Задание средняя группа (7-8)

Задание средняя группа (7-8)

1.  Восстановить запись: СИ*СИ=СОЛЬ

2.  Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое - четное. Докажите что произведение их кратно 24.

3.  109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по x яблок, в других – по 3 яблока. Найдите все возможные значения x, если всего пакетов – 20.

4.  Каких натуральных чисел, меньших 200,000, больше: тех, которые делятся на 8 и не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?

5.  В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?

6.  Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?

7.  Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом.

8.  Докажите, что квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 дает в остатке 1.

9.  Найти остаток от деления 230 на 13.

10.  Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

11.  Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

12.  Найти все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13

13.  Шестизначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру перенести в начало числа, то оно увеличится в пять раз. Что это за число?

14.  В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая. Какой ящик остался в магазине?

15.  Укажите все способы уплаты 4800 р., используя банкноты в 200 р. и 500 р. Возможно ли уплатить эту сумму банкнотами в 500 р. и 1000 р?

16.  Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

17.  Доказать, что число 1111+1212+1313 делится на 10.

18.  Если от некоторого трехзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9. Определите это число.

19.  После урока Олег поспорил с Сашей, уверяя, что он знает такое натуральное число m, что число    нецелое. Прав ли Олег? И если прав, то что это за число?

20.  Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

21.  Можно ли в вершинах и на серединах сторон правильного восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах любой стороны равнялась числу в его середине? Каждое из чисел можно использовать ровно 1 раз.

22.  Камни лежат в трёх кучках: в одной - 51 камень, в другой - 49 камней, а в третьей - 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

23.  Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо на 37 шагов влево, либо на 47 шагов вправо. За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?

24.  Катя плавает в бассейне. Она решила проплыть вдоль бассейна туда и обратно n раз. Каждый раз, вернувшись на старт, она считает, какую долю тренировки уже завершила (эта доля равна k/n, где k — число кругов, которые она уже проплыла). Катя заметила, что если k — составное число, то эта дробь сократима (она может сокращаться и при простом k, но не обязательно). Какое наибольшее число n может иметь это свойство?

25.  Расставьте в таблицу 4×4 натуральные числа так, чтобы были выполнены следующие условия:
 1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
 2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
 3) среди чисел нет равных;
 4) каждое из чисел не превосходит 100.

26.  Найдите все такие пары простых чисел p и q , что p3-q5=(p+q)2 .

27.  Доказать, что уравнение 15x2 - 7y2=9 не имеет решений в целых числах.

28.  Решить в целых числах уравнение xy + 3x - 5y = - 3

29.  Решить уравнение в целых числах: х2 + 23 = у2

30.  Решите в целых числах уравнение х– х = 2008.