Расчет цепей с управляемыми источниками

Расчет цепей с управляемыми источниками

Вариант 7

1.  Постановка задачи.

Исходные данные:

- электрическая цепь с управляемым источником (рис.1);

- периодическое негармоническое входное воздействие (рис. 2);

- импульс входного воздействия (рис. 3).

Для данной цепи в установившемся режиме произвести:

- вывод формулы передаточной функции в операторном и комплексном виде;

- расчёт и построение АЧХ и ФЧХ;

- исследование устойчивости цепи по нулям и полюсам передаточной функции;

- определение реакции цепи на периодическое негармоническое воздействие с построением амплитудного и фазового частотного спектров входного воздействия

и выходной реакции.

Рассчитать переходные процессы в цепи:

- определить переходную и импульсную функции;

- рассчитать и построить переходный процесс при ступенчатом входном воздействии;

- рассчитать переходной процесс при импульсном воздействии.

-построить графики воздействия и реакции цепи.

Рис.1. Электрическая цепь с управляемым источником. Параметры: R2 = 10 кОм, R4 = R5 =20 кОм, RН = R7 =1 кОм, C1 = 10 нФ, C3 = 5 нФ.

Рис.2. Периодическое негармоническое входное воздействие.

Рис.3. Импульсное входное воздействие.

2.  Расчет цепи с управляемым источником в установившемся режиме

В данной цепи используется источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН), реализованный операционным усилителем с коэффициентом передачи по напряжению αU=50000. На рисунке 4 представлена эквивалентная расчетная схема, где усилитель заменен дополнительной ветвью с источником напряжения Ey и

его внутренним сопротивлением на выходе R6, эта ветвь включается

параллельно нагрузке. Расчет передаточной функции проведём методом узловых напряжений.

Граф цепи с управляемым источником напряжения дан на рисунке 5, где принято:

U1(p), U2(p), E1(p) = U1(p) – входное и выходное напряжение;

y1(p), y2(p), y3(p), y4(p), y5(p), y6(p), y7(p) –проводимости ветвей;

Ey(p) = αU∙ U30(p) –ЭДС источника, управляемого напряжением, т. е. ИНУН.

Рис.4. Эквивалентная расчетная цепь с источником напряжения Еy, управляемым напряжением U32.

Рис.5. Граф цепи с управляемым источником напряжения, yi(p) – проводимости ветвей в операторной форме.

Система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид

, (1)

где для проводимостей введены обозначения:

,

,

,

,

а источники напряжения выражаются следующим образом:

.

Искомая зависимость – это передаточная функция по напряжению:

.

Решим систему уравнений по правилу Крамера. Перепишем систему уравнений в следующем виде, упорядочив слагаемые.

Находим определитель этой системы:

Теперь заменим третий столбец матрицу системы на столбец правой части и найдём определитель:

Чтобы найти , нужно разделить на . Однако эти выражения допускают упрощение с учетом того, что коэффициент передачи – очень большая величина. Поэтому с большой точностью можно выражения для на поделить на , а затем осуществить предельный переход . Получим

Тогда

После подстановки в эту дробь выражений для проводимостей участков цепи и некоторых преобразований получим окончательную зависимость коэффициента передаточной функции от параметров цепи и параметра p:

Таким образом, после подстановки сюда числовых значений параметров мы получим формулу передаточной функции в операторном виде:

(2)

Выполнив в этом выражении замену , после несложных преобразований получим комплексную форму этой функции:

(3)

3.  Построение АЧХ и ФЧХ

Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи. Фазо-частотная характеристика определяет фазовый сдвиг выходного напряжения относительно входного.

В комплексной форме (3) выделяем вещественную P(ω) и мнимую Q(ω) части

Амплитудно-частотная характеристика:

(4)

Фазо-частотная характеристика

(5)

Где параметр φ* подбирается так, чтобы обеспечить непрерывность функции φ(ω) при том значении ωк, при котором обращается в нуль знаменатель в аргументе арктангенса, т. е.

Рис. 6. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная; б–фазо-частотная

4.  Определение устойчивости

Условие устойчивости состояния покоя электрической цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя переходные токи и напряжения были затухающими. Энергия переходного процесса преобразуется в активных сопротивлениях цепи в теплоту, которая отводится в окружающую среду. Достаточное условие устойчивости электрической цепи: если корни числителя – нули и корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/B(p) имеют отрицательную вещественную часть, то цепь устойчива.

B нашем случае имеется двукратный корень числи, p=0, что является нейтральным условием по отношению к устойчивости. Приравняв нулю знаменаи решив полученное уравнение

,

найдем два комплексно-сопряжённых его корня:

. (6)

Это полюса передаточной функции. Отобразим положение полюсов и нулей фнкции на комплексной плоскости. Т. к. полюса (их отмечают крестиком) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 7), это означает, что переходные процессы в цепи затухают и цепь устойчивая.

Рис.7. Полюса и нуль функции HU(p) на комплексной плоскости

5.  Определение реакции цепи на периодическое негармоническое входное воздействие

Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы. Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Ограничим ряд Фурье первыми пятью гармониками.

Частоту внешнего воздействия подберем исходя из того условия, чтобы в диапазоне от ω1 до 9ω1 зависимость HU(ω) претерпевала существенное изменение. Для рассматриваемого варианта можно принять f1=1000 Гц, T1=10-3c. Амплитуду воздействия выберем Um=1В.

У гармоник с нечётными номерами начальная фаза нулевая, с чётными – равная π. Занесём в таблицу характеристики первых пяти гармоник разложения входного сигнала:

№ гармоники	Цикл. частота, с-1	Амплитуда, В	Начальная фаза, рад
1
2
3
4
5

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры входного воздействия. Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U1(t) даны на рисунке:

a) б)

Рис.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) частотные спектры входного воздействия.

Рис. 9. Первые гармоники входного напряжения (1-5) и их сумма (6)

Расчет и построение выходного напряжения. Сначала найдём реакцию цепи на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций. Амплитуда n-й гармоники на выходе определяется выражением

,

а фаза – выражением

Вычисления по этим формулам сведены в таблицу:

№ гармоники n	Цикл. частота ωn, с-1	Амплитуда , В	Начальная фаза , град.
1	6,28·103	0,300	131,3
2	18,8·103	0,351	241,4
3	31,4·103	0,240	36,9
4	44,0·103	0,179	206,2
5	56,5·103	0,139	20,3

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры выходной реакции.

Рис. 10. Амплитудный и фазовый спектры по частоте для выходного сигнала.

Выведем на график пять первых гармоник выходного сигнала и их сумму, аппроксимирующую отклик цепи на периодически повторяющийся прямоугольный импульс, подаваемый на вход. На графике хорошо заметны искажения формы сигнала. Понизился и интегральный уровень сигнала, хотя пиковые значения по-прежнему достигают 1 вольта. Поэтому для более качественной аппроксимации не следует ограничиваться всего пятью гармониками, т. к. при увеличении частоты AЧX не спадает, а даже растёт, и вклад высоких гармоник существенен.

Рис. 11. Пять гармоник на выходе и их сумма

6. Расчет переходных процессов в цепи с управляемым источником

4.1. Сначала исследуем отклик цепи, когда на вход подается единичная ступенчатая функция 1(t) (рис.10). В этом случае реакция цепи называется переходной функцией и обозначается h(t).

Рис. 12. Единичная ступенчатая функция.

Т. к. функция HU(p) цепи уже найдена, то воспользуемся преобразованием Лапласа для получения переходной функции:

где α и β – полюсы передаточной функции. Теперь можно разложить последнюю дробь на сумму двух элементарных дробей:

В таблице преобразований Лапласа находим оригиналы для элементарных дробей, и таким образом получаем:

h(t)=

С учётом того, что полюса – комплексно-сопряжённые числа, это выражение можно упростить, и показать, что оно вещественно. Подставляя в это выражение найденные ранее значения полюсов (6) , остальные вычисления проведём на компьютере, и изобразим функцию h(t) на графике

Рис. 13. Переходная функция цепи.

Импульсную функцию gU(t) можно найти дифференцированием функции h(t):

g(t)

Ниже приводится её график

Рис.14. Импульсная характеристика gU(t)

7. Построение переходного процесса при ступенчатом входном воздействии.

Это воздействие выражается через единичную ступенчатую функцию:

Поэтому в силу линейности преобразований Лапласа и цепи реакция тоже будет в раз отличаться от переходной характеристики цепи

.

Чтоб построить график , нужно будет лишь проделать масштабирование графика переходной характеристики.

8. Расчет переходного процесса при импульсном воздействии заданной формы (интеграл Дюамеля)

На входных зажимах электрической цепи действует ЭДС e(t) формы, заданной на рисунке. Необходимо определить реакцию выходного напряжения U(t) на входное воздействие e(t).

.

Рис. 15. Входное напряжение в цепи. Параметры имеют следующие значения: E0=3 В; E1=-2 В, t1=2·10-4 с, t2=4·10-4 с.

Воспользуемся метом и формулой Дюамеля:

В нашем случае производные входного воздействия по времени на всех участках равны нулю, и интегралы считать не потребуется. Рассмотрим последовательно все три участка.

Участок I.

Участок II.

Участок III.

Ниже на одном графике приведены все три ветви отклика цепи на это сложнре воздействие.

Рис. 16. Отклик цепи на входное напряжение (рис. 15).