Сценарий фильма «Поверхности»

Сценарий фильма « Поверхности»

Эпизод 1 «Основные понятия и определения»

В начертательной геометрии принято определять поверхности кинематическими методами: поверхности определяются как след движущейся в пространстве линии. Следует отметить, что далеко не все поверхности могут быть определены (заданы) таким способом, поэтому нашли применение и другие методы. Например, для задач компьютерной графики, при определении поверхностей используются методы полигональной и сплайновой аппроксимации, а также рекуррентные соотношения для построения участков фрактальных поверхностей. Однако, перечисленные методы в большинстве случаев не могут быть сведены к совокупности чисто графических построений, поэтому в рамках начертательной геометрии получили весьма ограниченное применение. Так, например, метод полигональной аппроксимации поверхностей, т. е. задание поверхности в виде каркасно-реберной модели, используется при представлении поверхностей строительных конструкций и сооружений на чертежах в виде точечного каркаса и набора связей в виде стержней или балок, соединяющего узлы этого каркаса. При создании изделий машиностроения в кораблестроении, авиации, автомобильной промышленности формы изделий задаются линейчатым каркасом, полученным на основе сплайновых кривых. Если на комплексном чертеже будут заданы проекции точек и ребер каркаса, или проекции кривых линейчатого каркаса, то соответствующие поверхности считаются определенными. В качестве каркаса поверхности, например на чертежах с числовыми отметками, часто задают линии уровня поверхности и перпендикулярные к ним линии наибольшего ската поверхности.

Поверхность на чертеже считается заданной, если возможно определить и построить любую из принадлежащих этой поверхности точек. Для этой цели во многих случаях возможно указать несколько основных линий и привести закон образования поверхности. Если возможен кинематический способ определения поверхности, то в качестве таких линий определяют образующие и направляющие данной поверхности. Так, например, если в качестве направляющих взять винтовую линию (гелису) и её ось, а в качестве образующей отрезок, концы которого принадлежат направляющим, то, перемещая концы отрезка по направляющим, т. е. вращая его можно образовать поверхность. Такая поверхность носит название геликоид вращения: в зависимости от того, перпендикулярен ли отрезок оси вращения либо наклонен к ней под некоторым углом получается прямой геликоид или косой геликоид. Для ряда простых поверхностей образующие, направляющие а также закон образования поверхности можно однозначно определить по проекциям контурных линий и очеркам поверхностей на комплексном чертеже. Контурными линиями поверхности называются линии, проходящие через точки касания к поверхности проецирующих на заданную плоскость проекций прямых. Они, как правило, задают очерк поверхности на комплексном чертеже, однако очертания поверхности на заданной плоскости проекций помимо контурных линий могут задавать проекции линий ограничения поверхностей. С другой стороны, может оказаться, что контурная линия или её участок для какой-либо плоскости проекций не образует очерка и является невидимой на данной проекции поверхности.

Существует достаточно подробная и разветвленная классификация поверхностей за основу которой принимается, прежде всего, способ образования поверхностей. Из множества классов поверхностей наибольший интерес представляют два класса: поверхности вращения и линейчатые поверхности – поверхности этих классов получили широкое распространение в различных технических приложениях. Некоторые из поверхностей, например рассмотренная ранее поверхность геликоида вращения, поверхность прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра по своим свойствам и закону образования можно отнести одновременно к каждому из указанных классов. В качестве простейшей линейчатой поверхности рассматривается плоскость, закон образования которой можно задать как движение прямой линии в пространстве по параллельным или пересекающимся образующим.

Важной характеристикой для поверхности является её порядок, который, в начертательной геометрии определяется как наибольшее число точек пересечения с поверхностью произвольно расположенной в пространстве прямой. Это определение не следует использовать в качестве конструктивного метода определения порядка поверхности, особенно для ограниченных участков поверхностей, например тора. В частности, поверхность закрытого тора образуется при вращении окружности относительно оси, пересекающейся с окружностью, т. е. её хорды. При таком вращении полученная поверхность имеет внутреннюю и внешнюю полость и произвольно выбранная прямая может пересечь такую поверхность в 4-х точках. Если взять только один из участков этой поверхности, например внутреннюю полость, то любая прямая может пересечь такой участок только в двух точках, однако вне зависимости от выделенного участка или расположения линий ограничения поверхности поверхность тора есть поверхность четвертого порядка.

При образовании поверхности вращения каждая точка образующей линии описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности называются параллелями поверхности вращения, параллель самого большого радиуса принято называть экватор, а параллель самого маленького отличного от нуля радиуса – горло. Все поверхности вращения симметричны относительно оси вращения: любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью симметрии поверхности вращения. В каждой плоскости. проходящей через ось вращения поверхности находится по крайней мере 2 линии, являющимися образующими поверхности – меридианы поверхности вращения ; если ось вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, то одна из таких плоскостей также параллельна плоскости проекций и образующие являются контурными линиями этой поверхности. С другой стороны, если ось вращения перпендикулярна плоскости проекций, то контурными линиями, определяющими очерк поверхности на плоскости проекций являются экватор и горло поверхности.

Эпизод 2. Построение точки принадлежащей поверхности.

В общем случае, для того, чтобы построить точку на поверхности необходимо построить линию, принадлежащую этой поверхности и по принадлежности к проекциям этой линии найти проекции точки. Для линейчатых поверхностей в качестве такой линии берут прямую, которая является одной из образующих поверхности. ( Пример конической поверхности: задана точка и произвольная кривая, определяющая на двух проекциях коническую поверхность. Если на одной из проекций дана проекция точки, принадлежащей поверхности, то другую проекцию этой точки можно найти, построив образующую на заданной проекции а затем по принадлежности к этой образующей.) Для любой из поверхностей вращения универсальным методом является построение параллели, на которой находится точка. Следует отметить, что, в общем случае, каждой заданной проекции точки соответствует несколько точек на поверхности – число таких точек не превышает значение порядка поверхности.

После того, как будут построены проекции точек, принадлежащих поверхности необходимо определить и обозначить условную видимость этих точек на соответствующих проекциях. Как известно, видимая точка на проекции обозначается светлым кружочком, а невидимая зачерненным кружочком, кроме того, при обозначении конкурирующих по видимости точек видимая всегда указывается первой. При определении видимости точек их координаты на соответствующих проекциях необходимо сравнивать с координатами контурных линий поверхностей, которые и определяют видимость. Все точки, принадлежащие поверхности, имеющие соответствующую координату, большую чем координаты плоскости уровня, в которой находятся точки контурной линии, считаются видимыми, а точки, имеющую координаты меньших значений – невидимыми.

Эпизод 3. Поверхности вращения.

Поверхности вращения нашли широкое применение в различных технических приложениях. Объяснением этого может служить известный факт, что для всех видов поверхностей вращения при их образовании в качестве образующих либо направляющих используются так называемые самосопрягаемые линии: прямые, окружности и винтовые линии. Важнейшим свойством самосопрягаемых линий является возможность неограниченного продвижения любого отрезка этой линии вдоль её самой. В технических устройствах применяются механизмы, поверхности которых перемещаются по самосопрягаемым кривым – фрикционные и ременные передачи, кривошипно-шатунные механизмы, колесные пары («не оставляет на рельсах следа, колесо паровоза» (И. Бродский ) Неплохо бы найти видеофрагмент движения паровоза с кривошипно-шатунным механизмом). Рассмотрим, прежде всего, класс простейших поверхностей вращения - поверхностей второго порядка, в состав которого входят сфера, прямой круговой конус, прямой круговой цилиндр, эллипсоид вращения, параболоиды и гиперболоиды вращения.

Сфера – поверхность, образованная вращением окружности относительно своего диаметра. Поскольку каждая прямая, проходящая через центр сферы, является диаметром этой сферы, сфера имеет неограниченно большое число осей вращения. Сфера – замкнутая ограниченная в пространстве поверхность. Очерк поверхности сферы на любую из плоскостей проекций определяется контурной линией поверхности, которая всегда будет окружностью с диаметром, равным диаметру большого круга сферы. Сфера однозначно определена на чертеже проекциями своих контуров. Примечательной особенностью сферы является удаленность на одинаковое расстояние всех точек поверхности от одной точки, которая есть центр сферы – это расстояние равно радиусу сферы. Точка на поверхности сферы определяется по принадлежности какой - либо параллели сферы, при этом параллель можно построить, считая ось сферы проецирующей прямой на любой из проекций.

Прямой круговой конус – поверхность, образованная вращением прямой, относительно пересекающейся с ней оси. Поверхность прямого кругового конуса имеет две полости, причем каждая из полостей не ограничена в пространстве. На комплексном чертеже обычно рассматривают часть поверхности, ограниченной точкой пересечения образующих – вершиной конуса и произвольно выбранной параллелью – основанием конуса. Как правило, поверхность конуса на комплексном чертеже располагают таким образом, чтобы ось вращения была проецирующей прямой. При этом линия ограничения поверхности на соответствующую плоскость проекции проецируется в виде окружности, расположенной в плоскости уровня, т. е. в натуральную величину. На других плоскостях проекций в этом случае очерк поверхности определяется прямолинейными образующими – контурными линиями поверхности и проекцией основания конуса – линией ограничения поверхности. При таком расположении конической поверхности она однозначно определена на комплексном чертеже очерками поверхности. Поверхность прямого кругового конуса является геометрическим местом прямых, одинаково наклоненных к одной из прямых - оси конуса. Точка на поверхности конуса может быть определена как в случае любой из поверхностей вращения по принадлежности к параллели, но её положение в некоторых случаях целесообразно определять по принадлежности к образующей.

Прямой круговой цилиндр – поверхность, образованная вращением прямой относительно параллельной к ней оси. Поверхность цилиндра не ограничена в пространстве. Также как и в случае конической поверхности, на комплексном чертеже рассматривают, как правило, часть цилиндрической поверхности, ограниченную двумя произвольно выбранными окружностями – основаниями цилиндра. Ось цилиндра обычно располагают как проецирующую прямую на одну из плоскостей проекций. При этом, все образующие цилиндра относительно такой плоскости являются проецирующими прямыми, поскольку они параллельны оси, т. е. проекции всех точек на поверхности цилиндра совпадают с проекцией очерковой линии поверхности, которая, в этом случае является проекцией поверхности цилиндра. На любую другую плоскость проекций, не перпендикулярную оси цилиндра, очерк поверхности определяется прямыми линиями – контурными образующими цилиндра, а также линиями ограничения поверхности.

Поверхность прямого кругового цилиндра является геометрическим местом прямых, удаленных на заданное расстояние и параллельных прямой – оси цилиндра. Точка на поверхности цилиндра может быть определена по принадлежности к образующей цилиндра: для этого обычно используется вырожденная проекция цилиндра и, при необходимости, другие геометрические объекты, на которых расположена эта точка.

Другие поверхности второго порядка

Эллипсоиды

Эллипсоид вращения может быть получен при вращении эллипса вокруг одной из его осей. Различают сжатый и вытянутый эллипсоиды вращения. При дополнительной деформации поверхности в направлении, перпендикулярном оси вращения, создается поверхность второго порядка – трехосный эллипсоид, также, как коническая и цилиндрическая поверхности с эллиптическими направляющими она не может быть отнесена к поверхностям вращения.

Параболоид

При вращении параболы относительно своей оси образуется поверхность параболоида вращения. Это однополостная незамкнутая поверхность имеет одну несобственную точку, определяемую осью вращения. Таким образом, любая кривая второго порядка на поверхности параболоида, не пересекающая ось в несобственной точке есть замкнутая кривая, т. е. эллипс или окружность.

Гиперболоиды

При вращении гиперболы относительно своих осей симметрии получаются поверхности однополостного и двуполостного гиперболоидов вращения. Поверхность однополостного гиперболоида вращения является также линейчатой поверхностью, поскольку может быть образована вращением прямой относительно скрещивающей с ней оси. К линейчатым поверхностям второго порядка относится также гиперболический параболоид, образуемый скольжением прямой по двум скрещивающим направляющим прямым, параллельно заданной плоскости, эту поверхность называют также косой плоскостью.

Поверхность тора

Поверхность тора может быть образована вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности. Если ось вращения проходит через центр окружности, то получается рассмотренный нами вырожденный частный случай – поверхность сферы, если ось является хордой образующей окружности, то поверхность имеет внутреннюю и внешнюю полость – случай закрытого тора, если ось расположена вне окружности, то образуется поверхность открытого тора. В некоторых случаях, как для открытого так и для закрытого тора задается лишь часть поверхности – это можно сделать если образующей поверхности будет дуга окружности, например, для закрытого тора часто рассматривают внутреннюю полость поверхности – тор «бочка» , для открытого тора ограничивают поверхность участком, близким к горлу поверхности – тор «катушка» или «глобоидный тор». Тор является сложной поверхностью четвертого порядка, т. е. в общем случае при образовании поверхности вращения можно выделить два семейства параллелей: так называемые «внутренние» и «внешние» параллели. По принадлежности к этим параллелям определяются точки на поверхности, таким образом в общем случае заданной проекции точки на поверхности тора может соответствовать до четырех точек.

Эпизод 4 Линия пересечения поверхности с плоскостью. Построение сечений.

Множество точек, одновременно принадлежащих заданной поверхности и выбранной плоскости образует непрерывную линию либо семейство линий, которая называется линией пересечения поверхности и плоскости. В практических приложениях, как правило, рассматривают геометрические объекты, представляющие собой непрерывные множества точек, ограниченные в пространстве различными поверхностями, т. е. тела. Например, замкнутая поверхность сферы определяет в пространстве тело, которое называют шар. Если взять одну из полостей поверхности конуса и ограничить ее плоскостью, перпендикулярной оси, то полученный замкнутый отсек пространства определяет тело, называемое конус. Аналогично, отсек пространства, ограниченный цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, перпендикулярными оси определяет тело, имеющее название цилиндр. Не исключен случай, когда в качестве тела рассматривается отсек пространства, ограниченный набором произвольных поверхностей, в том числе и плоскостей, или даже неограниченный с какой-либо стороны отсек. Геометрический объект, все точки которого принадлежат одновременно какому-нибудь телу и заданной плоскости является плоской фигурой, называемой сечением тела. Для определения и построения сечения тела необходимо определить линии пересечения плоскости с поверхностями, ограничивающими это тело. Представляется относительно несложным определение какой-либо точки, одновременно принадлежащей заданной поверхности и выбранной плоскости сечения: как в пространстве, так и на чертеже эта задача может быть сведена к известным задачам построения точки, принадлежащей поверхности или плоскости. Однако, для построения кривой, являющейся линией пересечения поверхности с плоскостью как непрерывного множества точек необходимо знать вид этой кривой или, по крайней мере, закономерности, определяющие положение особых точек этой кривой. Во многих случаях, например для поверхностей второго порядка, линия пересечения может быть построена по известным или определенным в соответствии с исходными данными параметрами.

Сечение шара – при любом расположении секущей плоскости сечением шара является фигура, ограниченная окружностью – круг. Сечение большого круга шара получается в том случае, если секущая плоскость проходит через центр шара, диаметр большого круга равен диаметру шара. Натуральную величину любого сечения легко построить, если определить радиус параллели, соответствующей секущей плоскости, для чего необходимо построение дополнительной плоскости проекции, параллельной секущей плоскости.

Сечения цилиндра

Линия пересечения плоскости с поверхностью прямого кругового цилиндра в общем случае является замкнутой кривой второго порядка, т. е. окружностью или эллипсом. Исключение составляет случай, когда секущая плоскость параллельна оси: в этом случае она пересекает цилиндрическую поверхность по двум параллельным прямым – образующим цилиндрической поверхности. Сечением тела, ограниченным поверхностью прямого кругового цилиндра и двумя плоскостями, перпендикулярными оси является плоская фигура, ограниченная эллипсом и прямыми, в частном случае такой фигурой может быть прямоугольник. Во всех случаях при построении эллипса его малая ось равна диаметру цилиндра, а большая ось может быть определена как максимальное расстояние между точками пересечения образующих цилиндрической поверхности.

Сечения конуса

В зависимости от расположения секущей плоскости, линией пересечения конической поверхности может быть любая из кривых второго порядка, а в частных случаях ( когда плоскость проходит через вершину конуса) она представляет собой две пересекающие прямые либо одну прямую либо вырождается в точку. Вид линии пересечения определяется наклоном секущей плоскости к оси конуса. Если угол наклона секущей плоскости к оси больше, чем угол наклона образующих конуса, то секущая плоскость пересекает все образующие одной из полостей конической поверхности и линией пересечения является замкнутая кривая второго порядка: эллипс или окружность (в случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса). При равенстве угла наклона секущей плоскости и образующей секущая плоскость параллельна одной из образующих, т. е. имеет с ней одну общую несобственную точку. Поэтому, линия пересечения поверхности конуса с плоскостью в этом случае является кривой второго порядка, имеющей одну несобственную точку, как известно такой кривой является парабола. В том случае, если угол наклона секущей плоскости меньше чем угол наклона образующих к оси (в предельном случае секущая плоскость может быть параллельна оси) то плоскость пересекает обе полости поверхности конуса. Как известно, кривая второго порядка, имеющая две ветви и две несобственные точки есть гипербола. Несобственные точки этой гиперболы расположены на асимптотах гиперболы, эти точки совпадают с несобственными точками на образующих конуса, расположенных в плоскости, параллельной секущей плоскости, но проходящей через вершину конуса.

Сечения тора в общем случае являются кривыми четвертого порядка, которые в частных случаях могут распадаться на окружности. Таких частных случаев известно три. Если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, то она пересекает тор по параллелям, т. е. окружностям. Сечением тела, ограниченного поверхностью открытого тора в этом случае является кольцо – плоская фигура, являющаяся суперпозицией двух кругов, определяющих границы кольца. Поскольку линии, образующие поверхность тора есть окружности, любая плоскость, проходящая через ось тора, пересекает поверхность по окружностям – это особенно наглядно для открытого тора, в случае полного закрытого тора эти окружности пересекаются. Также пересекаются окружности в сечении открытого тора плоскостями, касательными одновременно двум образующим окружностям, такое сечение носит название круги Виларсо. В частных случаях сечения тора строятся по параметрам, которые несложно определить, в общем случае построение ведется по точкам. На комплексном чертеже каждой проекции точки, заданной на одной из плоскостей проекций, может соответствовать до четырех точек, принадлежащих поверхности тора. Если плоскость является касательной к поверхности тора, то линия пересечения плоскости и поверхности в этой точке имеет две касательных, т. е. пересекает самоё себя. Для тела, ограниченного частью поверхности тора, например закрытого тора-бочки, сечение, в общем случае, представляет собой замкнутую кривую четвертого порядка, имеющую одну ось симметрии. В частном случае фигура сечения для этого тела может быть ограничена двумя дугами образующих окружностей.

Эпизод 5 Пересечение линии и поверхности

В общем случае, для построения точек пересечения линии и поверхности линия заключается во вспомогательную поверхность, чаще всего плоскость, пересекающую заданную по графически простым линиям. На этой вспомогательной поверхности находятся точки пересечения заданной линии и заданной поверхности, эти точки определяются как точки пересечения исходной и построенных линий. Правильный выбор вспомогательной поверхности упрощает решение задачи и увеличивает точность построения точек пересечения. Такой выбор не всегда очевиден, например для конической поверхности, пересекающейся с прямой, не имеющей общих точек с осью в качестве вспомогательной поверхности целесообразно взять плоскость общего положения, проходящую через вершину конуса и заданную прямую. В ряде частных случаев точки пересечения линии и поверхности можно построить непосредственно по проекциям поверхности:

1.  Случай проецирующей прямой. Все проекции точек, принадлежащих проецирующей прямой, на соответствующей плоскости проекций совпадают с вырожденной проекцией прямой. Это относится также к проекциям точек пересечения прямой и поверхности. Другие проекции определяются известными способами непосредственно по принадлежности к заданной поверхности.

2.  Случай цилиндрической поверхности. На плоскости проекций, где цилиндрическая поверхность задана своей вырожденной проекцией, точки пересечения линии, причем не обязательно прямой, и поверхности определяются по принадлежности к вырожденной проекции. Если вырожденной проекции на комплексном чертеже не построено, то выбирается дополнительная плоскость проекций, перпендикулярная оси цилиндра, и на ней строятся проекции заданной линии и вырожденная проекция цилиндрической поверхности.

Эпизод 6. Пересечение поверхностей.

Задача построения линии пересечения поверхностей является одной из самых сложных задач начертательной геометрии. Правильное решение этой задачи возможно, если осуществлять действия по плану, предусматривающему выполнение этапов в определенной последовательности. Первый этап – анализ исходных данных, классификация условий и выбор метода решения задачи. В ходе анализа необходимо определить какие поверхности и тела пересекаются друг с другом, особенности взаимного расположения поверхностей и плоскостей проекций, выявить плоскости симметрии совокупности поверхностей и тел, выбрать метод решения задачи. Классификацию задач на начальном этапе анализа следует провести, прежде всего, по характеру задачи: пересечение тел – объединение, пересечение поверхностей с телом - усечение, пронизывание или врубка, или абстрактно-методический пример –задача на пересечение поверхностей. Характер задачи определяет обводку контурных линий, линии пересечения и очерков поверхностей на комплексном чертеже и необходимость использования линий ограничения поверхностей. Вид поверхностей, заданных на комплексном чертеже и особенности их расположения относительно друг друга и плоскостей проекций определяют выбор метода решения задачи. В начертательной геометрии в настоящее время известно большое число методов решения задач на пересечение поверхностей, однако многие из них весьма специализированы и применимы только к конкретным случаям: например, метод качающейся плоскости – применим к двум коническим поверхностям, метод эксцентричных сфер – используется в задаче пересечения поверхности конуса и открытого тора. В тоже время, ряд методов решения задач опираются на общие свойства и закономерности проецирования поверхностей и поэтому применимы для широкого круга задач. Например, задачи пересечения кривых поверхностей и гранных поверхностей могут быть решены построением линии пересечения по отдельным звеньям, где каждое звено есть построенная известными методами линия пересечения поверхности и плоскости грани. Задачи пересечения поверхностей в случае, если одна из поверхностей является цилиндрической, сводятся к задачам построения точки на поверхности, поскольку проекция линии пересечения в этом случае совпадает с вырожденной проекцией цилиндрической поверхности на соответствующей проекции. Наконец, при решении задач на построение линии пересечения поверхностей следует учитывать различные частные случаи расположения поверхностей, которые позволяют точно определить вид линии пересечения и закономерности проецирования ее на плоскости проекций. Рассмотрим эти частные случаи:

1.  Поверхности вращения, имеющие общую ось. Такие поверхности пересекаются по окружностям, причем число таких окружностей равно числу точек пересечения образующих поверхностей, построенных в одной плоскости.

2.  Конические поверхности, имеющие общую вершину – пересекаются по двум общим образующим.

3.  Цилиндрические поверхности с параллельными образующими - пересекаются по общим образующим.

4.  Если две поверхности имеют общую точку соприкосновения ( точку, в которой поверхности имеют общую касательную плоскость), то в этой точке линия пересечения имеет две касательных, т. е. пересекает самоё себя.

5.  Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой либо плоскости проекций, то на данную плоскость проекций линия пересечения проецируется в виде кривой 2-ого порядка.

6.  Теорема Монжа: если две поверхности второго порядка вписаны или описаны относительно третьей поверхности второго порядка, то они имеют две точки соприкосновения и линия пересечения этих поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок прямой, соединяющий точки соприкосновения.

Если на этапе анализа в ходе классификации обнаружилось, что к задаче не применимы рассмотренные выше методы и частные случаи, используется общий метод решения задачи – метод вспомогательных поверхностей. В соответствии с этим методом, для определения точек линии пересечения поверхностей, т. е. точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям, задается множество вспомогательных поверхностей, которые пересекают заданные по легко определяемым графически простым линиям. В качестве вспомогательных поверхностей чаще всего используются плоскости, перпендикулярные осям вращения поверхностей, плоскости, проходящие через оси вращения, общие плоскости симметрии поверхностей, сферы, имеющие общий центр на пересечении осей вращения поверхностей ( концентрические сферы). Также, как и в задачах пересечения линии и поверхности общие точки поверхностей определяются как точки пересечения линий, принадлежащих вспомогательной поверхности.

При выборе метода решения задачи, даже если обнаружилось, что задача относится к простому и известному случаю, не следует изменять план решения и пропускать его отдельные этапы. Второй этап решения задачи : построение точек линии пересечения поверхностей, принадлежащих контурным линиям поверхностей - контурных точек или точек первой группы . Контурные точки определяют условие существования контурных линий поверхностей в усеченном поверхностями или объединенном теле. Они также определяют условия видимости контурных линий и линии пересечения поверхностей на проекциях комплексного чертежа. При построении линии пересечения в контурных точках линия пересечения на соответствующих проекциях строится как касательная к контурным линиям поверхностей. Учитывая перечисленные обстоятельства, ошибка в определении контурных точек приводит к цепи ошибок при построении линии пересечения поверхностей, её обводке и обводке контурных линий поверхностей на проекциях комплексного чертежа. Для построения контурных точек чаще всего используются вспомогательные плоскости, проходящие через соответствующие контурные линии поверхностей. Линии пересечения заданных поверхностей этими плоскостями позволяют построить искомые контурные точки.

Третий этап решения задачи – построение экстремальных и параметрических точек или точек второй группы. Экстремальные и параметрические точки определяют максимальные значения уровней точек а также параметры кривых линий при построении проекций линии пересечения , они могут быть расположены на линии пересечения, а могут быть построены и вне её. Известно, что максимальные значения уровней точек линии пересечения поверхностей имеют точки, расположенные на общих плоскостях симметрии заданных поверхностей, поэтому на третьем этапе решения задачи необходимо задать эти плоскости в качестве вспомогательных поверхностей - даже в том случае, если они не параллельны плоскостям проекций. Если на этапе анализа установлено и предполагается известным закономерность проецирования линии пересечения на какой –либо проекции, например в виде кривой второго порядка, то необходимо определить параметры этой кривой и построить соответствующие параметрические точки: для окружности это радиус и центр, для эллипса это малая и большая ось и точка пересечения осей, для параболы и гиперболы это вершины. Результаты построения на втором и третьем этапе задачи целесообразно оформить в виде таблиц.

Четвертый этап – построение промежуточных точек.

Во многих частных случаях, когда закономерность проецирования линии пересечения на какой - либо плоскости проекций известна, все проекции промежуточных точек могут быть построены по принадлежности к одной из заданных поверхностей. В общем случае, для построения каждой промежуточной точки необходимо задавать вспомогательную поверхность. Число промежуточных точек должно быть достаточно для построения гладкой лекальной кривой.

Пятый этап – соединение точек. Построение проекций линии пересечения.

Построение проекций линии пересечения не представляет труда, если выявлены закономерности её проецирования и с учетом их построено достаточное количество промежуточных точек. При соединении точек линии пересечения следует учитывать:

1.  При пересечении кривой поверхности и гранной линия пересечения состоит из отдельных звеньев, число которых равно или кратно числу граней поверхности, пересекающих кривую поверхность. Две гранные поверхности всегда пересекаются по прямым линиям.

2.  В контурных точках проекция линии пересечения и проекция соответствующей контурной линии поверхности имеют общую касательную.

3.  В экстремальных и часто также в параметрических точках, проекция кривой линии пересечения имеет касательные в виде вертикальных и горизонтальных прямых.

4.  В точках соприкосновения поверхностей линия пересечения имеет две касательные, т. е. пересекает самоё себя.

Для соединения точек, принадлежащих линии пересечения используется лекало – инструмент, позволяющий построить кривую, проходящую через заданные точки, чтобы в каждой из этих точек не происходило скачкообразного изменения наклона и кривизны этой кривой.

Шестой этап. Обводка контуров поверхностей и линии пересечения с учетом видимости на проекциях.

Все поверхности, ограничивающие тело, на комплексном чертеже считаются непрозрачными, все другие поверхности, производящие усечение, врубку или сквозное отверстие в теле считаются условно-прозрачными. Таким образом, обводка контурных линий существенно зависит от характера задачи : для задач на объединение тел контурные линии поверхностей, ограничивающих объединенное тело, предполагаются существующими, контурные линии поверхностей внутри объединенного тела – не существуют и обводятся как условные линии. В задачах на пересечение линии и поверхности, поверхность и ее контурные линии существует только на тех участках, где она является границей нового тела, вне тела, она считается не существующей, и ее контурные линии обводятся как условные линии. Видимость участков поверхностей, точек линии пересечения и контурных линий поверхностей определяется на проекциях комплексного чертежа методом конкурирующих точек, при этом уровни соответствующих координат точек сравниваются с уровнями максимальных значений координат существующих контурных линий одной из поверхности. Контурные точки на проекциях при этом всегда являются точками, определяющими границы участков видимости или существования контурных линий поверхностей а также границами участков видимости линии пересечения поверхностей. Все видимые линии, как известно, обводятся сплошной толстой линией, невидимые – тонкой штриховой линией, а условные линии проводятся тонкой сплошной линией. При необходимости, для обозначения видимости на отдельных участках чертежа выполняется увеличенное изображение выделенного фрагмента в виде выносного элемента.