Определяющие соотношения при трёхосном деформировании изотропной среды с линейными упрочнением и разупрочнением

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ТРЁХОСНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ С ЛИНЕЙНЫМИ УПРОЧНЕНИЕМ

И РАЗУПРОЧНЕНИЕМ

Екатеринбург, Россия

Деформационные теории пластичности базируются на использовании, так называемой, единой кривой деформирования в координатах интенсивность напряжений − интенсивность деформаций. При этом предполагается, что объёмные деформации остаются упругими, т. е. они связаны линейным соотношением с объёмными напряжениями. Если вводить в рассмотрение деформационное разупрочнение, то последнее положение на стадии разупрочнения уже не может иметь место. Чтобы распространить идеи деформационной теории и на заключительную стадию деформирования, необходимо иметь потенциальную функцию, использование которой позволяло получать определяющие соотношения, описывающие все стадии деформирования. В данной работе излагается одна методика построения таких потенциалов для случая трёхосного растяжения элементарного единичного объёма материала. Используется геометрическое подобие линий уровня потенциальной функции как на стадии упругости, так и на стадии линейного деформирования для материала, сохраняющего изотропность.

1. Рассмотрим элементарный единичный куб из материала, сохраняющего изотропность на всех стадиях деформирования. Подвергнем его трехосному активному деформирования так, чтобы сохранялась форма прямоугольного параллелепипеда, т. е. задаём деформации вдоль осей в прямоугольной системе координат пространства .

На упругой стадии деформирования свойства материала описываются потенциалом [1]

(1)

где − коэффициенты Ляме на стадии упругости. Связь между напряжениями и деформациями определяется линейным законом Гука

− объёмная деформация.

В евклидовом пространстве деформаций выражение (1) задаёт эллипсоид вращения при заданном значении правой части и, следовательно, линии уровня потенциала есть эллипсоиды вращения. Напряжения есть компоненты вектора-градиента ( − оператор Гамильтона в ), перпендикулярного к линиям уровня и направленным в сторону возрастания потенциала. С геометрической точки зрения процесс деформирования изображается движением точки с координатами , которая переходит с одной линии уровня на другой. Матрица модулей упругости определяется матрицей Гессе функции (матрицей вторых производных)

Отсюда Эта матрица положительно определена, следовательно, функция локально выпукла вниз (устойчивость материала).

Отметим, что нагрузка (активное нагружение) реализуется тогда, когда элементарная работа ( − вектор напряжений с компонентами , − вектор деформация с компонентами ,точкой обозначено скалярное произведение векторов), т. е. угол между векторами и − острый. Нейтральное нагружение − , разгрузка − (угол между векторами и − тупой).

Активное деформирование приводит к выходу изображающей процесс деформирования точки в на предельную поверхность (поверхность пластичности, − интенсивность сдвигов), т. е. на поверхность цилиндра Мизеса. Координаты изображающей точки на поверхности есть , . Псоел этого изображающая точка попадает в область упрочнения с новым потенциалом, который в силу изотропности материала имеет вид поверхности второго порядка

Здесь и имеют смысл параметров Ляме в области упрочнения . Тогда и

(2)

Инкрементальные (касательные, тангенциальные) модули равны

т. е. Так как процесс упрочнения линейный, то инкрементальные модули Ляме постоянны на всей стадии упрочнения. Их величина зависит от координат изображающей точки, расположенной на предельной поверхности .

Так как − есть числа, то они связаны равенствами и ( − числа). Изотропность предполагает, что

(3)

Здесь − модуль Юнга и коэффициент Пуассона на стадии упругости, − те же величины на стадии упрочнения. Разрешая систему (3) имеем

Если , то .

Далее, точка принадлежит одновременно упругой и пластически упрочняющейся областям. Напряжения в ней не терпят разрыва, т. е. поверхности уровня и , проходящие через эту точку имеют общую касательную плоскость и нормаль . Тогда, подставляя значение в закон Гука и определяющие соотношения (2) и приравнивая полученные выражения для напряжений, находим постоянные

Так как в точке имеет место ещё и равенство , то отсюда вычисляем и компоненту

Исследуем поверхности уровня потенциальной функции . Инварианты этого уравнения − поверхности второго порядка равны [2]

Тогда это центральная поверхность . Корни характеристического уравнения [2] квадратичной формы есть таким образом имеем сплющенный эллипсоид вращения относительно оси , главные диаметры которого равны

Здесь ,

. Матрица есть матрица Гессе функции . Она равна

где Главные миноры этой матрицы . Следовательно, матрица положительно определена и . Точки экстремума функции есть решения уравнений

Так как матрица Гессе положительно определена, то эта точка экстремума − минимум [2].

Координаты центра линий уровня поверхностей определяются системой уравнений [2]

Откуда

(4)

Пройдя по области упрочнения, изображающая точка попадает на предельную поверхность, разделяющую области упрочнения и разупрочнения . Потенциал при линейном разупрочнении возьмём также в виде уравнения поверхности второго порядка

Тогда

а инкрементальные модули равны

Здесь ( − инкрементальные коэффициенты Ляме на стадии разупрочнения). Величина этих коэффициентов в общем случае зависит от координат изображающей точки .

Используя условие непрерывного перехода вектора напряжений из области упрочнения в область разупрочнения, находим

Из условия в точке находим

Далее инварианты уравнения равны

Корни характеристического уравнения квадратичной формы есть − объёмный модуль на стадии разупрочнения, − модуль сдвига на стадии разупрочнения. Матрица инкрементальных модулей

(5)

Отрицательно определена (её главные миноры отрицательны). Главные миноры в выражении (5) есть а коэффициент, стоящий перед матрицей – отрицателен. Центр линий уровня функции определяется по формулам, аналогичным выражениям (4).

Литература:

1. . Теория упругости. М.: Наука. 1970, 939.

2. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968, 720.