Структурная схема надежности и булевы методы (стр. 2 )

  (10)

С позиций булевой алгебры выражения (9) и (10) эквивалентны. Однако в выражении (10) каждое событие SS, А, , В, , С,  может быть заменено соответствующей вероятностью безотказной работы RS, RА, (1 - RА), RВ, (1 - RВ), RС, (1 - RС).

Таким образом

RS = RA(1 - RB)(1 - RC) + (1 - RA)RB(1 - RC) + (1 - RA)(1 - RB)RC + RA(1 - RB)RC + RARB(1 - RC) + (1 - RA)RBRC + RARBRC.  (11)

Существует также другой простой способ записи выражения (9) с помощью непересекающихся событий

SS = AÈÇBÈBÇÇC.  (12)

Следовательно

RS = RA + (1 - RA)RB + (1 - RB)(1 - RA)RC.  (13)

Выражения (11) и (13) идентичны.

Процесс вывода формулы (11) может быть упрощен за счет применения таблицы истинности (таблица 1), позволяющей облегчить преобразование выражения (9) в выражение (10).

Просматривая таблицу 1 сверху вниз, можно записать следующие выражения, соответствующие работоспособному состоянию системы

ÇÇC, ÇBÇ, ÇBÇC, AÇÇ, AÇÇC, AÇBÇ, AÇBÇC.

Объединение этих записей с помощью логического «ИЛИ» приводит к выражению (10).

Все возможные комбинации (всего 32) работоспособного состояния и отказа элементов системы, структурная схема надежности которой изображена на рисунке 8, приведены в таблице 2.

С помощью таблицы 2 можно записать комбинации, соответствующие работоспособному состоянию системы, используя противоположные события

SS=ÇÇÇC2ÇAÈÇÇC1ÇÇAÈ ... ÈB1ÇB2ÇC1ÇC2ÇA.  (14)

На основе формулы (14) легко вывести формулу, связывающую вероятность безотказной работы системы с вероятностями безотказной работы ее элементов

RS = (1 - RB1)(1 - RВ2)(1 - RC1)RC2RA + (1 - RB1)(1 - RB2)RC1(1 - RC2)RA + RB1RB2RC1RC2RA.

Таблица 1 - Таблица истинности для примера, изображенного на рисунке 13

Состояние элемента	Состояние системы
А	В	С
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1
Примечание - Обозначения, принятые в таблице: 1 - работоспособное состояние, 0 - отказ.

Таблица 2 - Таблица истинности для примера, изображенного на рисунке 8

Состояние элемента	Состояние системы
В1	В2	С1	С2	А
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	1	1	0	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0
1	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1
1	1	1	0	1	1
1	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1
Примечание - Обозначения, принятые в таблице: 1 - работоспособное состояние; 0 - отказ.

Выражение (14) представляет собой объединение девятнадцати членов, описывающих комбинации работоспособного и неработоспособного состояния элементов, приводящие к успеху системы. Очевидно, что булевы таблицы истинности с увеличением количества элементов быстро становятся громоздкими и необозримыми, хотя принцип работы с ними очень прост. Детальное описание булевых методов приведено в приложении В.