Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

 Теорема 19.1   Собственными числами матрицы $ A$являются корни уравнения

$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$

и только они.

 Доказательство.  Пусть столбец $ {\alpha}$ -- собственный вектор матрицы $ A$с собственным числом $ {\lambda}$. Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$. Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$. Так как для единичной матрицы $ E$выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$, то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$. По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$и предыдущее равенство принимает вид

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$

(19.4)

Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$. Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$. Из равенства (19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$.

Пусть $ {\lambda}$ -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$. Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg} (A-{\lambda}E)=r<n}$, $ n$ -- порядок матрицы $ A$. Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$, являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$. По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$, что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$.  

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$является многочленом степени $ n$от переменного $ {\lambda}$, так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

 Определение 19.5   Матрица $ {A-{\lambda}E}$называется характеристической матрицей матрицы $ A$, многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$называется характеристическим многочленом матрицы $ A$, уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$называется характеристическим уравнением матрицы $ A$.  

 Пример 19.10   Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Решение. Составляем характеристическую матрицу $ {A-{\lambda}E}$:

$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$

Находим характеристический многочлен

\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}

Решим характеристическое уравнение

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$

Подбором находим, что один корень уравнения равен $ -1$. Есть теорема, которая говорит, что если число $ c$является корнем многочлена $ {P(x)}$, то многочлен $ {P(x)}$делится на разность $ {x-c}$, то есть $ {P(x)=(x-c)Q(x)}$, где $ {Q(x)}$ -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен $ {-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$должен делиться на $ {{\lambda}-(-1)}$. Выделим в характеристическом многочлене этот множитель $ {{\lambda}+1}$:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}

Находим корни трехчлена $ {-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$. Они равны $ -1$и 3. Таким образом,

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$

$ {{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, $ {{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы $ A$равны $ {{\lambda}_1=-1}$, $ {{\lambda}_2=3}$. Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть $ {{\lambda}=-1}$, тогда для собственного вектора $ {\alpha}$получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$

Первую строку, умноженную на числа $ -2$и $ -3$прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$

Меняем местами вторую и третью строки

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы $ A_2^*$находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные $ {\alpha}_1$и $ {\alpha}_2$оставляем в левой части, а переменное $ {\alpha}_3$переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$

Полагаем $ {{\alpha}_3=1}$, находим $ {{\alpha}_2=2}$, $ {{\alpha}_1=1}$. Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$соответствует собственный вектор $.

Пусть $ {{\lambda}=3}$, тогда для собственного вектора $ {\beta}$получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножаем на $ -1$и прибавляем к третьей

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы $ A_2^*$находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные $ {\beta}_1$и $ {\beta}_2$оставляем в левой части, а переменное $ {\beta}_3$переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$

Полагаем $ {{\beta}_3=1}$, находим $ {{\beta}_2=1}$, $ {{\beta}_1=0.5}$. Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$соответствует собственный вектор $. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу $ {{\lambda}_2=3}$соответствует собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$.

Ответ: Собственные числа: $ {{\lambda}_1=-1}$, $ {{\lambda}_2=3}$, соответствующие собственные векторы: $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$, $.