РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 9 КЛАССА

Задача №1. В угол АВС, равный 600, вписана окружность. Касательная к этой окружности, проведенная так, что центр окружности и вершина угла расположены по разные стороны от нее, пересекает стороны угла в точках М и N. Периметр треугольника МВN равен 18. Найдите радиус окружности.

Решение.

1. Пусть K и H – точки касания данной окружности и сторон данного угла, а L – точка касания окружности и стороны MN треугольника MBN, тогда MK=ML, LN=HN, т. к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

2. , т. к. BK=BH, то BH=9.

3. Точка O – центр окружности, вписанной в угол ABC, равноудалена от его сторон и, следовательно, принадлежит биссектрисе этого угла. В таком случае .

4. : , BO=2OH=2r, ,

.

Ответ: .

Задача№2. Докажите, что сумма диаметров окружностей, одна из которых вписана в прямоугольный треугольник, а другая описана около него, равна сумме его катетов.

Доказательство.

1. Так как О – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, – середина его гипотенузы, то AB=2R, где R – радиус описанной окружности.

2. Пусть L, K и N – точки касания окружности, вписанной в треугольник, и его сторон, тогда BN=BK, AN=AL, CK=CL (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собою) и, следовательно, AL+BK= AL+BN =2R.

3. Пусть O1 – центр окружности вписанной в . Четырехугольник – прямоугольник с равными смежными сторонами (). Следовательно, , где r – радиус вписанной в окружности.

4..

Задача№3. Два параллелограмма расположены так, что каждая сторона одного из них содержит по одной вершине другого. Докажите, что центры этих параллелограммов совпадают.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Доказательство.

Задача№4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр которой принадлежит диагонали АС четырехугольника. Докажите, что проекции противоположных сторон четырехугольника на его диагональ BD равны между собою.

Доказательство.

1. Пусть BP и DQ – проекции сторон AB и CD четырехугольника ABCD на его диагональ BD.

2. (вписаны в окружность, опираются на диаметр)

3. Рассмотрим и :

,.(1)

4. Рассмотрим и :

, .(2)

Сравнивая (1) и (2), делаем вывод: BP=DQ.

Задача№5. В прямоугольнике АВСD сторона АВ в три раза меньше стороны ВС. Точки Р и Q принадлежат стороне ВС и при этом ВР=PQ=QC. Докажите, что сумма углов АРВ, AQB и АСВ равна прямому углу.

Доказательство.

1. Очевидно, что .

2. Докажем, что .

a) Четырехугольник симметричен четырехугольнику относительно BC.

б) A1D1, P1A1D1.

в) Рассмотрим и : , ,.

г) :, (теорема, обратная теореме Пифагора)

Так как , то .

д) ,.

Задача№6. В треугольнике АВС точка О – центр вписанной окружности, O1 – пересечение биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Докажите, что окружность, описанная около треугольника АВС, делит отрезок ОО1 пополам.

Доказательство.

Пусть М – пересечение окружности, описанной около треугольника АВС, и отрезка ОО1.

1.О – центр окружности, вписанной в , О - пересечение биссектрис , то есть , .

2. СО1 – биссектриса , а значит О1 равноудалена от сторон BC и CK этого угла.

ВО1 – биссектриса , значит О1 равноудалена от сторон BC и BL этого угла.

B таком случае О1 равноудалена от сторон , следовательно принадлежит биссектрисе АО этого угла. Таким образом, точки А, О и О1 – точки одной прямой.

3..

4.- внешний угол . .

5.( вписаны в окружность, опираются на дугу BM), тогда .

6. : .

7. : , тогда , .

8. , то есть М – середина ОО1.