§ 5. Гипотеза и её доказательство
В математике о фактах
сначала догадываются,
а затем их доказывают
В предыдущих задачах проверялась кем-то высказанная гипотеза, которая всегда оказывалась верной. Но во многих задачах труднее всего высказать эту правильную гипотезу. Построить гипотезу, т. е. просто нужно постараться угадать ответ. Для этого придают n последовательно значения 1, 2, 3, … до тех пор, пока у не накопится достаточно материала. Теперь все зависит от наблюдательности человека решающего поставленную задачу и от его способности по частным результатам угадать общий результат, то есть, построить более или менее надежную гипотезу. После этого останется только проверить эту гипотезу методом математической индукции. А метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.
Пример 5.1. Пусть 
. Допустим, что, изучая 
, мы высказали гипотезу 
, т. е.
.
(5.1)
Проверим эту гипотезу. Теорема 1. При n = 1 имеем:
Левая часть (5.1): 
; Правая часть (5.1): 
.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что формула (5.1) верна при n = k. Проверим, будет ли она верна при n = k + 1.
Предположим, что формула (5.1) верна при n = k + 1. Тогда имеем:
 |
k3 + 4 k2 + 8 k + 3 k2 + 3 k + 2
k3 + 3 k2 + 2 k k + 1
k2 + 6 k + 3
k2 + 3 k + 2
3 k + 1
,
то есть результат получился иной (получили противоречие). Это противоречие показывает, что формула (5.1) не верна.
Попытаемся высказать верную гипотезу. Для этого вычислим несколько ,
n = 1,2,3…., и попробуем заметить некоторую закономерность:
;
;
;
Внимательно рассматривая эти равенства можно высказать гипотезу, что равенство 
выполняется для любого натурального n. Методом математической индукции проверим эту гипотезу, т. е. проверим справедливость
равенства 
. (5.1.1)
Теорема 1. При n = 1 имеем, что левая часть равенства (5.1.1): 
;
правая часть равенства (5.1.1): 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что формула (5.1.1) верна при n = k. Тогда она верна при
n = k + 1.
Действительно:
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.1.1) верно для любого натурального n.
Пример 5.2. Найти сумму
.
Найдем несколько значений 
при n = 1, 2, 3:
; 
; 
. 
Выскажем такую гипотезу. Для 
верно равенство
. (5.2)
Проверим эту гипотезу методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 1 левая и правая части равенства (5.2) равны:
,.
Теорема 2. Дано. При n = k: 
. Нужно доказать: 
.
Доказательство. 
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.2) верно для любого натурального n.
Пример 5.3. Вывести формулу для нахождения суммы
.
Решение. Распишем каждую дробь в данной сумме на разность следующим образом
.
Остаётся методом математической индукции доказать равенство
Пример 5.4.
1. Вычислить сумму первых n нечетных чисел: 
.
2. Вычислить сумму первых n членов числовой последовательности 
. То есть найти: 
.
Решение 1. Обозначим искомую сумму через , т. е. 
.
Придаем n последовательно значения 1, 2, 3, 4. 5, 6:
S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9, S4 = 16, S5 = 25, S6 = 36.
В данном случае легко заметить, что
S1 = 1², S2 = 2², S3 = 3², S4 = 4², S5 = 5², S6 = 6².
На основе этого выскажем гипотезу:
, для любого n Î N. (5.4.1)
Проверим эту гипотезу методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 1 имеем: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что равенство (5.4.1) выполняется при n = k. Тогда оно выполняется при n = k +1.
Действительно:
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.4.1) выполняется при любом натуральном n.
Решение 2. Найдём сумму 
при n = 1, 2, 3, 4:
;
;
;
.
Выскажем следующую гипотезу:
.
Так как 
, то
. (5.4.2)
Методом математической индукции докажем равенство (5.4.2).
Теорема 1. При n = 1 имеем, что левая часть равенства (5.4.2): ;
правая часть равенства (5.4.2): 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что равенство (5.4.2) выполняется при n = k. Тогда оно выполняется при n = k + 1.
Действительно:
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.4.2) выполняется при любом натуральном n.
Пример 5.5. Найти сумму 
.
Решение. Найдем сумму при n = 1, 2, 3:
;
;
.
Выскажем следующую гипотезу:
. (5.5)
Методом математической индукции докажем эту формулу.
Теорема 1 доказана выше при вычислении 
.
Теорема 2. Дано, что равенство (5.5) выполняется при n = k. Докажем, что это равенство выполняется при n = k+1: 
.
Доказательство. 
.
Здесь 
.
. Последнее равенство следует из:
 |
2 k 3 + 6 k 2 + 5 k + 2 2 k 2 + 2 k + 1
2 k 3 + 2 k 2 + k k + 2
4 k 2 + 4 k + 2
4 k 2 + 4 k + 2
0
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.5) верно для любого натурального n.
Пример 5.6. При каких натуральных n выполняются неравенства:
; (5.6.1)
; (5.6.2)
. (5.6.3)
Проверим выполнение неравенства (5.6.1) при следующих значениях n:
при n = 1: 
; при n = 2: 
;
при n = 3: 
; при n = 4: 
;
при n = 5: 
.
Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6.1) выполняется при n = 1. Но это неравенство не выполняется при n = 2, 3, 4. Однако оно снова выполняется при
n = 5.
Предположим, что неравенство (5.6.1) выполняется при любом 
. Докажем это предположение методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 5 имеем: 
. Терема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: 
.
Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: 
.
Доказательство. 
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.1) верно для любого натурального 
.
Проверим выполнение неравенства (5.6.2) при следующих значениях n:
при n = 1: 
; при n = 2: 
;
при n = 3: 
; при n = 4: 
.
при n = 5: 
.
Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6) выполняется при n = 1 и при n = 2. Но это неравенство не выполняется при n = 3. Однако оно снова выполняется при n = 4, 5.
Предположим, что неравенство (5.6.1) выполняется при любом 
. Докажем это предположение методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 4 имеем: . Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: 
.
Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: 
.
Доказательство. 
.
Неравенство “ > 0 ” следует из того, что
при 
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.2) верно для любого натурального .
Проверим выполнение неравенства (5.6.3) при следующих значениях n:
при n = 1: 
; при n = 2: 
;
при n = 3:
; при n = 4: 
;
при n = 5: 
.
Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6.3) не выполняется при n = 1, 2, 3, 4. Но оно выполняется при n = 5.
Предположим, что неравенство (5.6.3) выполняется при любом . Докажем это предположение методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 5 имеем: . Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: 
.
Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: 
.
Доказательство. 
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.3) верно для любого натурального .
Пример 7. Выразить произведение 
через 
.
Установим гипотезу. При n = 1: 
; при n = 2:
. (5.7.0)
Сопоставляя два полученных результата, выскажем гипотезу:
. (5.7)
Теорема 1. Доказательство этого равенства при n=1 следует из равенства (5.7.0).
Теорема 2. Предположим, что выдвинутая гипотеза справедлива при n = k:
. Докажем, что это равенство выполняется при n = k+1.
Доказательство. 
. Теорема 1 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.3) верно для любого натурального n.
Литература. Содержание
