Изгиб пластинок

ГЛАВА 5

ИЗГИБ ПЛАСТИНОК

5.1. Основные понятия и гипотезы. Напряженно-деформированное состояние

Пластинкой называется призматическое или цилиндрическое тело, высота (толщина), которого h мала по сравнению с размерами в плане (рис. 5.1).

(б)

Рис. 5.1

Плоскость (в деформированном состоянии поверхность), делящая толщину пластинки пополам, называется срединной. На рис. 5.1 она частично заштрихована. След от пересечения срединной плоскости с боковой поверхностью называется контуром пластинки.

Тонкими считаются пластинки, у которых отношение толщины к наименьшему размеру в плане h/а находится в пределах 1/8 ¸ 1/80, а наибольший прогиб не превышает 0,25h. Если толщина больше, чем допускает первое условие, то это толстая плита. Если прогиб больше, чем допускает второе условие, что обычно происходит если h/a < 1/80, то это гибкая пластинка – мембрана.

Пластинки широко распространены в технике, в том числе в строительстве. Это различные конструкции перекрытий и покрытий, фундаментные плиты и тому подобное.

Для расчета тонких пластинок применяется техническая теория, которая, кроме общих гипотез теории упругости, привлекает дополнительные гипотезы:

1. При нагрузке, параллельной оси z, все точки срединной плоскости перемещаются только вертикально. Отсюда, следует, что в срединной плоскости и = v = 0, а значит ex = ey = gxy = 0.

2. Прямой отрезок, нормальный к срединной плоскости, остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности, а длина его не меняется. Это значит, что в вертикальных сечениях пластинки отсутствуют деформации сдвига gxz и gyz., а также линейная деформация ez .

3. Давлением между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости, можно пренебречь (sz = 0).

Выразим горизонтальные перемещения u и v через вертикальное перемещение (прогиб) w. В сечении, параллельном оси x (рис. 5.2) выберем точку А на срединной плоскости. В результате деформации она переместится вертикально и займет положение А¢.

a

 

 

Рис. 5.2

Точка В, лежащая на расстоянии z от срединной плоскости получит не только вертикальное, но и горизонтальное перемещение u = – B¢B²; оно отрицательно, так как направлено в сторону, противоположную оси x. Согласно рис. 5.2

B¢B² = z sina » z tga. Здесь a – угол поворота нормали а¢b¢. Но tga = ¶w/¶x. Поэтому

u = – z . Аналогично, v = – z . (5.1)

Подставив выражения (5.1) в геометрические уравнения (3.12), получим выражения деформаций через прогиб w

. (5.2)

Уравнения (5.2) можно представить так

ex = zcx , ey = zcy , gxy = 2zc , (5.3)

, (5.4)

где cх , cу – кривизны изгиба в направлениях осей х и у, c – кривизна кручения.

Уравнения (5.2) или (5.3) являются, по сути, геометрическими уравнениями теории изгиба пластинок.

Гипотеза 3 позволяет использовать для пластинок физические уравнения (3.13), (4.20) полученные для плоского напряженного состояния. Подставив в (4.20) деформации из (5.3) получим

(5.5)

Распределение этих напряжений по высоте сечения пластинки линейно. Оно показано на рис. 5.3.

 

Рис. 5.3

На рис. 5.3 показаны также касательные напряжения txz и tуz . Их эпюры, как и в балках при поперечном изгибе, имеют форму квадратичной параболы.

5.2. Внутренние усилия

Все напряжения, показанные на рис. 5.3, можно привести к внутренним усилиям: sx и sy – к изгибающим моментам Mx и Му ; txу – к крутящему моменту Мхy , tхz и tуz – к поперечным силам Qx и Qy .

Рассмотрим действие напряжения sx на участок сечения с нормалью x (рис. 5.3). Ширину этого участка вдоль оси y примем равной единице. Найдем момент, создаваемый напряжениями sx относительно оси y

. (5.6)

Если обозначить цилиндрическую жесткость пластинки , то с учетом выражений (5.4) для кривизн

. (5.7)

Подобным образом

(5.8)

Поскольку изгибающий момент Mx отнесен к полоске единичной ширины

(dy = 1), то он фактически является интенсивностью. Размерность момента Hм/м = H. В дальнейшем интенсивность момента Mx будем называть просто моментом. Сказанное здесь относится и к другим усилиям.

Сравнение формул (5.5) и (5.7), (5.8) позволяет выразить напряжения через усилия

. (5.9)

Отсюда видно, что формулы для определения нормальных напряжений отвечают формулам курса сопротивления материалов. Здесь I = h3/12.

Формулы для определения главных моментов M1 и М2 – аналогичны тем, что получены в плоской задаче (3.7)

. (5.10)

Соответственно угол наклона главной площадки a1 к оси x (3.6)

tg2a1 = . (5.11)

Сумма изгибающих моментов не зависит от ориентации координатных осей, то есть является инвариантом

M1 + M2 = Mx + My = – (1 + n) D Ñ2 w.

Для сечения пластинки, нормаль к которому составляет с осью x произвольный угол a, в соответствии с (3.5)

Mn = Mx cos2a + My sin2a – 2Mxy sina cosa,

Mns = Mxy (cos2a – sin2a) + (Mx – My) sina cosa.

В силу гипотезы 2 напряжения txz и tyz непосредственно не связаны с деформациями пластинки. Определить Qx и Qy через прогибы возможно лишь с помощью уравнений равновесия.