, учитель математики
средней школы с. Дегтярное Вейделевского района
Личностно – ориентированный урок по теме: «Квадратное уравнение с комплексным неизвестным»
Цели: 1) показать учащимся необходимость изучения комплексных чисел;
2) закрепить ранее приобретенные знания, умения и навыки по изучаемой теме;
3) научить решать квадратные уравнения с комплексным неизвестным;
4) способствовать формированию умения учащихся успешно действовать в ситуации выбора.
Оформление и оборудование: портреты математиков, таблицы с уравнениями, двойные листки с копировальной бумагой для каждого ученика.
Ход урока
Ознакомление учеников с главной целью урока.
Учитель. Сегодня мы продолжим изучение важной темы «Квадратные уравнения», а именно расширим знания в решении квадратных уравнений, которые не имели решений на множестве действительных чисел.
1. Актуализация первичного субъектного опыта учащихся
Учитель. Начнем с повторения ранее изученного. Вспомните и назовите ранее изученные понятия и термины при прохождении данной темы.
Ученики записывают изученные формулы, условия когда квадратные уравнения имеют корни и не имеют.
Учитель предлагает записать уравнение x² + 1 =0 и решить его.
Вывод: данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Мотивирование необходимости изучения комплексных чисел.
Учитель. Чтобы любое квадратное уравнение имело корни, приходится расширить множество действительных чисел. Добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.
Если комплексные числа введены, то уравнение х²+1=0 должно иметь корень. Этот корень обозначают буквой i и называют мнимой единицей.
Таким образом, i – это такое комплексное число, что i² = -1.
Всегда интересно знать имя ученого, который ввел новое понятие, либо доказал теорему, либо придумал новый символ.
И сейчас мы послушаем сообщение о происхождении комплексных чисел, кто их впервые ввел и как с ними «работали» раньше. (Приложение )
3. Проблемные ситуации выбора в процессе изучения нового материала.
Учитель. Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z² = a, где а – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
2) имеет два действительных корня z 1,2 = ±√а, если а>0;
3) не имеет действительных корней, если а<0.
На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.
Задача1. (решает учитель, решение остается на доске)
Найти комплексные корни уравнения z² = -1.
Так как i² = -1, то это уравнение можно записать в виде z² = i², или z² i² = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z – i)(z + i) =0,
z1 = i, z2 = - i.
Ответ. z1,2 = ±i.
Задача 2. Найти комплексные корни уравнения z²=a, если:
1) а = -7; 2) а = -25; 3) а = -3.
Учащимся предлагается в течении трех минут решить уравнения.
Они могут избрать один из вариантов выполнения работы:
1 вариант – полностью самостоятельно;
2 вариант – по аналогии с решением записанным на доске;
3 вариант – с использованием учебника.
После выполнения самостоятельной работы необходимо осуществить проверку. Записать ответы на доске и предложить учащимся самостоятельно сделать вывод.
Учитель. Вывод. Вообще уравнение z² = a, где а<0, имеет два комплексных корня:
z1,2 = ±√|a| i.
4. Фронтальная работа с классом. Актуализация закрепляемого опыта.
Учитель. Используя равенство i² =-1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: √-1= i, √-4 = i√4 = 2i,
√-7 = i√7. Итак, √a определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля).
Поэтому любое квадратное уравнение
аz² + вz + с= 0,
где а, в, с – действительные числа, а≠0, имеет корни. Эти корни находятся по известной вам формуле нахождения корней квадратного уравнения. (Ученики называют формулу)
Учитель. По желанию предлагает решить уравнение
z² - 4z + 13 = 0.
Решение уравнения записывается на доске.
Учитель. Обратить внимание на полученные корни.
Какими они являются, какими свойствами они обладают?
Кто сможет записать это свойство на доске?
Ученики после обсуждения, делают вывод и отвечают на вопросы учителя.
Вывод: 1. Они являются сопряженными: z1 = 2+3i и z2 = 2 - 3i.
2. Произведение сопряженных чисел является действительным числом: (а+bi)(a-bi)=a²+b².
Творческое задание на дом: Найти сумму и произведение этих корней, обратить внимание на результат, сделать вывод.
(задание выполняют учащиеся по желанию)
5. Самостоятельная работа по карточкам с самопроверкой и самооценкой
Каждый ученик получает сдвоенную карточку с копировкой. Один листок сдается на проверку. А другой используется для самопроверки и самооценки.
Правильное решение и ответы показываются с закрытой части доски или с помощью кодоскопа.
Задание: решить уравнение.
Вариант –1. Вариант –2 Вариант –3.
1) z² = -81; z² = -10; z² + 0,01 = 0;
2) 9z² + 125 = 0; z² + 6z + 13 = 0; z² + 4z + 13 = 0.
6. Подведение итогов
Ученики на основе выполненных упражнений формулируют правила решения квадратных уравнений с комплексным неизвестным.
После обсуждения делают выводы о значимости изученной темы.
7. Домашнее задание
Учащимся по желанию предлагается выполнить задания №; или №
Творческое задание по желанию учащихся.
Список используемой литературы:
1. Алгебра: Учеб. для 8-го кл. сред. шк. Под ред. и др. М.:Просвещение,1994.
2. , дидактические материалы по алгебре. 8-й кл. М., 1991.
3. Журнал математика в школе №2. 1990г.
