Физика

Физика. 3

Введение. Дуализм света. Опыт Боте. 3

Глава 1. Действие света. 3

§1 Фотоны. 3

§2 Фотоэффект. 4

§3 Применение фотоэффекта. 7

§4 Давление света. 7

§5 Явление Комптона – рассеяние рентгеновского кванта на «свободном» электроне. 8

Глава 2. Тепловое излучение – излучение нагретых тел оптического диапозона. 10

§1 Тепловое излучение в ряду других излучений. 10

§2 Основные характеристики теплового излучения. 10

§3 Закон Кирхгофа. 10

§4 Законы излучения а. ч.т. 12

§5 Распределение энергии в спектре а. ч.т. 13

§6 Оптическая пирометрия. 15

Атомная физика. 15

Глава 1. Ядерная модель атома. 15

§1 Закономерности линейчатых спектров. 15

§2 Модель Томпсона. 16

§3 Опыты Резерфорда. 17

§4 Энергия электрона в атоме. 18

Глава 3. Теория Бора. 19

§1 Несостоятельность классической модели атома. 19

§2 Постулаты Бора. (1913) 19

§3 Опыты Франка и Герца. (1913) 20

§4 Теория атома водорода и водородоподобных ионов по Бору. 21

§5 Теория атома водорода и водородоподобных ионов по Бору. 24

Элементы Квантовой Механики. 25

Введение. История создания квантовой механики. 25

Глава 4. Волновые свойства микрочастиц. 25

§1 Гипотеза Луи де Бройля. 1923г. 25

§2 Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыты Дэвисона и Джермера. . 26

§3 Общие свойства волн. Волновой пакет. 27

§4 Свойства волн де Бройля. 29

§5 Соотношение неопределенностей Гейзенберга. 31

§6 Волны де Бройля и волновая функция. 32

§7 Вероятностное толкование волн де Бройля. 33

§8 Вероятность нахождения мкч. Нахождение средних значений функции от координат. (роль Ψ –фунукции в квантовой механике) 34

Глава 5. Уравнение Шредингера. 35

§1 Особенности волнового уравнения для микрочастицы. 35

§2 Общий вид уравнения Шредингера от времени. 36

§3 Уравнение Шредингера для стационарных состояний. 36

§4 Уравнение Шредингера для n частиц. 37

§5 Анализ решений уравнений Шредингера. 38

Глава 6. Применение квантовой механики. 39

§1 Движение мкч в свободном пространстве. 39

§2 Движение мкч в потенциальном ящике. 40

§3 Отражение и прохождение мкч через Потенциальный барьер. 42

§4 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный эффект. 45

§5 Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины. 46

§6 Квантово-механический осциллятор. 47

§7 Квантово-механическая модель атома. 49

§8 Магнитные свойства и спин электрона. 49

Глава 6. Применение квантовой механики. 49

§1 Принцип Пауля. 49

§2 Распределение электронов в сложных атомах по оболочкам. Таблица Менделеева. 49

§3 Рентгеновские спектры. 49

Глава 7. Элементы квантовой статистики. Проводимость металлов. 49

§1 Понятие о квантовой статистике. 49

§2 Распределение коллективизированных электронов в металле по квантовым состояниям при T=0 и при Т>0. 49

§3 Динамика электрона в кристаллической решетке. Эффективная масса электрона. 49

§4 Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы. 49

§5 Понятие о квантовой теории проводимости. 49

§6 Квантовая теория. 49

Глава 8. Элементы ядерной физики и элементарные частицы. 49

§1 Общая характеристика ядра. 49

§2 Радиоактивность. 49

§3 Энергия связи ядра. Два пути получения ядерной энергии. 49

§4 Элементарные частицы. 49

§5 Кварк-лептонная симметрия. 49

8 глав 57 параграфов. 16ти нет
Физика

Введение. Дуализм света. Опыт Боте.

Свету присущ дуализм:

(1) свет — электромагнитная волна

(2) свет — поток квантов

волна бесконечная, а в случае квантов свет выделяется порциями.

Опыт, доказывающий дискретную природу света (2) — опыт Боте.

Если свет — электромагнитная волна, то записи на ленте будут строго симметричны.

С позиции квантов: кванты летят хаотически и приходят на счетчики не одновременно.

(излучение именно рентгеновское тк энергия фотона видимого света — несколько электрон-вольт, и на первый план выходят волновые свойства, у рентгеновского излучения энергия на несколько порядков больше и на первый план выходят квантовые свойства)

Глава 1. Действие света.

§1 Фотоны.

Фотоны — кванты оптического диапозона (1011 — 1015 Гц), порция, минимальный сгусток энергии.

Энергия фотона εф=hν = hC/λ=ħω

h=6.62 *Дж с — постоянная Планка (1900)

ħ=h/2Pi=1.05*10-34 Дж c

ω = 2Pi ν

λ=СT=C/ν ν=C/λ

E=mC2 — закон массы энергии

m=E/C2

Масса фотона mф=εф/C2=hν /C2 — масса движущегося фотона

со скоростью света могут двигаться только частицы нейрина и фотона, тела — нет

mф=m0ф/sqr(1-(v2/C2)) v=C (в вакууме) => mф=0 в покое

Импульс фотона Pф=mC= hν /C = h/λ

§2 Фотоэффект.

Фотоэффект — спускание веществом электронов при облучении электромагнитным излучением.

1. Основные особенности фотоэффекта.

При облучении ультрафиолетом (например) испускаются частицы — электроны.

проводил опыт, снимая вольт-амперную характеристику.

В результате были сформулированы законы внешнего фотоэффекта (Столетова):

1)  Для данного фотокатода при облучении с постоянной частотой сила фото-потока насыщения прямо пропорциональна световому потоку, падающему на фотокатод.

Jфн~Ф

2)  Для данного фотокатода max T (Екин) выбитого элемента пропорциональна частоте облучения и не зависит от светового потока.

3)  Для каждого фотокатода имеется своя «красная» граница

λкр ν=C/λкр — max λ (min ν) c которой начинается фотоэффект

λ>λкр

ν< νкр

4)  фотоэффект безынерционен.

2. Объяснение фотоэффекта с точки зрения волновой и квантовой теорий.

Волновая теория не объясняет законы фотоэффекта.

В квантовой теории законы Столетова объясняются уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

hν = Aв + (mV2max/2)

(выход электрона из металла + кинетическая энергия максимального выбитого электора)

eUЗ = mV2max/2 — тоже уравнение Эйнштейна

eUЗ — кинетическая энергия получаемая или отдаваемая электроном

hν = Aв + eUЗ

если hν < Aв — фотоэффект невозможен.

hνкр= Aв и hC/λкр = Aв - объясняет наличие «красной» границы.

3. Селективный, внутренний, вентильный фотоэффект.

Селективный фотоэффект.

Квантовый выход электрона из металла — γ

γ=jфн/Ф = [мА/лм]

обычный фотоэффект

селективный фотоэффект

электромагнитная волна:

E=E0Cos(ωt-kr)

H=H0Cos(ωt-kr)

На электрон действует F=eE, электрон начинает совершать вынужденные колебания, становится возможным появление резонанса. Λ0 — резонансная длина волны. Максимальная амплитуда, максимальный квантовый выход.

Величина пика (максимума) зависит от вида поляризации падающего излучения и от угла падения.

2 — вероятность выхода больше

чем больше угол, тем больше пик.

Селективный фотоэффект чаще на щелочных металлах. Важен тем что подчеркивает дуализм света. Один и тот же эффект объясняется с привлечением обеих теорий.

Внутренний фотоэффект.

Наблюдается не на металлах, а на диэлектриках и полупроводниках.

Hν = AВ1 + AВ1 +AВ1 + (mV2max/2)

AВ1 — отрыв элемента от атома

AВ2 — подведение электрона к поверхности

AВ3 — отрыв электрона от фотокатода

энергии фотона хватает только на AВ1.

Тогда в веществе увеличивается количество свободных электронов, это увеличивает проводимость.

Внутренний фотоэффект используется в фотосопротивлениях.

Вентильный фотоэффект

наблюдается при облучении p-n перехода

рис*

обладает способностью проводить электроны в одном направлении. Преобразует световую энергию в электрическую.

§3 Применение фотоэффекта.

При измерении интенсивности светового потока

-фотоэлемент

его характеризует чувствительность: γ = jфн/Ф = [мА/лм] — интегральная чувствительность. Порядка 150-200 в обычном случае и увеличивается газами или полупроводниками.

-  ФЭУ (фото электронный умножитель) — несколько анодов.

§4 Давление света.

Объяснение с т. з. Волновой теории:

Fл=e[V, B]

B=μ0μH

P~Fл

|V|~[E, H]~ω

ω — объемная плотность энергии электромагнитной волны.

P=ω (1 + ρ)

ρ — коэффициент отражения

в ясный солнечный день, по расчетам Ньютона, ρ = 4*10-6 Н/м2

доказал P света

Давление света с т. з. Фотонной теории:

Давление — суммарный импульс, который сообщаю т фотоны единице площади в единицу времени.

Каждый фотон несет импульс hυ/C

ρ=0 поверхность абсолютно черная:

P=hυN/CSt

ρ=1 поверхность белая или отражающая

при абсолютном отражении: Δpф=-2hυ/C

белая поверхность: P=2hυN/CSt

P=(2hυNρ/CSt) + (hυN/CSt)(1-ρ)

(доля отраженных фотонов + доля поглащенных фотонов)

P= (hυN/CSt)(1+ρ)

Nhυ=W/ΔSΔt

W/C= ω

Nhυ/ CΔSΔt= ω

§5 Явление Комптона – рассеяние рентгеновского кванта на «свободном» электроне.

1. Физическая сущность

Рассеивающее вещество – бериллий, литий, бор. Рентгеновский спектрограф.

В рассеянных лучах длина волны λ’

Δλ=λ’ – λ – Комптоновское смещение

Δλ=λk(1 – Cosϑ )

λk=2,4*10-12 м равно к. смещению при рассеянии на угол ϑ=Pi/2

2. Элементарная теория комптоновского эффекта

Выполняется закон сохранения энергии

hυ + m0C2 = hυ’ + mC2

нет рассеяния когда фотон(рентгеновский квант) попадает в ядро или в электрон тесно связанный с ядром, тк длина волны не меняется.

Система:

{hυ + m0C2 = hυ’ + mC2

P=P’+mV (P, V - векторные)}

{mC2 = h(υ - υ’) + m0C2

m2V2=(hυ/C)2+(hυ’/C)2 - h2υυ’ Cosϑ /C2}

{m2C4= m02C4 + 2h(υ-υ’)m0C2 + h2υ2 + h2υ’2 - 2h2υυ’

m2V2C2= h2υ2 + h2υ’2 - 2h2υυ’ Cosϑ}

m2C4(1 – V2/C2)= m02C4 + 2h(υ-υ’)m0C2- 2h2υυ’+ 2h2υυ’ Cosϑ

m= m0/sqr(1 – V2/C2) => m2(1 – V2/C2)= m02

m0C22h(c/λ - c/λ’) = 2h2(c/λ)(c/λ’) - 2h2(c/λ)(c/λ’)Cosϑ

m0C2C(λ’ - λ)/λ’λ = hC2/λλ’ - hC2 Cosϑ/λλ’

Δλm0C=h(1 – Cosϑ)

Δλ = h(1 – Cosϑ)/ m0C

λk = h/ m0C = 2,4*10-12 м

3. Выводы

Таблица:

Квант:

До соударения E= hυ, P= hυ/C

После соударения E= hυ’, P= hυ’/C

Электрон:

До соударения E= m0C2, P= 0

После соударения E= mC2, P= mV

1)  при рассеянии квантов рентгеновского излучения на свободном??? электроне в рассеянном излучении вместе с компонентами λ появляется компонента λ’>λ

2)  комптоновское смещение Δλ = λ’ – λ зависит только от угла расстояния ϑ, ϑ ~ Δλ

3)  комптоновское смещение одинаково для всех рассеивающих элементов и не зависит от длины волны излучения

4)  интенсивность рассеянной комп убывает с возрастанием 2-рассеивающего вещества.

Глава 2. Тепловое излучение – излучение нагретых тел оптического диапозона.

§1 Тепловое излучение в ряду других излучений.

1.  Тепловое излучение

2.  Электролюминесценция

3.  Катодолюминесценция

4.  Хемилюминесценция

Равновесность – тело излучает энергии столько сколько поглащает.

§2 Основные характеристики теплового излучения.

1. Излучательность (энерг. светимость) RT

RT=f(T)

RT = W/ ΔSΔt [Вт/м2]

2. Спектральная плотность излучательности

RυT = f(υ,T) R λ T = f(λ,T)

RυT =(dWυ, υ+dυ)/ ΔSΔtdυ [дж/м2]

R λ T =(dW λ, λ +d λ)/ ΔSΔtd λ [Вт/м3]

RT = интеграл (0 - бесконечность) (RυTdυ) = интеграл (0 - бесконечность) (RλTd λ)

RυTdυ = RλTd λ

RλT = RυTdυ/d λ

§3 Закон Кирхгофа

1. Формулировка

Спектральная поглощательная способность.

AυT =(dWυ, υ+dυ)погл/(dWυ, υ+dυ)

AλT =(dW λ, λ +d λ)погл/=(dW λ, λ +d λ)

Какая доля падающей энергии поглащается

Наступит термодинамическое равновесие

R’υT/ A’υT = R’’υT/ A’’υT= R’’’υT/ A’’’υT = f(υ,T)

R’ λ T/ A’ λ T = R’’ λ T/ A’’ λ T= R’’’ λ T/ A’’’ λ T = f(λ,T)

В состоянии термодинамического равновесия RυT и AυT не зависит от природы тела и для всех тел есть одна универсальная функция частоты и температуры

f(υ,T) и f(λ,T) - универсальная функция Кирхгофа

2. Вывод

Абсолютно твердое тело

AυT = 1

AλT = 1

Модель:

d<<R

RυT=rυT

серое тело излучает RυT * dS

поглощает AυT * rυT * dS

Wизл = W погл

RυT / AυT = rυT

3. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела.

AυT = 1 ρ=0

0=< AυT =< 1

Спектр сплошной

λ m – длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности излучательности.

При T=6000 K λ=500 нм (солнце, => она а. ч.т.)

Re=(интеграл от 0 до бесконечности)(r λTd λ)

Чем больше тело поглощает, тем больше оно излучает.

§4 Законы излучения а. ч.т.

1. Закон Стефана-Больцмана

Re=σT4=(интеграл от 0 до бесконечности)(r λTd λ)= (интеграл от 0 до бесконечности)(r υTdυ)= σT4

σ – постоянная Стефана-Больцмана

σ=5,67 * 10-3 Вт/м2к4

W=σT4Sτ

τ – время излучения

серое тело поглощает энергию по всем длинам волн одинаково AλT = AT

W= AT σT4Sτ

0<= AT <=1

2. Закон смещения Вина (только для а. ч.т.)

При повышении температуры а. ч.т. максимум спектральной плотности излучательности смещается в сторону коротких длин волн.

λ m = b/T

b = 2,9 * 10-3 мК – постоянная Вина

§5 Распределение энергии в спектре а. ч.т.

1. Формула Рэлея-Джинса.

осцилляторы-диполи

Использовался закон в равном распределении энергии по степеням свободы

1 степень свободы – 1\2 kT

kБ = 1,38 *Дж\к

<ε>=kT=kT\2 + kT\2

r λT = 2PiCkT/λ4

r υT = 2Piυ2kT/C2

В областях больших частот (макс. Длин. волн) формулы Рэлея-Джинса не подтвердили эксперименты.

(интеграл от 0 до бесконечности)( 2Piυ2kT dυ /C2) стремится к бесконечности

(интеграл от 0 до бесконечности)( 2PiCkT d λ /λ4) стремится к бесконечности

Вывод формул был сделан правильно.

2. Квантовая гипотеза. Формула Планка.

излучение непрерывно.

W=hυN

r υT = 2Piυ2 <ε> /C2

r λT = 2PiC<ε> /λ4

<ε> = hυ / (e hυ/kT - 1)

<ε> = hC / λ (C hC/kTλ - 1)

r υT = (2Piυ2 /C2 )*( hυ / (e hυ/kT - 1))

r λT = (2PiC /λ5)*( hC / e hC/kT - 1)

3. Следствие из формул Планка.

Первое: υ – мало; hυ<<kT

e hυ/kT – мала

e hυ/kT = 1 + hυ/kT + (hυ/kT)2 /2! + . . .

e hυ/kT ~ 1 + hυ/kT

r υT = (2Piυ2 /C2 )*( hυ / (1 + (hυ/kT= 2Piυ2kT/C2

Второе: υ – большие; hυ>>kT

e hυ/kT – большие

e hυ/kT>>1

r υT = (2Piυ2 /C2 )*( hυ e - hυ/kT)

Третье:

Re=(интеграл от 0 до бесконечности)( (2Pih /C2 )*( υ3 / (e hυ/kT - 1)*dυ))= (2Pih /C2 ) (интеграл от 0 до бесконечности)( ( υ3 / (e hυ/kT - 1))*dυ)

hυ/kT = x υ = kTx/h

dυ = kTdx/h

Re=(2Pih /C2 ) (интеграл от 0 до бесконечности)((k3T3kTdx)/h3h(ex-1))

Re=(2Pik4T4/h3C2) (интеграл от 0 до бесконечности)(x3dx/ex-1)=2Pi5k4T4/C2h315

Re= σT4- (экспериментально)

Re = (2Pi5k4/C2h315)* T4 => (2Pi5k4/C2h315) = σ

σ = 5,67 * 10-8

h=(корень 3 степени)( 2Pi5k4/C2 σ 15)

d r λT/∂λ = 2PihC2 [(5/ λ6) / ( (e hυ/kT - 1) + (1/ λ5) ((hC/kT λ2 * e hC/kT λ)/( e hC/kT λ -]

d r λT/∂λ = [2PihC2/( λ6 ( e hC/kT λ - 1))] * (-5 + (hC/kT λ * e hC/kT λ)/( e hC/kT λ - 1))

hC/kT λ = x

d r λT/∂λ = [2PihC2/( λ6 ( e hC/kT λ - 1))] (xex – 5ex+5)

При λ = λ m, hC/kT λm = x

xex – 5ex+5=0

x=4,965= hC/kT λm

bλm=hC/4,965

Формула Планка удовлетворяет законам Стефана-Больцмана и Вина

§6 Оптическая пирометрия

Учебник параграф 201

Атомная физика

Глава 1. Ядерная модель атома.

§1 Закономерности линейчатых спектров.

Линии в спектре группируются в серии. Спектральная серия – совокупность спектральных линий убывающей интенсивности, сходящейся к определенному пределу.

Серия

Бальмер

1/λ = R(1/22-1/n2) n=3,4,5… - спектр водорода

R=1,1* 10-7 м-1 (постоянная Ридберга)

1. Обобщенная (сериальная) формула Бальмира.

1/λ = R(1/ni2-1/nj2)

ni =1,2,3…

nj = (ni +1), (ni +2) …

1/λ=υ= CR(1/ni2-1/nj2)

RC=R’=3,29*1015 1/c

1.серия Лаймана (ультрафиолет)

ni =1 nj =2,3,4

υ= R’(1/12-1/nj2)

предел серии υпред = R’

2.серия Бальмира (видимый свет)

ni =2 nj =3,4,5

υ= R’(1/22-1/nj2)

3.серия Пашена (инфракрасная область)

ni =3 nj =4,5,6

υ= R’(1/32-1/nj2)

4.серия Брэкета (дол. Инфракрасной области)

ni =4 nj =5,6,7

υ= R’(1/42-1/nj2)

2. Строение атома.

1.Электрон (термо эл. Эмиссия, холодная эмиссия эл. Из металла, фотоэффект)

2.+ заряд

§2 Модель Томпсона.

Модель атома – сфера заряженного вещества, т. н. «Кекс с изюмом»

Атом водорода. Заряд сферы +e

Если электрон отклонить, то он притягивается назад с F=eE

E=ρr/3ε0

ρ=e/(4/3)PiR3

E=er/3 ε0 (4/3)PiR3 = er/4Piε0R3 (по т. Гаусса)

F=e2r/4Piε0R3 - квазиупругая сила

F=kr k – коэффициент упругости

Электрон в атоме ведет себя как грузик на пружинке.

(?) Частота колебаний электрона ω=sqr(k/m)

= частоте излучений электрона (?) ω=sqr(e2/4Piε0R3m ) ~/c R ~ 3м

[ω] = sqr (кл2 м / Ф м3 кг) = sqr (В Кл м / м3 кг) = sqr (Дж м / м3 кг) = sqr (кг м2 м / м3 кг с2) = 1/c

Частота видимого света (400 – 760 нм) в модели совпадает с полученной экспериментально частотой, однако эта теория просуществовала всего с 1903 – 1911

§3 Опыты Резерфорда.

Резерфорд зондировал тонкие слои вещества (фольга) α-частицами

В вакуумной камере на иголке помещено радиоактивное вещество, излучающее α-частицы, последние проходят через диафрагму на золотую фольгу (?) и цилиндр фарадея, который можно поворачивать.

α-частицы – двукратно ионизированный атом гелия.

N=f(φ) – число прошедших частиц. Чем меньше угол, тем меньше частиц рассеившихся под этим углом.

1/20 000 частиц : φ = 180

Резерфорд интерпретировал результат следующим образом:

В центре атома находится + заряженное ядро, размер которого Rя=10-15 –м

А вокруг расположены электроны. Ядро составляет ~ 1/всего атома

Атом можно представить как сферу с радиусом 1 км, а ядро с копеечную монету.

После этого открытия утвердилась ядерная (планетарная) модель атома:

В центре находится ядро а вокруг электроны. Заряд ядра +Ze, число электронов – Z

На каждый электрон со стороны ядра действует сила кулона

Fкл = Ze2/4Piε0r = kZe2/r2

k=1/4Piε0

В неподвижном состоянии система не может существовать, поэтому должна вращаться.

Fкл – центростремительная сила

Основное условие устойчивости электрона на орбите:

kZe2/r2 = mV2/2

§4 Энергия электрона в атоме.

kZe2/2r2 = mV2/2r

кинетическая энергия в атоме :

T = kZe2/2r

В атоме водорода Z=1 а T=ke2/2r

Потенциальная энергия электрона в атоме

F= - kZe2dr/r2

dU = - dA

dU= kZe2dr/r2

U=(интеграл от бесконечности до r)( kZe2dr/r2) = - kZe2/r

U= - kZe2/r

U= - ke2/r – водород

E = T + U = kZe2/2r - kZe2/r

E = - kZe2/2r

Ближе к ядру энергия убывает

Опыты Резерфорда

1.Установили что в центре атома находится положительный заряженное ядро

2.Дали возможность оценить размер ядра

3.Объяснили физический смысл порядкового номера Z в таблице Менделеева (заряд ядра, число электронов)

4.Доказали справедливость закона Кулона для взаимодействия микрочастиц (α-частиц)

Глава 3. Теория Бора.

§1 Несостоятельность классической модели атома.

1.Не объясняет долговечность атома

По классической модели излучение атома происходит непрерывно, электрон движется с ускорением a=V2/r

Атом (?) излучает электромагнитные волны, а значит атом должен терять энергию

E = - kZe2/2r

В таком случае радиус орбиты должен непрерывно убывать, в конце концов электрон должен упасть а атом прекратить своё существование.

Однако атомы живут долго, за исключением некоторых изотопов.

2.Объяснение спектра излучения

Орбита уменьшается, частота ω увеличивается

Спектр должен быть сплошным (радуга, а. ч.т)

А эксперимент показывает, что спектр линейчатый.

§2 Постулаты Бора. (1913)

Бор отказался от классического подхода к излучению.

Он ввел постулаты без теоретического обоснования.

1.Постулат о стационарных состояниях.

В стационарном состоянии атом не излучает энергию

E стационарного состояния представляет дискретный ряд значений E1, E2, E3… En (именно такие, а не промежуточные).

Энергия электрона в атоме квантуется (принимает только дискретные значения)

2.Правило частот Бора.

Излучение атома происходит только при переходе с одного стационарного состояния в другое

Отсюда υ = (Ej - Ei)/h

Добавление:

3.Правило квантования круговых орбит.

Стационарная орбита – та, у которой момент импульса равен произведению n и h с чертой

mVr = nћ для водорода и водородоподобных атомов (атомов у кот. Удалены все электроны)

ћ = h/2Pi = 1,05 *Дж с n = 1,2,3…

mV – импульс электрона

mVr – момент импульса

§3 Опыты Франка и Герца. (1913)

Термо-электронная эмиссия.

Сетка положительно заряжена.

Подается напряжение (- + - +)

Катод-сетка: ускоряющее напряжение в промежуток

Сетка – Анод: наоборот тормозящее напряжение о,5 В

Атом ртути 80 Hg 200

Потенциал ионизации – разность потенциалов которую должен пройти сторонний электрон чтобы при соударении с атомом выбить из него электрон. U эВ

Частота излучения та, с которой колеблется электрон.

Частота вращения = частоте излуч.

Вольтамперная характеристика из опытов Франка и Герца :

1е возрастание: ток растет тк растет U чем больше потенциал тем больше электронов.

1й спад: электрон сталкивается с электроном ртути, при этом столкновении до U=4,9 соударения упругие, начиная с 4,9 соударения неупругие (у сетки)

Далее увеличиваем U, электрон отдавший энергию находится в ускор. Поле, поэтому преодолевает напряжение, график снова растет

И т. д.

Передача энергии электроном не всегда происходит, тк атом в любом количестве энергию у электрона не принимает.

При передаче энергии есть свечение.

§4 Теория атома водорода и водородоподобных ионов по Бору.

1.Эксперементальные факты, объясняемые теорией Бора:

а - размер атома водорода r=53 пм

б - энергия ионизации атома водорода Eи = 13,6 эв

Eи – энергия бомбардирующего электрона достаточная для того чтобы при соударении выбить электрон из атома.

Потенциал ионизации Uи – разность потенциалов которую должен пройти бомбардирующий электрон чтобы приобрести энергию достаточную для ионизации атома.

Eи = eUи

в- закономерность линейчатого спектра.

1/λ = R(1/ni2-1/nj2)

2. Радиусы орбит атомов.

{ ke2/r2 = mV2/r классическая модель

mVr = nћ } – квантовая модель

k = 1/4Piε0 n=1,2,3…

момент импульса кратен ћ

kme2 r3/r2 = mV2m r3/r = m2V2 r2

m2V2 r2 = n2ћ2

kme2 r = n2ћ2

rn = n2ћ2/kme2 - закон квантования

n=1 r1= ћ2/kme2

r1=(1,05*1,05*10-68)/(9*109*9*10-31*2,56*10-38) = 53*10-12 м

[r]=дж2*с2*Ф/м*кг*кл2 = м

Кл/Ф = В*кл = дж

n2=2 r2=4r1

n3=3 r3=9r1

rn=nr1

3. Скорость электрона

признак водорода E=1 ?

Vn= ke2/ nћ

V1= ke2/ ћ : n=1

V1= (9*109*2,56*10-38)/(1,05*10-34) = 2,2*106 (м/с)

[V] = м*кл2/Ф*Дж*с = м/с

Vn = V1 / n

4. Энергия электрона в атоме

E = - ke2/ 2r

E = T + U

E = - ke2km e2/2n2 ћ 2 = - k2me4/2n2 ћ 2

En = - k2me4/2n2 ћ 2

n = 1:

E1 = (81*1018*9,1*10-31*2,56*2,56*10-76)/(2*1,05*1,05*10-68*1,6*10-15) = - 13,6 эв

[E] = м2*кг*кг4 / Ф2 * Дж2 * с2 = Дж

En = E(бесконечности) - E1

E(бесконечности) = 0

En = E1 / n2 n=1,2,3… - главное квантовое число

5. Закономерность линейчатых спектров.

1/λ = R(1/ni2-1/nj2)

По Бору:

hυ = Ej – Ei = - k2me4/2nj2 ћ 2 – (- k2me4/2ni2 ћ 2 ) = k2me4/2 ћ 2 (1/ ni2 – 1/nj2)

hυ = hC/ λ (?)

k2me4/2hCћ 2 = (81*1018*9,110-31*2,56*2,56*10-76)/( 2*1,05*1,05*10-68*6,62*10-34*3*1081) = 1,1*107 м-1

6. Спектр атома водорода.

диаграмма уровней энергии в атоме водорода

E первого возбуждения = 10,2 эв

U первого возбуждения = 10,2 эв

7. Магнитные моменты.

Гиромагнитное отношение

L = m [Vr] - вектор – механический момент

L = mVr

Pm = магнитный момент

Pm = JS = eVPir2/2Pir = eVr/2

J = eV/2Pir

Pm / L = eVr/2mVr = e/2m – гиромагнитное отношение

Pm = - Le/2m L= nћ

Pm = - e nћ / 2m

eћ / 2m = μБ = 0,9*10-23 – магнетон Бора – минимальная порция магнитного момента в природе

Pm = n μБ

8. Водородные ионы.

z=1

{ kze2/r2 = mV2/r классическая модель

mVr = nћ } – квантовая модель

r = n2ћ2 / kmze2

V = kze2 / nћ

En = k2mz2e4 / 2 n2ћ2

1/λ = z2R(1/ni2-1/nj2)

§6 Затруднения Теории атома водорода и водородоподобных ионов по Бору.

Решила много вопросов, объяснила эксперименты и тд.

Позже начали находить недостатки:

1)непоследовательность

{mVr = nћ - квантовое товое положение

kze2/r2 = mV2/r } классическое положение

теория не могла долго существовать и была переходной.

·  Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.

·  Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева.

·  Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Элементы Квантовой Механики.

Введение. История создания квантовой механики.

В ее основу легли 2 факта: теория Бора и дуализм света.

Шрединг, Гейзинберг, Борн

Дуализм света (одновременно электро-магнитная волна и поток фотонов):

{ε=hν = hC/λ=ħω - энергия фотона

P = hν/C = h/λ = ħk}-импульс фотона

k=2Pi/λ

дуализм света – объективный закон природы.

Глава 4. Волновые свойства микрочастиц.

§1 Гипотеза Луи де Бройля. 1923г.

Утвердилось учение о дуализме. ЛдБ предположил что дуализм присущ всей материи – электронам, протонам, нейтронам...

есть частица, перемещающаяся со скоростью V значит она обладает импульсом P и ее движение характеризует волна. О природе волн де Бройля было много споров. Это математический аппарат для описания движения частиц.

λ=h/p ω= ε/ħ

если частица свободная, нерелятивистская, T<<m0C2

1)cвободная U(x)=0 Tкин=p2/2m

λ=h/sqr(2mTкин) p=sqr(2mTкин)

2)cвязанная (в силовом поле)

U(x)!=0

E=Tкин+U(x)

Tкин=E-U(x)

λ=h/sqr(2m(E-U(x)))

Если частица релетявистская, T~m0C2 - энергия покоя

λ=h/p

E2=E02+p2C2

p2C2 = E2 – E02

E= mC2 E0 = m0C2

p2 = (E - E0)(E + E0)/C2=T(2m0C2+T)/ C2

λ=hC/sqr(T(T+2m0C2))

чуваки эту ляляку встретили негативно, только эксперименты убедили их:

определить λ шарика m=1г движущегося со скоростью V=1см/с

λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/м/с)=6,62м

длина волны настолько мало что отсутствуют методы определения такой длины волны

определим λ для электрона в атоме водорода, V=106 м/с

λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/(9,1м/с) ~ 0,7 нм – частота рентгеновского излучения

для рентгеновских лучей наблюдается дифрагция на монокристаллах.

§2 Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыты Дэвисона и Джермера. .

Ускоренные электроны пройдя диафрагму (чтобы пучок был узкий) направляются на монокристалл Ni, происходит отражение (угол отражения = углу падения). Далее попадают в цилиндр Фарадея и на землю.

Оказывается что макс ток будет при условии Вульфа-Бреггов:

2dSinφ=mλ m=1,2,3...

максимум порядка > 1 можно наблюдать :

1)поворачивая кристалл (меняя угол фи)

2)меняя Uускор (ускоренная? Разность потенциалов – меняет импульс)

T = eUуск

λ = h/sqr(2meU)

схема опыта Тартаковского 1928

(катод, сетка, диафрагма, фольга-поликристалл цилиндр фарадея)

2dSinφ=mλ

на экране наблюдаются дифрагционные кольца. Максимум соответствует условию Вульфа-Бреггов.

Тогда возникает вопрос. Может быть такую картину дают не электроны а рентгеновские лучи? Создали магнитное поле, которое бы нейтрализовала рентген. - диффрагция не исчезла.

Электроны обладают волновыми свойствами.

Обладают ли другие частицы волновыми свойствами?

В лаборатории Штерна 1932 г. На атомах водорода и гелия поставлены опыты, доказавшие наличие волновых свойств.

В 1940 опыт на нейтронах.

Обладает ли волновыми свойствами каждая частица или только их совокупность?

1949 г. Поставлен опыт Фабрикана, Бибермана, Сушкина.

Через установку проходило буквально по 1му электрону и присутствовала дифрагционная картина.

Каждой частице присущи волновые свойства.

Нельзя отождествлять частицу и волну. Корпускулярность природы электрона (фотоэффект).

§3 Общие свойства волн. Волновой пакет.

1)Волновое уравнение

V – фазовая скорость

d2S/dx2 = d2S/V2dt2 волновое уравнение в одномерном случае

d2S/dx2 + d2S/dy2 + d2S/dz2 = d2S/V2dt2 3мерный случай

d2S/dx2 + d2S/dy2 + d2S/dz2 = ∆S – оператор лапласса

∆S = d2S/V2dt2

Решение волнового уравнения.

2)Плоская монохроматическая волна.

(Фронт волны – плоскость, один цвет, ω=const, A=const)

S=ACos ω(t-(x/V))=ACos(ωt – (2Pix/TV))

ω = 2Pi/T VT= λ 2Pi/ λ = k

S=ACos(ωt –kx)

Смещение от положения равновесия точки с координатой x в момент времени t

3-хмерный случай:

S=ACos(ωt –kr) (k, r - вект)

k – волновой вектор

|k| = 2Pi/ λ

Смещение от положения равновесия точки характеризующейся вектором r в момент времени t

3)Принцип суперпозиции (наложения) волн.

Если в среде распространяется несколько волн, они перемещаются независимо друг от друга.

S = C1S1 + C2S2

S= ∑CnSn

Среда линейная (свойства не меняются под воздействием распространяющихся волн)

Волны взаимно независимы.

Смещение – геометрическая сумма смещений, возникших в отдельных волновых процессах.

4)Волновой пакет

- Суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающая определенный объем в пространстве.

Волновой пакет:

Везде кроме ∆x A=0

Плоская монохроматическая волна – идеализированный объект:

В реальности мы имеем дело с волновыми пакетами.

S1=A0Cos(ωt –kx)

S2= A0Cos((ω+dω)t –(k+dk)x)

dω << ω

dk << k

S = S1 + S2 = 2A0Cos ((dωt – dkx)/2)Cos(ωt –kx)

Здесь 2A0Cos ((dωt – dkx)/2) – амплитуда (зависит от времени и координаты); Cos(ωt –kx) – фаза.

Это уже не гармонический волновой процесс. Если волновых процессов больше, тем уже волновой пакет.

Фазовая скорость V: ωt –kx = const

V=dx/dt=ω/k

Групповая скорость U (скорость перемещения центра энергии группы волн) :

dωt – xdk = const

U = dx/dt = dω/dk

Фазовая скорость не переносит энергию, групповая переносит.

U = dω/dk = d(Vk)/dk = V+ (kdV/dk) = VkdVd λ/d λ dk

λ = 2Pid λ/kdk = - 2Pi/k2

U = V + k (- 2Pi/k2) (dV/d λ) = V – (λdV/d λ) = U

Если dV/d λ > 0 тогда U<V нормальная дисперсия

Если dV/d λ < 0 то U>V аномальная дисперсия.

Если dV/d λ=0 то среда не дисперсирующая

Волновой пакет может перемещаться только в недисперсирующей среде (вакуум?)

В диспергирующей среде пакет расплывается.

§4 Свойства волн де Бройля.

1)Так как волны де Бройля – волновые процессы, то все характеристики присущие волнам, можно применить к волнам де Бройля.

A, ω, ν, фаза, пространственные координаты x, y,z, и время t.

Свойства отличаются от реальных волн:

2)Фазовая скорость – скорость распределения в пространстве фазы волны.

V~C для релятивистской частицы.

Vфаз = ω / k

ω - угловая частота, k - волновое число

= 2Pi ν λ/2Pi = ν λh/h = h ν / p

Т. к. по де Бройлю λ = h/p, λ/ h=p

h ν = ε – энергия фотона или кванта

Vф = E/p = mC2/mV = С2/V V<C

Vф > C

СТО – специальная теория относительности. Отличительное свойство, нехарактерное для других волн.

3) Групповая скорость – равно скорости с которой распространяются в пространстве группы волн.

Групповая скорость Vгр=U – скорость амплитуды группы волн.

Vгр = U = d(ωħ)/d(ħk) = dE/dP

E2 = E02 + p2C2

U = d(sqr(E02 + p2C2))/dp = 2pC2/2sqr(E02 + p2C2)= pC2/E = pC2/mC2= p/m = mV/m = Vчаст=U

U=Vчаст

=> любую частицу можно представить в виде волнового пакета.

4)Дисперсия волн де Бройля

Дисперсия – зависимость фазовой скорости от длины волны.

Vф=f(λ)

В вакууме все реальные волны с различными длинами волн распространяются с одинаковой скоростью, те в вакууме нет дисперсии. ε = 1 (в вакууме.)

Среды с ε > 1 диспергируют.

Рассмотрим волны де Бройля:

Vф = ω / k = E/p = (E02 + p2C2)/p = sqr((E02 + p2C2)/p2) = sqr((E0/ p2)+ C2)

λ =h/p => p = h/ λ

Vфаз = sqr((E02 λ2 / h2)+ C2) = f (λ) - не зависит от среды

волн де Бройля наблюдается дисперсия даже в вакууме.

5)Волны де Бройля и второй постулат Бора. (правило квантования орбит)

Le (момент импульса орбит) = mVr = nħ – правило квантования орбит

ħ = h/2Pi, n=1,2,3… ,бесконечность - квантовое число

mVr = nh/2Pi

2PirmV = nh mV=p

2Pirh/ λ = nh

2Pir = n λ

C точки зрения гипотезы де Бройля 2й постулат Бора:

стац. Орбитами электрона в атоме называются такие орбиты на длине которых укладывается целое число волн де бройля.

n=4

§5 Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

1)разрыв однозначных связей между p и x в квантовой механике

Квантовая механика – особенность движения микрочастиц.

Микрочастицы – мелкие массы

В классической физике при движении классической мкч всегда наблюдается однозначная связь между импульсом этой частицы и ее координатами

В квантовой физике:

∆x стремится к 0:

λ определено точно.

∆P = 0

Положение объекта любое.

∆x!=0, λ определено не точно.

∆P не точно, ∆P!=0,

∆x стремется к 0: λ невозможно определить, P не точно, ∆P стремится к бесконечности

отсутствие траектории обусловлено волновым свойством.

2) Соотношение неопределенностей импульса и координат.

{∆x∆Px>= ħ

∆y∆Py>= ħ

∆z∆Pz>= ħ}

Произведение неопределенности координат на неопределенность импульса (?) не может быть менее ħ

3) Соотношение неопределенностей энергии и времени.

∆E∆t>= ħ

Разброс значений операции

E в атоме водорода

n=1

∆t стремится к бесконечности

∆E∆t= ħ

∆E = ħ/∆t = 0

n=2

∆t = 10 –8 c

∆E= 10 – 34 / 10 – 8 = 10 – 26Дж

4)философские толкования

Одновременно точно импульс и координаты у мкч определить нельзя

§6 Волны де Бройля и волновая функция.

1.Формула Эйлера и комплексная формула записи волн.

S (x, t) = aCos (ωt – kx +σ)

ωt – kx + σ = α

Формула Эйлера: e+-i α = Cos α +- iSin α

Для p – x iSin α = 0

aCos α = a e+-i α

S(x, t) = a e+-i α

2.Волновая функция и волна де Бройля

Пси функция обусловлена колебанием волны в пространстве

Ψ(x, t) = a e+-i α

Ψ(x, t) = a e+-i (ωt – kx +σ) = ae +-i σ e+-i (ωt – kx)

ae +-i σ =A

ωt – kx = (Et - px)(1/ ħ)

Ψ(x, t) = Ae-i(1/ ħ) (Et - px) для свободной мкч

§7 Вероятностное толкование волн де Бройля.

Ψ ψ

Ψ(x, t) = A e–i(ωt –kr) =Ae –(1/ħ)(Et - pr) - свободная мкч

Ψ(r, t) = A e–i/ ħ (Et –pr) = A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

Ψ(x, t) = A(x, t) e–i/ ħ (Et –pt)

Прохождение мкч через кристалл

Или отражается или проходит.

W – вероятность: | Ψ (x, t)|2

Мысленный интерференционно - дифференционный опыт:

Две щели, на них направлен поток электронов и ставится фотопластинка. Там куда попадают электроны пленка темнеет. Время экспозиции τ.

Щели поочередно открывают.

Если поток сделать очень слабым, то картина сохранится (опыт фабрикана)

Электрон «чувствует» какая щель открыта, обе щели действуют на него. Электрон пройдет только через 1 щель. Движением мкч управляют волновые свойства.

Вероятность попадания электрона в щель:

| Ψ |2 dV (объем)

| Ψ |2 = dW/dV – плотность вероятности

| Ψ (x, y,z, t) |2 = dW/dV – плотность вероятности обнаружить мкч в точке с координатами x, y,z в момент времени t

Ψ (x, y,z, t) = A e–i/ ħ (Et –pr)

| Ψ (x, y,z, t) |2 = Ψ (x, y,z, t) Ψ*(x, y,z, t)

Ψ*(x, y,z, t) – комплексная сопряженная

Плотность вероятности – вероятность, отнесенная к единице объема.

В квантовой механике движение 1й мкч уже связано с W

1 частица имеет вероятностный характер.

§8 Вероятность нахождения мкч. Нахождение средних значений функции от координат. (роль Ψ –фунукции в квантовой механике)

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px)

| Ψ(x, t) |2 = dW/dV

dW = | Ψ(x, t) |2 dV

W = (интеграл от x1 до x2)( Ψ*(x, t) Ψ(x, t)dx)

Условие нормировки:

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x, t) |2 dx) =1 одномерный случай

(3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x, y,z, t) Ψ(x, y,z, t)dxdydz) = 1

Плоская волна де Бройля не нормируется на единицу:

Свободная мкч

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px)

| Ψ(x, t) |2 = A e–i/ ħ (Et –px) A e–i/ ħ (Et –px) = A2

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x, t) |2 dx) стремится к бесконечности

Непрерывна однозначна конечна!

Нахождение средних значений координаты и функции от координат.

<F(x)> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (F(x)W(x)dx)

Здесь W(x) – плотность вероятности, d(x) – класс статист.

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (W(x)dx) = 1

В квантовой механике:

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ(x, t)* f(x) Ψ(x, t) dx) =

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x)2| f(x) dx) =

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx) = 1

<f (x, y,z)> = (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x, y,z, t) f(x, y,z)Ψ(x, y,z, t)dxdydz)= (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( |Ψ(x, y,z, t)|2 dxdydz)=1

Глава 5. Уравнение Шредингера.

§1 Особенности волнового уравнения для микрочастицы.

Классическая физика:

md2x/dt2 = F(t)

V = dx/dt = 1/m (интеграл) (F(t)dt+C)

x = (интеграл) (Vdt + C’)

квантовая механика:

- движение расплывчатое

Ψ(x, t)

W = (интеграл от x1 до x2)|Ψ(x, t)|2dx

<x> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx)

∆x∆Px>> ħ при условии (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x, t)|2dx) = 1

Уравнение должно быть линейным тк должен быть справедлив принцип суперпозиции в квантовой механике.

Если мкч может находится в состоянии которое описывается функцией Ψ1 и может находится в состоянии Ψ2 то она также может находится в состоянии, описываемом

Ψ=С1 Ψ1+С2 Ψ2

C1 C2 – произвольные константы

Ψ = ∑ Сi Ψi

Аналог – белый свет и монохроматические волны. В квантовой механике складываются функции, а в классической – вероятности.

§2 Общий вид уравнения Шредингера от времени.

1920 г. Постулат.

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2) = i ħ (∂ Ψ/∂t) – для свободной мкч

Для трехмерного случая:

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2 +∂2 Ψ/∂y2 +∂2 Ψ/∂y2 ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

В операторной форме:

- ħ2/2m * ∆ Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

t-независимая переменная

неизвестная функция Ψ(x, y,z, t)

С учетом силового поля:

E = T + U (x, y,z, t)

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2) + U(x, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2 +∂2 Ψ/∂y2 +∂2 Ψ/∂y2 ) + U(x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

- ħ2/2m * ∆ Ψ + U(x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Решение - Ψ (x, y,z, t)

§3 Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общая характеристика стац. Состояний

Состояние называется стационарным если | Ψ (x, y,z, t) |2 = const

M(x, y,z)

U (x, y,z, t) = U (x, y,z)

E = p2/2m + U(x, y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |2 = const

| Ψ (x, y,z, t) |2 = const

Ψ (x, y,z, t) = e if(x, y,z, t) ψ (x, y,z)

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px) удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x, y,z, t) = e if(x, y,z, t) A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

ψ = A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

U (x, y,z, t) = U (x, y,z)

- ħ2/∂x2 + U (x, y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x, t) = e–i/ ħ (Et ) ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e–(i/ ħ) E ∂ ψ /∂x

∂ 2Ψ/∂x2 = e–(i/ ħ) ∂2 ψ /∂x2

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ∂ ψ

(- ħ2/2m) e–(i/ ħ) Et (∂2 ψ /∂x2) + U (x, y,z) e–(i/ ħ) Et ψ = i ħ–(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ψ

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2) + U (x, y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p2/2m – U(x, y,z)

ψ (x, y,z)

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ2/2m) ∆ Ψ = 0

(- ħ2/2m) ∂ 2Ψ/∂x2 =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x, t) = Ae–i/ ħ (Et -px)

Уравнение Шредингера в стац состоянии для свободной мкч.

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2 + ∂2 Ψ /∂y2 + ∂2 Ψ /∂y2) = E Ψ

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2) = E Ψ – одномерный случай

Уравнение Шредингера описывает возможные состояния волн де Бройля

§4 Уравнение Шредингера для n частиц

Ур. Стационарного состояния для 1й частицы: (- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Система находится под действием силы F

(- ħ2/2) ∑ (1 /mi) ∆i Ψ + [∑ U (ri) + Uвзаимодействия (r1 …. rN)] Ψ = EΨ

U (ri) – Eпот iй мкч в силовом поле

Uвзаимодействия - Eпот взаимодействия всех частиц

E – полная энергия всех частиц

Решение: Ψ (r1 …. rN)

Решив уравнение можно найти | Ψ (r1 …. rN)|2 = dW/dV

§5 Анализ решений уравнений Шредингера

1.Сравнение с обычным волновым уравнением:

∂2 S /∂x2 = 1 ∂2S/ U2 ∂t2

Его решение: S = A Cos (ωt - kx)

По теореме Эйлера: S = e - i(ωt - kx) = A [ Cos (ωt - kx) - iSin(ωt - kx)]

iSin(ωt - kx) – не отражает реального физического пр. (??)

В решении уравнения Шредингера мы не отбарсываем мнимую чать:

(- ħ2/2m) (∂2Ψ/∂x2 ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ = ACos (ωt - kx) – не решение

Решение: Ψ =Ae-i(ωt - kx) = A [Cos(ωt - kx) - iSin(ωt - kx)] – плоска волна де Бройля

2.Начальные и граничные условия

Решить уравнения модно только зная начальные и граничные условия

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x, y,z, t) – решение

Ψ (x, y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x, y,z, t) →Ψ (x, y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные условия входит Епот в явном виде

U (x, y,z, t)

Ψ (0,t) Ψ (e, t)

3. стандартные естественные условия

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция непрерывна

2.однозначна

3.конечна – требование из условия нормировки (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x, y,z, t)|2dxdydz) = 1

4. собственные значения и собственные функции

(- ħ2/2m) ∆ ψ + U (x, y,z) ψ = E ψ

ψ1 ψ2 ψ3 - собственные функции

E1 E2 E3 - собственные значения E

Не все пси функции удовлетворяют этому условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C Ek = p2/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C Ek = mC2 – m0C2 – уравнение Дирака учитывающее спин

Глава 6. Применение квантовой механики.

§1 Движение мкч в свободном пространстве.

1.уравнение Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2 ) = E ψ

E = p2/2m

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂2 ψ /∂x2 ) = r2 ψ

r2 ψ + k2 ψ = 0

ψ != 0

r2 + k2 = 0 => r = +- ik

ψ = A e ikx + B e –ikx

2.собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ2) E) = sqr((2m/ħ2) (p2/2m)) = p/ ħ

ψ = A e –i (p/ ħ )x + B e –i (p/ ħ ) x

умножаем на временной множитель

f(t) = e –i/ ħ (Et)

Ψ (x, t) = ψ(x) e –i/ ħ (Et)

Ψ (x, t) = A e –i/ ħ (Et - px) + B e –i/ ħ (Et + px)

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x, t) = A e –i/ ħ (Et - px)

3. собственные значения энергии

(2m/ħ2) E = k2

E= k2 ħ2/2m

- Квадратичная функция.

§2 Движение мкч в потенциальном ящике.

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных ям.

Потенциальная яма – область прорыва в которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.

Ямы могут имеет самую причудливую форму.

Для удобства вид ямы сводят к прямоугольному виду

Потенциальный ящик – одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

U(x) = {0 0<x<L

Бесконечность 0>=x, x>=L}

Мкч не может выйти за пределы ящика, граничные условия:

{ ψ (0) = 0

ψ (L)=0}

уравнение шредингера и его решения для частицы в потенциальном ящике

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ikx + B’ e –ikx

По т. Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2 тогда ψ1 = Cos kx

A’ = - i/2 B’= - i/2 тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x, t) = e –i/ ħ (Et ) (ASinkx + BCoskx) - амплитудное рещение

Ψ (x, t) = Ae –i/ ħ (Et ) Sinkx + B e –i/ ħ (Et ) Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0 ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ2) E = (nPi/L)2

E= n2 Pi2ħ2/2mL2

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E1= Pi2ħ2/2mL2

E2=4 Pi2ħ2/2mL2 итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = En+1 – En = (n+1)2 (Pi2ħ2/2mL2) – n2 (Pi2ħ2/2mL2) = (2n+1) (Pi2ħ2/2mL2) ~ n

Дискретность проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность ∆E/E = 2n+1/n2 ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Собственные функции

ψ (x) = ASin(nPi/L)x

Условие нормировки:

(интеграл от 0 до L) (A2Sin2(nPix/L) dx) =1

A2 1/2 (интеграл от 0 до L) (1 - Cos(2nPix/L) dx) =1

A2 1/2 [(интеграл от 0 до L)(dx) - (интеграл от 0 до L) (Cos(2nPix/L) dx)] =1

A2 1/2 [x| - ((1/2n(Pi/L)) (Sin(2nPix/L) )) |] =1

A2 L/2 = 1

A = sqr (2/L)

ψ (x) = sqr (2/L) Sin(nPi/L)x

Ψ (x) = sqr (2/L) e –i/ ħ (Et ) Sin(nPi x /L)

n=1 ψ 1 = sqr (2/L) Sin(Pi x/L) E= Pi2ħ2/2mL2

n=2 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(2Pi x/L) E= 4Pi2ħ2/2mL2

n=3 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(3Pi x/L) E= 9Pi2ħ2/2mL2

n – число максимумов

для классической частицы будет просто прямая.

n стремится к бесконечности – кривая вырождается в прямую

принцип соответствия Бора: квантовая механика переходит в классическую.

Общие выводы:

- спектр энергии мкч в потенциальном ящике дискретен

- минимальная Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике!= 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя

- дискретность энергии мкч проявляется только при достаточно малых размерах потенциального ящика и малой массе мкч

- дискретность исчезает при n, стремящемся к бесконечности.

§3 Отражение и прохождение мкч через Потенциальный барьер.

1.Потенциальный барьер – область, в которой Епот больше чем в остальных точках пространства.

U={U0 x>=0

0 x<0}

1)Eкин>U0

2)Eкин<U0

По требованию непрерывности

ψ1(0) = ψ2(0)

ψ1’(0) = ψ2’(0)

2.уравнение Шредингера и его решение

1)я область

U(x)=0

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k12

k1 = sqr ((2m/ ħ2)(p2/2m)) = p/ ħ = p2Pi/ ħ2Pi = 2Pi/λ – волновое число

2)я область

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

2m (E - U0) ψ/ ħ2 = k2

{(d2 ψ /dx2 ) + k12ψ = 0

(d2 ψ /dx2 ) + k22ψ = 0}

Решение

1)ψ1(x) = A1 e ik1x + B1 e –ik1x - отражается от потенциальной ступени

Волн. Пад. Отр. Волн.

2)ψ2(x) = A2 e ik2x + B2 e –ik2x - ни от чего не отражается B2=0

Ψ1 (x, t) = A1e –i/ ħ (Et ) eik1x + B1 e –i/ ħ (Et ) e-ik1x

Ψ2 (x, t) = A2e –i/ ħ (Et ) eik2x

3.Микро и макро частицы на грани 2х сред

Макрочастицы:

T1=mV12/2 U=0

T2=mV22 – U0

mV22 < mV12/2

V2 < V1 T1>U0

T1<U0 тогда mV22< 0

V2 – мнимая величина: во вторую область макрочастица не пройдет

Микрочастица:

ψ1(x) = A1 e ik1x + B1 e –ik1x

ψ2(x) = A2 e ik2x

1)E> U0

мкч может пройти во вторую область, а может отразиться

|ψ1(x)|2, |ψ2(x)|2

2)E< U0 тоже самое

4.Определение коэффициента отражения R и коэффициента прозрачности D

R=N’/N=число отраженных частиц/число падающих частиц = |B1|2/|A1|2

D=N’’/N=число прошедших частиц/число падающих частиц = |A2|2/|A1|2

N=nV1 n-концентрация

Скорость частиц 1 и 2 разная V1 V2

N, N’,N’’ – число частиц, падающих на 1 площади в 1 времени

A1 – характеризует плотность потока падающих частиц

A1=1 R= |B1|2

D = |A2|2 (V2/V1) = |A2|2 (k2/k1)

(V2/V1) = (P2/P1) = (k2/k1)

1+ B1= A2 => ψ1(0) = ψ2(0)

ik1A1 e ik1x + ik1B1 e - ik1x = ik2A2 e ik2x

ψ1’(0) = ψ2’ (0)

k1(1+ B1)= k2A2

{1+ B1= A2

(1+ B1)= (k2 / k1)A2 }

2 = A2(1+ (k2 / k1))

A2 = 2 k1/ k1+ k2

B1= A2 - 1 = (2 k1/ k1+ k2) – 1 = 2 k1 - k1 - k2/ k1+ k2

B1= k1 - k2/ k1+ k2

R=| k1 - k2/ k1+ k2|2

D = (4 k12 / (k1+ k2)2) (k2/ k1)

D = 4 k1 k2/ (k1+ k2)2

R+D=1

D = D0 e –(2/ ħ)sqr(2m(U0 - E)) L

D0 = 1 обычно

5.Частные случаи

1)U0 = 0 => k1= k2 R=0 D=1 мкч проходит в II

2) U0 = E макрочастица проходит в II со скоростью V=0

k1!= 0 k2= 0

R=1 D=0

3) E > U0 k1-действ. число k2-дч

k1 > k2 λ1 < λ2

4) E < U0 | ψ II|2 != 0 микрочастица может пройти во II область

k1-действ. число k2-мнимое число

R = | k1 - ik/ k1+ ik|2 = (k1 - ik/ k1+ ik)( k1 + ik/ k1- ik) = 1

D = 0 ψ II =A2e-kx

Вектор Умова-Пойнтинга = 0

Аналог – полное внутреннее отражение

§4 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

1)

U(x) = {0, x<0, x>L

U0, 0<=x<=L}

2)Уравнение Шредингера

Обл. I и III

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + ( 2m E ψ/ ħ2 ) = 0

k1,3 = sqr (2mE / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k1,32 = 0

Обл II

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

k2 = sqr (2m (E - U0) ψ/ ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k22ψ=0

Решение:

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e ik2x + B2 e –ik2x

ψ III(x) = A3 e ik1,3x + B3 e –ik1,3x

B3 = 0

Анализ решения уравнения Шредингера

1)E>U0

k1,3 и k2 – действительные числа

k1,3 > k2 λ = 2Pi/k λ1,3 < λ2

2) E<U0

k1,3– действительные числа и k2 – мнимое. k2 = ik

Энергия микрочастицы принимает любые значения

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e –kx + B2 e kx B2=0

ψ III(x) = A3 e - ik1,3x

микрочастица «просачивается» через потенциальный барьер

Туннельный эффект

Холодная эмиссия электрона из металла

Вн. Эл поле меняет профиль потенциальной ямы.

§5 Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины.

1. U(x) = {U0, x<=0, x>=L

0, 0<x<L}

2.Уравнение Шредингера

I, III U(x) = U0

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

k1,3 = sqr (2m (E - U0) / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k1,32 ψ = 0

II

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m E ψ/ ħ2)=0

k2 = sqr (2m E / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k22 ψ = 0

Решение:

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e ik2x + B2 e - ik2x

ψ III(x) = A3 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x B3=0

Анализ решения:

1)E> U0 (микрочастица свободная)

k1,3 и k2 – действительные числа

k1,3 > k2 λ = 2Pi/k λ1,3 < λ2

рис*

Энергия не квантуется

2)E< U0

k2 - действительное число

kII3 – мнимое число k1,3 = ik

Решение:

ψ1(x) = A1 e - kx + B1 e kx A1 e –kx не удовлетворяет условию конечности при x<0 - сокращаем

ψ2(x) = A2 e ik2x + B2 e - ik2x

ψ3(x) = A3 e - kx

пси функция удовлетворяет только при определенных значениях E. E квантуется

спектр энергий дискретный

E= n2 Pi2ħ2/2mL2

В потенциальном ящике n – бесконечно

В потенциальной яме n - конечно.

Вероятность обнаружить мкч:

Мкч можно обнаружить в I и III области.

§6 Квантово-механический осциллятор

1.Гармонический осциллятор

- точка или система точек, совершающая гармонические колебания.

X=ACosωt

F = - c x c – коэффициент упругости

Сила упругая или квази упругая

F= - grad U

U = cx2/2

2.Классический гармонический осциллятор

(рисунок шарик на пружинке)

md2x/dt2 = - cx Fy = - cx

d2x/dt2 + cx/m =0 c/m=ω02

d2x/dt2 + ω02x = 0

решение: x = ACos(ω0 + φ0) - смещение от положения равновесия

V = dx/dt = - A ω0Cos(ω0t + φ0)

T = mV2/2 = (m A2 ω02 / 2) Sin2(ω0t + φ0)

U = cx2/2 = (cA2Cos2(ω0t + φ0))/2

U = (m A2 ω02 Cos2(ω0t + φ0)) / 2

E = T + U = m A2 ω02 / 2

-A, A – точки поворота – U=E

Вероятность местонахождения

dW/dx – плотность вероятности

(интеграл от –A до А)(Wdx) = 1

3.Квантово-механический осциллятор

Электрон в атоме, атом в кристалле… колеблющаяся частица???

Уравнение Шредингера

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + (cx2/2) ψ = 0

Решение: ψ = An eαx^2

An – нормирующий множитель

Пси функции удовлетворяют стандартным естественным условиям не при всех E

Энергия осциллятора

E = (2n + 1) ħ ω0/ 2 n = 0,1,2,3…

ħ ω0 – расстояние между уровнями

Энергия меняется по параболическому закону

Emin, n=0: Emin = ħ ω0 /2

n=1: E1 = 3ħω0 /2

n=2: E2 = 5ħω0 /2

Классический гармонический осциллятор может находится в состоянии покоя, механический – нет.

ħω0 – энергия нулевых колебаний

нулевые колебания – колебания которые квантово-механический осциллятор совершает при t=0

ставили опыты. Интенсивность рассеяния при определенных условиях минимальна. При t=0 колебания есть, иначе было бы нарушение ∆x∆Px>= ħ (соотношение неопределенности импульса и координат)

доказано при наблюдении рассеивания света на монокристалл.

С возрастанием n, квантово-механический осциллятор стремится к классическому.

§7 Квантово-механическая модель атома.

1.Качественное рассмотрение

r = n2ћ2/kme2

II обл

T = ke2/2r U=-ke2/r

E = T+U=-ke2/2r

r стремится к бесконечности, U стремится к 0

r стремится к 0, U стремится к - бесконечности

I обл E>0, принимает любые значения

II обл E<0

2. Уравнение шредингера для электрона в атоме водорода

U=-ke2/r

(- ħ2/2m)∆ψ + (-ke2/r) ψ = E ψ

∆ψ + (-2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ = 0

Сферические координаты

M(r,θ,φ)

X = 2Sinθ Sinφ

Y=2Sinθ Cosφ

Z=rCosθ

∆ = (1/r2)( ∂/∂r)(r2∂/∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂/∂θ)+( 1/r2Sinθ)( ∂2/∂φ2)

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r2Sinθ)( ∂2 ψ /∂φ2) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ = 0

Решение:

ψ (r,θ,φ)

1) E>0, при любых E

2)E<0

Уравнение решилось только при введении дополнительных параметров: n, L, me

3.Квантовые числа

1)Главное квантовое число n=1,2,3…

E = - (1/n2) (k2me4/2ћ2)

2) Орбитальное квантовое число l=0,1,2,…,(n-1)

Характ. Орбит. Момент.

L=sqr(l(l+1)) ћ, L=[r, P] (вект), p=mV(вект)

3) магнитное квантовое число me= 0, +-1,+-2,…,+-l

Lz = me ћ

Состояние электрона в атоме

Таблица:

n l me сост

S

2 0|1 0|-S|2p

3 0|1|2 0|-1 0 1|-2S|3p|3d

При одном и том же n может быть несколько состояний. Состояние электрона с одинаковой энергией называются вырожденными.

Кратность вырождения N

n, l – n значений m=(2n+1)

N=∑(от эль до n-1)(2l + 1) = 1+3+5…

N=(1+2n-2+1)n/2=n2

4.спектр атома водорода. Правило отбора.

∆l = +-1

∆me = 0,+-1

Правило отбора отражает закон сохранения импульса.

Серия лаймана (n, p --- 1S), n=2,3…

Серия Бальмира (nS --- 2p), (nd---2p), n=3,4

5.сферич. Симметрич. Случай. (1S сост)

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r2Sinθ)( ∂2 ψ /∂ φ 2) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

ψ (r,θ,φ)

∂ ψ /∂ θ = 0 ∂ ψ /∂ φ = 0

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

(1/r2) 2r ( ∂ ψ /∂r) (1/r2) r2∂ 2ψ /∂r2 + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

∂ 2ψ /∂r2 + (2/r) ( ∂ ψ /∂r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

ψ = e - ar

∂ ψ /∂r = - a ψ

∂ 2ψ /∂r2 = a2 ψ

a2 ψ – (2a ψ/r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

a2 – (2a /r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) =0

(a2 + 2mE /ħ2) + (2/r)( kme2/ћ2 - a) =0

kme2/ћ2 - a =0

a = kme2/ћ2 a=1/r

ψ = e -2/r

a2 + 2mE /ħ2 =0

E= - ħ2a2/2m = - ħ2k2m2e4/2mћ4 = - k2m2e4/2ћ2

6. Местонахождение электрона в атоме в 1S состоянии

ψ = Ae - r/r1 A – нормирующий множитель

(интеграл от 0 до бескон.)( A2e -2r/r1)dV = (интеграл от 0 до бескон.)( A2e -2r/r14Pir2)dr = 1

dV=4Pir2dr

4Pi A2(интеграл от 0 до бескон.)( r2 e -2r/r1) = 1

A2 Pir13=1

A = sqr (1/ Pir13)

ψ = e - r/r1/ sqr ( Pir13)

dW = | ψ 2|dV

dW = (e -2r/r1/ ( Pir13)) 4Pir2dr – вероятность обнаружить электрон в dr

Радиальная плотность вероятности:

ρ(r) = dW/dr = (1/ Pir13) (e -2r/r1) 4Pir2

r стремится к 0, ρ(r) стремится к 0

r стремится к бесконечности, ρ(r) стремится к 0

∂ ρ(r) /∂ r = 0

(4/ r13)((-2/ r1) (e -2r/r1)r2 + 2r(e -2r/r1))=0

(4/ r13)( 2 r e -2r/r1)(1 – r/r1) = 0

1 – r/r1 = 0

r = r1 – максимальный радиус плотности вероятности

Сравнение с теорией Бора

ψ = e - r/r1/ sqr ( Pir13)

§8 Магнитные свойства и спин электрона.

Энергетические уровни электрона в атоме расщепляются изза того, что электрон имеет магнитный момент.

L = [r, mV] – момент импульса

Pm = JS

Pm / L = l/2m

В квант механике

L= sqr(l(l+1)) ħ

L=n ħ по Бору

(l/2m) ħ sqr(l(l+1))

Pm = - eL/2m (вект) – орбитальным магнитный момент

e/2m – гиромагнитное отношение

по квантово-механической модели:

L = sqr(l(l+1)) ħ – закон квантования магнитных моментов

Pm = sqr(l(l+1))μб

μб = e ħ /2m – минимальная порция магнитного момента в природе

Запустили в состояние 1S => L=0

Если L=0 атомы прошли и с МП(магнитное поле?) не взаимодействовали. НО

Опыты Штерна и Германа

F = μ (∂B/∂x)Cosα

Cosα = (μ, B) (вект)

1S n=1 l=0 me=0 Pm=0

Опыт состоял в следующем: пучок атомов серебра пропускали через сильно неоднородное магнитное поле, создаваемое мощным постоянным магнитом. При прохождении атомов через это поле, в силу обладания ими магнитных моментов, на них действовала зависящая от проекции спина на направление магнитного поля сила, отклонявшая летящие между магнитами атомы от их первоначального направления движения. Причём, если предположить, что магнитные моменты атомов ориентированы хаотично (непрерывно), то тогда на расположенной далее по направлению движения атомов пластинке должна была проявиться размытая полоса. Однако вместо этого на пластинке образовались две достаточно чёткие узкие полосы, что свидетельствовало в пользу того, что магнитные моменты атомов пучка принимали лишь два определённых значения, что подтверждало предположение квантово-механической теории о квантовании магнитного момента атомов.

Гипотеза об электронном спине

У электрона есть собственный магнитный момент

Ls – спиновый механический момент (момент импульса)

Pms – спиновый магнитный момент

1925 Гаудсмит и Уленберг (1я теория. не прошла.)

S=1/2 ms = +-1/2

Ls = sqr(S(S+1)) ħ Ls = sqr(3) ħ /2

S – спиновое квантовое число

|Pms| = e Ls / m = (e ħ / m) sqr(S(S+1)) = sqr3 μб

Проекция на выбранное направление z:

Pmsz = e Lsz / m = e sqr3 ms ħ / m 2 = +- μб

Lsz = ms ħ

Электрон движется по орбите. У него будто маленькая магнитная стрелочка.

Объяснение расщепления спектральных линий:

Без учета спина:

С учетом спина:

Уровень расщепляется, линии носят дублетный характер

Тонкая структура линий.

Глава 6. Применение квантовой механики.

§1 Принцип Паули (1925).

Состояние электрона в атоме характеризуется квантовыми числами:

Главное квантовое число: n=1,2,3.. E=-(1/n2)(k2me4/2 ħ 2)

Магнитное квантовое число: l=0,1,…,n-1 L= sqr(l(l+1)) ħ

Орбитальное квантовое число: ml=0,+-1,…,+-l Lz = ml ħ

Спиновое квантовое число: ms = +- ½ Pmsz = +- μб

В атоме не может быть 2х одинаковых электронов, находящихся в 1м и том же состоянии, кот. Характеризуется одним и тем же набором квантовых чисел.

Сколько электронов может быть в атоме при значении n? – 2n2 эл

§2 Распределение электронов в сложных атомах по оболочкам. Таблица Менделеева.

Принцип Паули определяет возможное количество электронов в атоме.

n=1 K-оболочка l=0 ml=0 ms=+-1/2 2 эл

n=2 L-оболочка l=0,1 ml=0,-1,0,1 ms=+-1/2 8 эл

n=3 N-оболочка l=0,1,2 ml=0,-1,0,1,-2,-1,0,1,2 ms=+-1/2 18 эл

n=4 M-оболочка 32 эл

электроны располагаются не произвольно а по оболочкам

распределение электронов по оболочкам

n	оболочка	подоболочки	Всего эл.
S(l=0)	P(l=1)	d(l=2)	f(l=3)	g(l=4)
1	K	2					2
2	L	2	6				8
3	M	2	6	10			18
4	N	2	6	10	14		32
…	…	…	…	…	…	…	…

Таблица Менделеева

I период {1.водород H – 1S1

2.гелий He – 1S2}

II период {3.литий Li – 1S22S1

4.бериллий Be – 1S22S2

10. Ne - 1S22S22p6}

§3 Спектр сложных атомов.

1.Рентгеновские спектры.

λ = –м

U = –В

Подогревный катод нужен чтобы испускать электроны

На фоне сплошного спектра выделяются спектральные линии

2.Тормозное рентгеновское излучение (белое)

- сплошная часть спектра

Высокое U сообщает высокую V электрону

T=eU

Энергия большая

hνmax = eU = hC/λmin

Коротковолновая граница тормозного рентгеновского излучения λmin= hC/ eU

Тормозное рентгеновское излучение не зависит от материала катода и анода.

При увеличении U излучение становится более жестким, λmin смещается в сторону коротких длин волн.

U2>U1

Характеристическое рентгеновское излучение

Зависит от материала анода

У каждого элемента свой спектр

Возникает если электрон имеет достаточную энергию для того чтобы выбить какой-либо электрон с оболочки

kα, kβ, kγ,.. серия k

аналогичная L серия с L оболочкой

самое жесткое излучение: k серия

kα – бОльшая интенсивность

kγ – бОльшая частота

sqr(ν) = a (z - b) – закон Мозли

a – константа в пределах каждой серии. z – порядковый нормер. b – константа экранирования в пределах серии.

Можно переписать его подобно сериальной формуле для оптических спектров:

1/λ = R (z - b)2(1/ni2-1/nj2)

R = 1,1 10 –7 м –1

a = R (1/λ) (1/ni2-1/nj2)

k – серия: b=1

l – серия: b=7,5

переход электрона с более дальнего от ядра на ближний уровень(оболочку) происходит в МП других электронов, они экранируют.

ν = С/ λ

С/ λ = ν = CR(z - b)2(1/ni2-1/nj2)

ni – номер оболочки куда переходит электрон, nj – откуда переходит

k-серия как одна серия не наблюдается, происходят и другие серии

включаем рентгеновскую трубку, первым появляется тормозное излучение, увеличиваем U и появляется характеристическое излучение

a = R (1/ni2-1/nj2) (1/λkα)

(1/λkα) = R (z-1)2(1-(1/4))

И оптические спектры и рентгеновские спектры могут наблюдаться на 1 объекте.

Рентг – с глубоких оболочек, близких к ядру

Оптич – (не обязательно выбивать электроны) воздействие фотона. Перемещение на возбужденный уровень. E меньше.

Природа одинаковая – электромагн. Волны.

Глава 7. Элементы квантовой статистики. Проводимость металлов.

§1 Понятие о квантовой статистике.

(вырожд сост – колво частиц = колву состояний

Невырожд сост – колво состояний >> колва частиц)

Классическая статистика рассматривает идеальный газ:

f(E, T) = A e –E/KT

невырожденные системы:

N/G <<1

N – число частиц, G – число состояний

Рассмотрим движение отдельных частиц. Величины изменяются непрерывно.

Квантовая статистика изучает вырожденные системы.

Условие вырождения: N/G~1

Величины изменяются дискретно. Квантовая статистика изучает совокупности тождественных частиц (частицы различить невозможно). Замена и перемена 1 частицы другой в системе ничего не меняет.

Функция распределения:

1)Фермионы (S=1/2)(например электрон)

f(E, T) = 1/ (e E-μ/KT+1) – функция Ферми-Дирака

её физический смысл: вероятность того что уровень с энергией E при температуре T занят электроном.

μ – химический потенциал – работа, которую нужно затратить чтобы в изолированной системе с V = const изменить N на 1

2)Бозоны (S=0,1)

f(E, T) = 1/ (e E-μ/KT–1) – функция Боза-Эйнштейна

фермионы – индивидуалисты, бозоны – коллективисты. Для фермионов работает принцип Паули (нет 2х электронов в 1 атомном состоянии), бозоны не подчиняются принципу Паули, они наоборот охотней занимают уровни где уже есть электрон

§2 Распределение коллективизированных электронов в металле по квантовым состояниям при T=0 и при Т>0.

1)T=0

Эл. Газ в металле находится в потенциальной яме.

Рис*

N=nV (электронов)

Занято N уровней. Должны быть заняты самые низкие энергетические уровни. На них только 2 электрона.

Ef – уровень ферми – максимально возможная энергия в металле.

Ef = μ = (ħ2/2m)(3nPi2)2/3

Ef = 5 эв n = 5 *10 28 1/м3

n = –

график функции распределения: по ф. Ферми-Дирака: температуры низкие – энергии малые.

Рис*

E<Ef стремится к 1

E>Ef стремится к 0

E=Ef = 1/2

Aвыхода в классике отсчитывалась от дна, а в квантовой механике работы выхода отсчитывается от уровня Ферми

2)Т>0

Тепловое движение может сообщеть E=3KT/2 , но принять ее электрон не может. Чтобы ее принять электрон должен перейти на вышележащий уровень, но все такие уровни заняты электронами. Ее может принять только электрон лежащий на уровне Ферми или вблизи него.

от всех электронов???)

Низкие температуры

Рис*

Высокие температуры => Е большие

f(E, T) = 1/ (e E-Ef/KT+1)

величина e E-Ef/KT принимает большие значения >>1

f(E, T) = (e - E-Ef/KT) = e Ef/KT e - E/KT = const e - E/KT

(//??? функция – экспонента –//) ф-я Максвелла-Больцмана

Система эл. Газа стала невырожденной

Ef = KT

T f = Ef / k = (5эв 1,6Дж/эв)/(1,38Дж) ~ 104

Температура плавления ~ 10 3

§3 Динамика электрона в кристаллической решетке. Эффективная масса электрона.

Отношение неопределенностей

Электрон перемещается в кристаллической решетке, электрон квантовая частица => характ. Волна.

Если решетка идеальная, электрон перемещается беспрепятственно, однако такого не бывает:

∆x∆Px>= ħ

Px = ħk

k = 2Pi/ ħ – волновой вектор

ħ ∆x ∆k >= ħ ∆x ∆k >= 1 ∆x >= 1/∆k

если у электрона определена область локализации – движение характеризует волновой пакет.

Рис* вероятность в А мак больше

Vгр = dω/dk

E = ħω ω = E/ħ

Vгр = 1 dE/ħ dk

Эл. Поле (E напряженность)

F = eE (вект)

dA = FVгрdt - эта работа идет на увеличение E кин:

dA=dE

FVгрdt = dE dk/dk

F (1/ħ) (dE /dk) dt = (dE /dk) dk

dk/dt = F/ ħ

найдем ускорение:

a = 1/ ħ (d2E /dk2) (dk/dt)

a = (F/ ħ2) (d2E /dk2)

a=F/m =>

mэф = ħ2/(d2E /dk2) = m* - учитывает действие поля решетки на электрон (масса электрона в кристалле)

II З. Ньютона

F = eE + eEкр – без эфф. массы

§4 Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы.

§5 Понятие о квантовой теории проводимости.

§6 Квантовая теория

Глава 8. Элементы ядерной физики и элементарные частицы.

§1 Общая характеристика ядра.

§2 Радиоактивность.

§3 Энергия связи ядра. Два пути получения ядерной энергии.

§4 Элементарные частицы.

§5 Кварк-лептонная симметрия