Двойственные вариационные задачи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Поморский государственный университет им. »

КОРЯЖЕМСКИЙ ФИЛИАЛ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

кафедра математики и информатики

Двойственные вариационные задачи

курсовая работа

Выполнил:

студент 3 курса математического

факультета, специальность «Прикладная

математика и информатика»

Научный руководитель:

., к. п. н. , доцент.

Допустить к защите

Зав. Кафедрой математики и

информатики, к. п.н.

_________ И. В Кузнецова

Защищена с отметкой _________

("1") Научный руководитель ________

Коряжма

2005

Оглавление.

Введение.

Вариационное исчисление как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в., главным образом благодаря работам Л. Эйлера.

Простейшей задачей вариационное исчисление называют задачу отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу

где F — непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x(t) должна удовлетворять следующим условиям:

она должна быть кусочно дифференцируемой, при t = to и t = T она должна принимать значения

х(to)=х0, х(Т)=хm.

Существенным преимуществом вариационной формулировки прикладной задачи, функционал которой имеет определенные экстремальные свойства, является не только возможность применения эффективных прямых методов, но и удобные способы оценки погрешности приближенного решения.

1. Альтернативные функционалы.

Из двух приближенных решений u1 и u2 в задаче на минимум функционала Ј[u] разумно отдать предпочтение тому из них, на котором значение функционала Ј[u] меньше, т. е. ближе к минимальному значению. В этом случае значение функционала выполняет роль обобщенного критерия для сравнения двух и более приближенных решений. Для количественной оценки погрешности приближенного решения u можно использовать разность значение функционала ( точное решение задачи на минимум функционала). Эту разность можно связать со значением , отражающим близость точного и приближенного решений. Но элемент , не известен в процессе приближенного решения задачи, поэтому не известно и значение.
Следовательно, необходимо направить усилия на поиск оценки значения Ј[] снизу, чтобы получить оценку разности ∆Ј сверху. Оценка значения Ј[] может быть получена, если построить дополнительную вариационную задачу на максимум некоторого функционала I[υ], удовлетворяющего условию

I[υ] = max I[υ] ≤ min J[u] = J[]. (1.1)

Тогда для любой пары элементов u D(J) и υ D(I) имеем

I[υ] ≤ I[] ≤ J[]≤ J[u]. (1.2)

Таким образом, получаем оценку сверху приближенного решения

u:∆J = J[u] - J[] ≤ J[u] – I[υ].

("2") Функционал f[υ], который связан с функционалом J[u] условием (1.1), будем называть альтернативным (двойственным) функционалом по отношению к функционалу J[u], а вариационную задачу на максимум функционала I[υ]— двойственной вариационной задачей по отношению к вариационной задаче на минимум J[u]. Отметим, что оценка приближенного решения разностью J[u] - I[υ] - имеет нижнюю границу, равную J[] - I[]. Поэтому при построении двойственной задачи желательно, чтобы эта граница была как можно меньшей. Лучше всего, когда она равняется нулю. Однако это условие лишь необходимое и имеет в основном теоретическое значение, так как в практических вычислениях эта граница не известна. Совпадение решений у двойственных задач еще не гарантирует хорошей оценки приближенного решения.

В прикладных задачах значение функционала обычно имеет определенный содержательный смысл и определяет некоторую усредненную характеристику исследуемого объекта или процесса. Поэтому двусторонняя оценка вида (1.2) дает возможность оценить, насколько точным является найденное приближенное значение указанной характеристики. Таким образом, весьма важно выяснить, при каких условиях для данной вариационной задачи, представляющей собой вариационную формулировку некоторого операторного уравнения, можно построить двойственную вариационную задачу.
Построение двойственной задачи — неоднозначный процесс, оно может приводить к различным вариантам в зависимости от выбранного способа построения. Наиболее распространенным подходом к построению двойственной задачи является следующий. Рассмотрим задачу на минимум функционала J[u], определенного на некотором множестве U=D(J). Предположим, что имеется такой функционал [u,υ], заданный на множестве UxV, что исходный функционал J[u] можно представить в виде

Тогда поставленную вариационную задачу можно интерпретировать как минимаксную:

(1.3)
При этом оказывается, что функционал

является альтернативным по отношению к функционалу J[u]. Эго вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1. Если функционал [u,υ] определен на множестве UxV, то

(1.4)
Неравенство (1.4) очевидно, если его правая часть равна +∞ (это соответствует случаю, когда при любом uU функционал [u,υ] не ограничен по υ). Поэтому будем считать, что минимакс в правой части неравенства равен некоторому числу М. Для любых uU и υV имеем

Значит, и точные нижние грани по u связаны таким же неравенством:

Отсюда следует, что функционал ограничен сверху числом , т. е. число М является верхней гранью функционала I[υ]. По этому, так как точная верхняя грань — это наименьшая верхняя грань. Последнее неравенство эквивалентно неравенству (1.4).
2. Построение альтернативного функционала.

До сих пор краевые условия, входящие в формулировку вариационной задачи, рассматривались как ограничения на область определения функционала. Однако иногда удобно трактовать вариационную задачу как задачу на условный экстремум которая в самом общем виде формулируется следующим образом.

Пусть в гильбертовом пространстве H задан функционал J[u] с областью определения D(J), а оператор [u] отображает D(J) в некоторое полное евклидово (гильбертово или конечномерное евклидово) пространство V. Требуется найти минимум функционала J[u] при условии [u] = 0 (0 в данном случае обозначает нулевой элемент евклидова пространства V). Другими словами, ищется минимум функционал J[u] на множестве {uD(J): [u]=0}. В случае гладкой задачи, т. е. если множество D(J) открыто, а функционал и оператор дифференцируемы, решение этой задачи можно искать с помощью метода множителей Лагранжа. Если — решение задачи, то при некоторых дополнительных предположениях существует такой элемент , что элемент является стационарной точкой функционала Лагранжа

. (2.1)

Оказывается, что функционал Лагранжа позволяет сформулировать задачу, двойственную к исходной. Действительно, вариационную задачу

(2.2)

поиска точки минимума функционала J[u] можно представить как минимаксную задачу

(2.3)

для функционала Лагранжа L[u,υ]. При этом, если , то . Значит, решение минимаксной задачи (2.3) не может достигаться на элементе , для которого . Но если , то L[u,υ]=J[u] и решение минимаксной задачи (2.3) совпадает с решением вариационной задачи.

("3") Функционал Лагранжа L[u,υ] (2.1) по отношению к функционалу J[u] иногда называют полным, а функционал J[u] по отношению к функционалу Лагранжа — частным. Если J[u] — выпуклый функционал, удовлетворяющий условию J[u]→+∞ при ║u║→+∞, то вможно изменить порядок точных верхней и нижней граней:

(2.4)

где

(2.5)

Отметим, что правая часть в формуле (2.5) может принимать значение −∞. Разумно ограничиться теми значениями υ, для которых I[υ] конечно. Это приводит к естественному сужению области определения функционала I[υ] до некоторого подмножества . Предположим, что функционал L[u,υ] при любом достигает минимума в единственной точке . Тогда, по существу, на множестве D(I) определено отображение
ψ, которое элементу υ ставит в соответствие элемент . С помощью этого отображения мы можем записать

т. е. при известном отображении ψ альтернативный функционал I[υ] легко восстанавливается. Однако отображение ψ далеко не всегда удается получить в явном виде. Чаще всего оно определяется некоторым уравнением, да и условие единственности точки минимума при фиксированном υ выполняется не всегда. Тем не менее, связь υ и uυ можно учесть в выражении для функционала Лагранжа и тем самым упростить задачу построения альтернативного функционала I[υ].

Если функционал J[u] является дифференцируемым, то уравнение для отображения ψ можно искать с помощью метода множителей Лагранжа:

Пример 1. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа

(2.6)

где g(x) — известная функция, заданная на поверхности S, ограничивающей область V.

В этом примере для краевой задачи построен функционал, который в данном случае сводится к функционалу Дирихле

(2.7)

с областью определения

Краевое условие u−g=0 на S можно трактовать как условие , причем отображение Ф переводит функцию в вектор-функцию (u−g)n на поверхности S (здесь n — вектор внешней нормали к поверхности). Таким образом, в качестве полного евклидова пространства V в данном случае можно взять гильбертово пространство вектор-функций на S с интегрируемым скалярным квадратом. С учетом этого полный функционал можно записать в виде

(2,8)

Найдем вариацию функционала L[u,υ]:

.

Отсюда, используя первую формулу Грина и полагая, что , получаем

("4")

Из условия стационарности полного функционала при произвольных вариациях δu в V и δυ на S следует, что ∆u=0 в V и u−g=0 на S, т. е, в стационарной точке полного функционала должны быть выполнены равенства (2.6). Но помимо этого получаем дополнительное условие связи между u и на S или

(2.9)

Условие (2.9) позволяет построить непрерывное продолжение вектор-функции υ(x), определенный на поверхности S, в область V согласно формуле . Учитывая это продолжение, находим по формуле Остроградского-Гаусса.

Используя это равенство, а также условие связи в представлении полного функционала (2.8) получаем

(2.10)

В данном случае видно, что точная нижняя грань по u конечна лишь при выполнении условия

(2.11)

С учетом этого условия из (2.10) получаем представление альтернативного функционала I[υ]:

(2.12)

Его областью определения D(I) является множество непрерывно дифференцируемых в области V функций, удовлетворяющих условию (2.11).

Пример 2. Построим функционал, альтернативный функционалу J[u].

Областью определения функционала J[u] является линейное многообразие C1 [a, b] в гильбертовом пространстве L2[a, b]. Его минимум ищется при краевом условии (второе условие учтено в самом виде функционала). Таким образом, в данном случае — причем оператор Ф переводит функцию u(x) в число , т. е. является функционалом. Значит, в качестве евклидова пространства V, следует взять одномерное арифметическое пространство R1 со скалярным произведением (x, y)=xy. Используя условие связи, можем записать

(2.13)

Найдем первую вариацию функционала (2.13) при произвольных вариациях

Отсюда, интегрируя по частям, находим

Из необходимого условия экстремума , которое должно выполняться при произвольных вариациях δu(x) и δυ, следует, что в стационарной точке полного функционала верны все равенства. Но помимо этого имеет место равенство . Рассмотрим функцию,
которую можно интерпретировать как продолжение значения υ=υ(a) на отрезок [a, b]. Согласно правилу интегрирования по частям,

("5") Используя эти тождества, а также равенство , из (2.13) получаем

(2.14)

Точная нижняя грань полного функционала (2.14) конечна, если выполняются условия

(2.15)

В этом случае функционал L[u,υ] можно записать в виде

(2.16)

а альтернативный функционал J[υ] — в виде

3. Оценка погрешности приближенного решения.

Пусть — минимизирующая последовательность квадратного функционала

(3.1)

соответствующего краевой задаче для операторного уравнения Au=ƒ с положительно определенным оператором А. Различие между приближенным решением и обобщенным решением операторного уравнения, на котором этот функционал достигает своего наименьшего значения
можно оценить по разности значений функционала на этих решениях:

(3.2)

Если обобщенное решение принадлежит области определения оператора A, т. е. является классическим решением, то мерой погрешности приближенного решения может служить норма его невязки. Так как для классического решения , то, полагая согласно теореме и неравенства Коши — Буняковского, можно написать

(3.3)
где λ — наименьшее собственное значение оператора А. Отсюда

(3.4)

т. е. норму разности между приближенным и обобщенным решениями на самом деле можно оценить с помощью нормы невязки. В гильбертовом пространстве L2(Ω) неравенство (3.4) принимает вид

(3.5)

т. е. речь идет об оценке среднеквадратичной погрешности приближенного решения в области. Отметим, что для гарантированной оценки сверху этой погрешности необходимо использовать оценку наименьшего собственного значения снизу. Отметим, что при построении минимизирующей последовательности для функционала Js[u] с помощью метода Ритца условие выполняется лишь тогда, когда все функции um в представлении являются собственными элементами оператора А. В противном случае оценка (3.5) может оказаться слишком грубой. Применение методов наименьших квадратов или Куранта для построения минимизирующей последовательности обеспечивает в случае произвольного счетного базиса в энергетическом пространстве HA, составленного из функций , что делает оценку (3.5) более точной.

В более общем случае погрешность приближенного решения, построенного с использованием счетного базиса, включающего функции um, не только из D(A), приходится оценивать по значению разности (3.2). Так как в энергетическом пространстве HA для положительно определенного оператора (Au, u)=║u║A, то вместо (3.3) при запишем

("6")

Отсюда получаем

(3.6)

Это верно, в частности, и для пространства H=L2(Ω).

Точно определить минимальное значение d квадратичного функционала удается редко. Однако если построена неубывающая последовательность {dm}, сходящаяся к d, то и вместо (3.6) можно использовать более грубую оценку

(3.7)

Как и в случае (3.5), из (3.7) следует, что для количественной оценки погрешности необходимо располагать оценкой снизу значения λ.

Строить последовательность {dm} можно различными способами. Один из способов состоит в построении функционала I[υ], двойственного функционалу Js[u] и достигающего на некотором элементе своего наибольшего значения . Тогда можно построить последовательность {dm} приближенных решений dm вариационной задачи для функционала I[υ], которая сходится к d снизу, не убывая.

Пример 3. В примере 1 построен функционал

(3.8)

двойственный функционалу Дирихле

(3.9)

Оператор A=−∆ в краевой задаче (2.6) не является симметрическим. Тем не менее, в этом случае для оценки погрешности приближенного решения краевой задачи (2.6) можно применить оценку, аналогичную (3.6). Действительно, используя первую формулу Грина и полагая , преобразуем разность:

поскольку .

Пусть оператор есть оператор −∆, рассматриваемый на множестве функций , удовлетворяющих краевому условию u≡0 на S. Тогда этот оператор будет симметрическим и

,

где — наименьшее собственное значение симметрического оператора . Отсюда получаем

.

("7") Если {dm} строить как минимизирующую последовательность функционала — I[υ], обратного по знаку функционалу (3.8), то для гарантированной оценки погрешности приближенного решения краевой задачи (2.6) можно использовать оценку

которая аналогична оценке (3.7).

Заключение.

Вариационное исчисление, математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Вариационное исчисление, является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие вариационное исчисление, тесно связано с задачами механики, физики и т. д.
Список литературы.

, , “Вариацинное исчисление и оптимальное управление”: Учеб. для вузов; Под ред. , . – М.: Издательство МГТУ им. , 1999. – 420 с. , “Вариационное исчисление” - Инфра-М, Москва, 2002 г. -400с. , , Кувыркин исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2—е изд; Под ред. , . - М.: Издательство МГТУ им. , 2001. — 488 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XV). , , Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. — Л., 1950 – 499с.

preview_end()