непосредственно предшествующего годов.

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда урожайности зерновых культур произведем в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

t
1	15,4	-	-	-	-	-	-
2	20,1	-	-	-	-	-	-
3	12	15,4	-0,97	2,45	-2,371	0,9394	5,9837
4	5,9	20,1	-7,07	7,15	-50,518	49,9740	51,0675
5	8,8	12	-4,17	-0,95	3,977	17,3825	0,9098
6	14,8	5,9	1,83	-7,05	-12,914	3,3517	49,7567
7	4,7	8,8	-8,27	-4,15	34,349	68,3802	17,2544
8	7	14,8	-5,97	1,85	-11,020	35,6317	3,4083
9	12,2	4,7	-0,77	-8,25	6,349	0,5917	68,1260
10	17	7	4,03	-5,95	-23,999	16,2471	35,4483
11	16,1	12,2	3,13	-0,75	-2,360	9,8017	0,5683
12	15,2	17	2,23	4,05	9,026	4,9763	16,3714
13	19,2	16,1	6,23	3,15	19,603	38,8225	9,8983
14	18,4	15,2	5,43	2,25	12,198	29,4933	5,0452
15	17,3	19,2	4,33	6,25	27,051	18,7556	39,0144
Итого	168,6*	168,4	0,00	0,00	9,372	294,3477	302,8523

*) Сумма приведена без значений 15,4 и 20,1 (затемненные ячейки).

Средние составят:

Коэффициент автокорреляции второго порядка:

Коэффициенты автокорреляции третьего и четвертого порядков рассчитаем в среде Excel с помощью функции КОРРЕЛ при соответствующем выборе диапазона значений.

Получаем r3=0,115 и r4=0,251.

Построим автокорреляционную функцию и коррелограмму временного ряда (табл. 4.6).

Таблица 4 - Автокорреляционная функция и коррелограмма ВР

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней	Коррелограмма
1	0,485	*****
2	0,031	*
3	0,115	*
4	0,251	***

При анализе временного ряда урожайности зерновых культур наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней первого порядка. Следовательно, исследуемый ряд содержит только тенденцию.