Контрольная (курсовая) работа

В качестве методического материала к курсовой работе приводится примерный образец выполнения близкой по теме курсовой работы, содержащий необходимые для настоящей работы сведения.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ ПО АВИАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ

АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ

КОНТРОЛЬНАЯ (КУРСОВАЯ) РАБОТА

ТЕМА Математическое моделирование нелинейных циклических процессов в системе с двумя конкурирующими подсистемами

по специальности:

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

Студента _____ курса

заочного отделения

Группы ___________

__________________________________

Шифр студенческого: _______

Адрес:

__________________

__________________

__________________

Минск –2002 г.

Содержание

1.  Введение.

2.  Математическая модель процесса.

3.  Расчетная часть.

4.  Выводы

1.  Введение.

Математика, в сущности, занимается построением и изучением различных математическим моделей, которые на специфическом для математики абстрактном языке, отражают те или иные стороны окружающего нас мира.

Базовыми для математики являются понятия множества (совокупности элементов), эквивалентности (равенства), упорядоченности (порядка), отображения (функции).

Важнейшими, но не единственными среди множеств являются числовые (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа).

Спецификой математики является ее строго аксиоматическое построение. Это означает, что в основе любого ее раздела (математического модели) лежит набор аксиом, т. е. положений, которые принимаются на веру без доказательства. Эти положения, с одной стороны, не должны быть противоречивыми, с другой стороны, ни одно из них не должно быть следствием других.

Если математическая модель достаточно полна и содержательна, то она позволяет логическим путем, основываясь только на аксиомах и не привлекая дополнительные утверждения, получать множество следствий. Эти следствия могут иметь статус лемм(вспомогательных утверждений), приложений (конкретный расчет в применении к той или иной практической задаче), служить базой для построения более сложных математических моделей и т. д.

Среди приложений важное место занимают модели процессов, которые происходят в реальных системах различной степени сложности. Модель определена, если на соответствующем математическом языке перечислены характеристики системы, отмечены те из них, которые не меняются во времени и считаются заданными (параметры), и те, которые зависят от времени и либо заданы (внешние воздействия), либо подлежат определению (переменные), а также заданы связывающие их соотношения, позволяющие прогнозировать их поведение во времени.

Если наблюдения над системой происходят в определенные фиксированные моменты времени, задаваемые характером процесса или выбираемые произвольно, то мы имеем дело с дискретным временем. Одна из таких моделей, которая соответствует циклическим процессам в системе с двумя конкурирующими подсистемами, рассматривается в настоящей курсовой работе.

2.  Математическая модель процесса.

Развитие бизнеса с капиталом и паразитирующем на нем рэкета с капиталом (численностью) носит циклический характер и происходит в соответствии с моделью:

где >0 и >0 – коэффициенты, характеризующие конкурирующие процессы роста и убыли (за счет рэкета) капитала бизнеса;

>0 и >0 – коэффициенты, характеризующие естественную убыль и рост (за счет капитала бизнеса) капитала рэкета;

- критическое значение капитала бизнеса, при котором эффективная скорость его роста (при отсутствии рэкета) обращается в 0.

n – номер цикла,

- начальные значения капиталов бизнеса и рэкета.

Для дальнейшего анализа удобно перейти к относительным величинам, положив:

уменьшив таким образом число существенных параметров модели с 5-ти до 3-х. Тогда вместо (1-3) получим:

(правые части (5) и (6) для удобства в дальнейшем обозначены как и ).

Модель позволяет, задавая начальные значения и (7), в соответствии с рекуррентными соотношениями (5),(6) вычислить значения для цикла с любым номером . Отметим, что модель нелинейная, так как правые части (5) и (6) представляют собой многочлены второй степени относительно переменных и .

Множество точек с координатами на плоскости , называется фазовой траекторией или фазовым портретом (при ) процесса.

Особые точки фазовой траектории определяются условиями:

(8)

откуда, с учетом (5),(6), получаем систему уравнений для их определения:

(9)

или

(10)

Возможны случаи:

1-ая особая точка (11)

2-ая особая точка (12)

противоречит условию >0;

3-ая особая точка (13)

В дальнейшем, для сокращения записей, наряду с обычными удобно использовать матричные обозначения:

; ;

(14)

Особая точка фазовой траектории называется устойчивой, если получив достаточно малое отклонение от этой точки система с течением времени рано или поздно возвращается в состояние, соответствующее этой особой точке.

Если для данной особой точке ввести матрицу А:

(15)

Где по определению:

то условие устойчивости может быть записано в виде:

(17)

где и - норма характеризующего уравнения:

Еслиособая точка, находящаяся на границе области допустимых значений и , то неравенство (17) определяют только достаточные условия устойчивости, и для уточнения статуса особой точки (устойчивая или неустойчивая) требуются дополнительные исследования.

В нашем случае:

(ни капитал бизнеса ни капитал рэкета не может быть отрицательным), поэтому особые точки и являются граничными. Для точки условия устойчивости имеют вид:

(20)

(Проведены вычисления в соответствии с (15),(16), (18))

Для точки условия устойчивости имеют вид:

.

Неравенство противоречит условию , поэтому точка является неустойчивой при любых допустимых значениях параметров .

Наиболее интересна особая точка

Последовательные вычисления и анализ с использованием соотношений (16), (15), (18) и (17) приводит к условиям устойчивости этой точки в виде:

или, если ввести обозначения:

(21)

(22)

Неравенства (22) определяют в плоскости обобщенных параметров (ось абсцисс) и (ось ординат) некоторую двумерную область допустимых значений и ,а следовательно и значений (в соответствии с(21)), при которых особая точка является устойчивой.

Область изображена на рис. 1.

3.  Расчетная часть.

В задании к курсовой работе требуется рассчитать зависимости построить их график и фазовую диаграмму (фазовую траекторию при ), если заданы коэффициенты , при следующих начальных значениях и :

Дано:

Найдем первую особую точку (11):

Вычислим значения обобщенных параметров и (21):

т. к то точка (0,5;1,1) плоскости обобщенных параметров не принадлежит области устойчивости (см. (22) и рис.1). Следовательно, первая особая точка при заданных в задании параметров неустойчивы.

Устойчивость второй точки (12) в соответствии с (20) определяется условиями:

и для нашего случая эта особая точка устойчива.

Начальные значения для 3-х случаев 1),2),3):

Расчеты проводились с использованием ПЭВМ Р/100 и электронных таблиц Exell. Т. к. время вычислений даже при не превышало 10 секунд, то численные эксперименты, для получения более достоверных выводов, проводились, при необходимости, вплоть до .

Результаты расчетов при для случаев 1),2),3) представлены в таблицах 1,2,3 и приведены на рис.2,3,4, фазовая диаграмма процесса при

: - на рис.5