В. А. ЛАРИЧЕВ, А. В. ЛИПАТОВ, Г. А. МАКСИМОВ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ

ДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ БИКУБИЧЕСКИМИ

СПЛАЙНАМИ С РАЗРЕЗАМИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ

ТРЕХМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ГЕОСРЕД

Представлена методика решения задачи об аппроксимации произвольно расположенных в пространстве точек данных с помощью гладких, возможно неоднозначных, поверхностей с разрезами. При этом края таких поверхностей могут быть выведены на другие заданные гладкие поверхности.

В современной геофизике важной задачей является построение трехмерных моделей геологических сред. В рамках этой задачи требуется восстанавливать границы раздела геологических слоев по данным бурения, сейсморазведки и др. Эти данные, как правило, известны не для всех областей восстанавливаемой поверхности, и в тоже время для некоторых областей часто имеется большое количество данных, полученных с большой погрешностью. Таким образом, в процессе решения задачи о восстановлении границ геологических слоев необходимо а) аппроксимировать и сглаживать данные в тех областях, где имеется их избыток; б) восстанавливать поверхность исходя из какой-либо разумной гипотезы в тех областях, где данных нет. В частности, хорошей гипотезой является предположение о гладкости поверхности, соответствующее минимальности ее кривизны, что, например, соответствует поведению тонкой упругой пластинки. Кроме того, следует учитывать следующие особенности: в) восстанавливаемая поверхность может быть неоднозначной по отношению к дневной поверхности; г) она может иметь внутренние разрезы, соответствующие геологическим разломам, которые хорошо прослеживаются сейсмическими методами. Поэтому часто известно, д) что край восстанавливаемой поверхности должен лежать на известной поверхности разлома, но при этом неизвестно, где именно на этой поверхности.

Все эти требования и особенности могут быть учтены в рамках методики восстановления, основанной на использовании параметрических бикубических B-сплайнов [1, 2].

В рамках этой методики может быть поставлена задача отыскания минимума целевого функционала, содержащего слагаемые, отражающие отмеченные условия а)-д), по коэффициентам параметрического бикубического сплайна, заданного над некоторой прямоугольной параметрической сеткой. При этом в реальном пространстве сплайновая сетка в общем случае может иметь произвольной форму, а вдоль линий сетки могут быть проведены разрезы.

На рис. 1 – рис. 3 проиллюстрированы возможности восстановления поверхности в раках предложенной методики. На рис. 1 и 2 показаны различные возможности аппроксимации данных поверхностями с разрезами. На рис. 3 показан пример выведения края поверхности на другую заданную поверхность (разлом).

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

Список литературы

1. Cox M. G. The numerical evaluation of B-Spline // J. Inst. Math. Applics. 1972. № 15. Р. 95-108.

2. De Boor C. On calculating with B-Splines // J. Approx. Th. 1972. № 6. Р. 50-62.