Прогрессии

Математика 10 класс

Прогрессии

1. Понятие числовой последовательности

Последовательность – одно из основных понятий математики, она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и др.

Последовательность считается заданной, если указано правило, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент хn (n-ый член последовательности) из некоторого множества. Обычно числовая последовательность обозначается: (хn).

Если последовательность состоит из конечного числа членов, она называется конечной последовательностью. Если последовательность содержит бесконечно много членов, её называют бесконечной.

Если каждый следующий член последовательности больше предыдущего, то есть хn < хn+1, последовательность называют возрастающей, если каждый следующий член последовательности меньше предыдущего хn > хn+1, последовательность называют убывающей.

Далее мы будем говорить только о числовых последовательностях.

Последовательность может быть задана и записана разными способами.

1)  Словесным описанием (данные наблюдений дневной температуры в городе Хабаровске за январь месяц; оценки ответов учеников 10а класса на уроке алгебры за 19 января; последовательность целых положительных чисел, делящихся на пять и др.)

2)  Перечислением членов последовательности

10; 11; 12; … 99 (конечная возрастающая последовательность)

3)  Аналитический способ – с помощью формулы, выражающей n-ый член последовательности хn через его номер n.

Например: 1) хn = , тогда х1 = = 1; х2 = ; х3 = ; … (бесконечная убывающая последовательность)

2) хn = 2n + 1, где n натуральное число тогда х1 = 3; х2 = 5; х3 = 7; …. (бесконечная возрастающая последовательность)

4)  Рекуррентный, когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие.

Например: и1 = 1; и2 = 1; иn+1 = иn + иn-1, используя эти соотношения получаем последовательность 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 34; 55; 89 … (последовательность чисел Фибоначчи).

Таким образом, зная формулу n-ого члена последовательности можно выписать все члены этой последовательности, если она конечная и перечислить первые члены бесконечной последовательности.

Рассмотрим числовые последовательности, которые играют особую роль в математике.

2. Арифметическая прогрессия

Определение 1. Последовательность (аn), у которой каждый член, начиная со второго отличается от предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число d, называется арифметической прогрессией.

При этом число d называют разностью арифметической прогрессии. Если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей, если d < 0, арифметическая прогрессия является убывающей. Из определения очевидно:

d = аn+1 – an ……………………………………(1)

Таким образом, арифметическая прогрессия полностью определяется своим первым членом а1 и разностью d. Действительно,

а2 = а1 + d ; а3 = а2 + d = а1+ d + d = а1+ 2d; а4 = а3 + d = а1+ 2d + d = а1+ 3d; ….

Следовательно, n-ый член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

an = a1 + (n – 1)d ………………………………..(2).

Утверждение 2. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией в том и только в том случае, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов.

Доказательство. 1). Докажем прямое утверждение: если (аn) – арифметическая прогрессия, то

……………………………………(3)

Воспользуемся равенством (2) и выразим аn-1, аn, аn+1 через а1 и разность арифметической прогрессии:

an-1 = a1 + (n – 2)d; an = a1 + (n – 1)d; an+1 = a1 + nd.

Найдем an-1 + an+1 = (a1 + (n – 2)d) + (a1 + nd) = 2a1 +2(n – 1)d, тогда = an

2) Докажем обратное утверждение: если для каждого натурального n, то (аn) – арифметическая прогрессия.

Рассмотрим разность an - an-1 и учтем, что , получим:

an - an-1 = - an-1 = .

Аналогично: an+1 - an = an+1 - = .

Таким образом, для любого натурального n > 1, an - an-1 = an+1 - an, следовательно по определению 1, последовательность (аn) является арифметической прогрессией.

Замечание. Это утверждение является необходимым и достаточным условием для того, чтобы последовательность образовывала арифметическую прогрессию. В дальнейшем этим утверждением можно пользоваться при решении задач.

Обозначим через Sn сумму n первых членов арифметической прогрессии т. е.

Sn = а1 + а2 + …+ an. Тогда справедливы следующие формулы для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:

……………………..(4) ……………………..(5)

Для решения задач связанных с арифметической прогрессией достаточно знать формулы (1) – (5).

3. Геометрическая прогрессия

Определение 3. Геометрической прогрессией называется последовательность (bn), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное (для данной прогрессии) число q ≠ 0. Число q называется знаменателем прогрессии. Очевидно, что q = ………………………………………….(6)

Замечание. В случае, когда b1 = 0, получается последовательность из одних нулей. Поэтому в определение геометрической прогрессии часто включают требование b1 ≠ 0.

Таким образом, геометрическая прогрессия полностью определяется своим первым членом b1 и знаменателем q. Действительно,

b2 = b1· q; b3 = b2· q = b1· q2; b4 = b3· q = b1· q3; …

Следовательно n-ый член геометрической прогрессии задается формулой:

bn = b1· qn-1 ………………………………………………(7)

Замечание. При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической, при этом Sn = n·b1.

Утверждение 4. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией в том и только в том случае, если для любого натурального n > 1 выполняется равенство

…………… (8)

(докажите самостоятельно)

Если через Sn обозначить сумму первых n членов геометрической прогрессии, то ……………(9) или …………….(10) при q ≠ 1.

Если знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии удовлетворяет условию < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей. При этом, с ростом n, в формуле (9) второй сомножитель в числителе будет стремиться к 1, поэтому полагают, что сумма S членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S = …………(11)

Для решения задач связанных с геометрической прогрессией достаточно знать формулы (6) – (11).

4. Вопросы для самопроверки

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров решения задач и выполнению контрольного задания проверьте себя, ответив на ниже сформулированные вопросы.

Что называется последовательностью?

Перечислите способы задания последовательности.

Последовательность (хn) задана аналитически хn = 3n-1. Чему равен 10-ый член этой последовательности?

Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

Дана арифметическая прогрессия 4; 1; …. Чему равна разность этой прогрессии?

Если первый член арифметической прогрессии а1 = 4, разность d = - 3, чему равен третий член этой прогрессии?

Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии?

Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

Дана геометрическая прогрессия 4; 8; …. Чему равен знаменатель этой прогрессии?

Первый член геометрической прогрессии и1 = 2, знаменатель q = 0,5. Чему равен третий член этой прогрессии?

Чему равна сумма n первых членов геометрической прогрессии?

Какая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей?

5. Примеры решения задач

Задача 1. В арифметической прогрессии , , … найдите номера тех членов, значения которых отрицательны.

Решение. 1) Найдем разность арифметической прогрессии, используя формулу (1). По условию а1 = ; а2 = , тогда d = а2 – а1 = = .

2) Воспользуемся формулой (2) и запишем n член данной арифметической прогрессии: an = + ( n – 1) =

3) Так как нужно найти номера отрицательных членов потребуем, чтобы an < 0, тогда получим неравенство < 0, решением которого является n < 5. Так как n натуральное число, то оно может принимать значения 1; 2; 3; 4.

Ответ: 1-ый, 2-ой, 3-ий и 4-ый члены арифметической прогрессии будут отрицательными.

Задача 2. Последовательность чисел а1 , а2 , а3 ,… является арифметической прогрессией. Известно, что а1 + а5 + а15 = 3. Найти а5 + а9.

Решение. 1) Чтобы уменьшить число неизвестных в заданном уравнении воспользуемся формулой (2) и выразим а5 , а9 ,а15 через а1 и разность арифметической прогрессии d. Будем иметь: а5 = а1+ 4d; а9 = а1+ 8d; а15= а1+ 14d.

2) По условию а1 + а5 + а15= а1+ 4d + а1+ 8d + а1+ 14d = 3а1 + 18d = 3, или

а1 + 6d = 1.

3) Надо найти а5 + а9 = а1+ 4d + а1+ 8d = 2а1 + 12d = 2(а1 + 6d). Тогда учитывая 2)

а5 + а9 = 2(а1 + 6d) = 2. Ответ: а5 + а9 = 2.

Замечание. При решении задач, связанных с прогрессиями часто записывают условие задачи в виде уравнения или системы уравнений, выразив все имеющиеся данные через первый член прогрессии а1 и разность.

Задача 3. За изготовление последнего пластикового окна заплатили 3600 рублей. За каждое предыдущее платили на 1000 рублей больше. За установку изготовленных окон было заплачено еще 14400 рублей. В итоге, средняя стоимость изготовления и установки одного окна оказалось раной 8080 рублей. Сколько окон было установлено?

Решение. 1) Заметим, что стоимости изготовленных окон образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью d = -720, и последним членом an = 3600. Для более рационального решения задачи будем считать, что нам дана возрастающая арифметическая прогрессия с первым членом а1 = 3600 и разностью d = 720. Число n членов этой прогрессии и будет равно числу изготовленных окон. Следовательно, задача сводится к нахождению числа n членов арифметической прогрессии.

2) Найдем сумму, которая была заплачена за изготовление всех окон, для чего воспользоваться формулой (5): Sn = = 360n2 + 3240n

3) По условию за установку окон еще производилась доплата, следовательно, стоимость изготовления и установки всех окон равна: 360n2 + 3240n + 14400.

С другой стороны, так как в условии дана средняя стоимость изготовления и установки одного окна, то стоимость изготовления и установки всех окон может быть выражена как 8080n. Таким образом, получаем уравнение:

360n2 + 3240n + 14400 = 8080n.

4) Решив это квадратное уравнение, получим n1 = ; n2 = 9. Так как число n должно быть натуральным, n1 – посторонний корень. Ответ: было установлено 9 окон.

Задача 4. Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Решение. 1) Запишем условия задачи в виде системы равенств:

2) Используя равенство (7) выразим и2, и3, и4 через и1 и q и подставим полученные выражения в систему:

3) Решим полученную систему:

4) Используя формулу (7) найдем и2 = –6; и3 = 12; и4 = –24. Ответ: 3; – 6; 12; – 24.

Задача 5. Решить уравнение + х + х2 + … + хn + … = , где < 1.

Решение. 1) В левой части уравнения стоит сумма бесконечного числа слагаемых. Начиная со второго слагаемого каждое следующее равно предыдущему, умноженному на х. Следовательно, слагаемые, начиная со второго, образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом b1= х и знаменателем q = х. Так как < 1, то эта последовательность бесконечно убывающая. Тогда, учитывая формулу (11), имеем:

х + х2 + … + хn + …=

2) Подставим полученное выражение в первоначальное уравнение и найдем его корни.

+= х1 = ; х2 = . Ответ: ; .

Задача 6. Три числа, сумма которых 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.

Решение. 1) Обозначим неизвестные члены заданной геометрической прогрессии через и1, и2 и и3. Тогда по условию, учитывая формулу (8) получим: и22 = и1· и3.

2) По условию и1 является первым членом арифметической прогрессии, следовательно и2 как четвертый и и3 как двадцать пятый члены этой же арифметической прогрессии, учитывая формулу (2) можно представить как: и2 = и1 + 3d; и3= и1 + 24d, где d – разность арифметической прогрессии. Тогда, учитывая, полученное в п.1, имеем:

(и1 + 3d)2 = и1 (и1 + 24d)

3) По условию и1 + и2 + и3 = 114. Следовательно, и1 + (и1 + 3d) + (и1 + 24d) = 114 или

3и1 + 27d = 114

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

4) Решим полученную систему

Если в первом уравнении системы d = 0, то и1 = 38; и2 =38; и3 = 38. Иначе

получим и1 =2; d = 4. Следовательно получаем и1 = 2; и2 = 14; и3 = 98.

Ответ: и1 = 38; и2 =38; и3 = 38 или и1 = 2; и2 = 14; и3 = 98.

Контрольные задания

Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №3 для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 8, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 12 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла).

М.10.3.1.  Доказать утверждение 4.

М.10.3.2.  В геометрической прогрессии 3; 1; … найдите номер члена, равного 3-5.

М.10.3.3.  Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна , а произведение третьего и четвертого её членов равно . Найти сумму семнадцати первых членов этой прогрессии.

М.10.3.4.  Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

М.10.3.5.  Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей число сотен, вычесть четыре, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

М.10.3.6.  Решить уравнение: 1 + 7 + 13 + … + х = 280.

М.10.3.7.  Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно число так, что все три числа образуют арифметическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.