Гармония чисел в музыке

,

учитель математики и информатики ГБОУ СОШ № 000

ГАРМОНИЯ ЧИСЕЛ В МУЗЫКЕ

В середине XVII века чешский педагог Ян Амос Коменский, стремясь оживить преподавание пробудить в детях интерес к знаниям, применил метод драматизации учебного материала и на основе «Открытой двери к языкам» написал ряд пьес, составивших книгу «Школа-игра».

На современном этапе развития образования, когда особое внимание уделяется развитию и воспитанию творческой личности с активной жизненной позицией, способной самостоятельно приобретать необходимые знания, применять их для решения жизненных проблем, актуальными становятся вопросы, связанные с целенаправленным формированием потребности в познании, развития мотивации. В немалой степени формированию такой потребности способствует включение в содержание уроков материала, в котором, средствами предмета показана красота и гармония окружающего мира. «А важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их», — писал Аристотель.

Я думаю, что красота во многом позволяет с радостью воспринимать окружающий мир. А если речь и идет о красоте математики, то я глубоко убежден, раскрывая эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, демонстрируя высокое значение математических законов в музыке, процесс познания самой прекрасной из наук – математики, делается увлекательным, и протекает в условиях высокой мотивации со стороны учащихся, развивая их математические навыки, воспитывая в них творческое, созидательное начало.

А как же именно, при помощи чего я превращаю свое увлечение музыкой в ученическое увлечение математикой?

В первую очередь включением в уроки математики элементов содержания, дающих представление о красоте математики, математике, как инструменте познания окружающего мира, универсальном языке науки, языке, который позволяет увидеть и осознать красоту искусства, раскрывающего для учащихся красоту самой математики. Одна из разработок по теме «Отношение» в 6 классе как раз отвечает такому содержанию. Разработка может являться элементом первого из трех уроков по теме «отношения». Имея своей целью показать где, и как применяется отношение двух чисел, она позволяет продемонстрировать, как числовые отношения находят свое применение в музыке. Учащиеся получают возможность впервые не только увидеть, но и услышать эти отношения.

Для того чтобы разобраться какие числовые отношения выражают музыкальную гармонию обратимся ко «Второму закону Пифагора – Архита», который звучит так:

две звучащие струны дают консонанс (созвучие, согласованное сочетание двух звуков, имеет спокойное, мягкое, приятное звучание) лишь тогда, когда их длины относятся как целые 5числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.

Треугольное число 10

Чтобы убедится в справедливости этого закона, рассмотрим отношения длин двух струн (настроенных в до) классической гитары.

Слайд 3.

Пусть – длина первой струны, – длина второй струны. (См. Рис 2.)

Рис. 2. Классическая гитара.

Тогда если длина первой струны относится к длине второй струны как один к двум, то при одновременном звучании струн (первую струну берем открытой, не зажимаем, вторую струну зажимаем на 12 ладу) мы услышим совершенный консонанс (созвучие) октаву.

Слайд 4.

Если длина первой струны относится к длине второй струны как два к трем, то при одновременном звучании струн (первую струну берем открытой, вторую зажимаем на 7 ладу) мы услышим совершенный консонанс квинту (в данном случае до – основной тон, соль – квинта вверх).

Слайд 5.

Если длина первой струны относится к длине второй струны как три к четырем, то при одновременном звучании струн (первую струну берем открытой, вторую зажимаем на 5 ладу) мы услышим совершенный консонанс кварту (в данном случае до – основной тон, фа – кварта вверх).

Слайд 6.

В качестве диссонирующего интервала (не приятного, режущего слух) приводится демонстрация малой секунды (малая секунда интервал возникающий при звучании двух струн с отношением длин равным 15:16).

Еще один пример музыкального содержания урока математики – доказательство иррациональности .

Древние уверяли, что Пифагор знал законы колебания струны монохорда (однострунник – музыкальный прибор) и построения музыкальных созвучий, но запись об этих законах мы находим на полтора столетие позже у пифагорейца Архита из Тарента (428 – 365 гг. до н. э.). Архит был самым выдающимся пифагорейцем, крупнейшим на тот момент теоретиком музыки, государственным деятелем, полководцем и другом Платона. Им была решена знаменитая делосская задача об удвоении куба, он первый упорядочил механику на основе математики и свел движение механизмов к геометрическим чертежам, работал над деревянной моделью летающего голубя. Именно он, решая проблему деления октавы на благозвучные интервалы, получил «музыкальное» доказательство иррациональности

числа .

Пытаясь разделить октаву на два равных интервала (пополам) мы получаем следующее отношение длин струн: = , где первая струна, вторая струна. И при таком отношении длин струн прослушивается явный диссонанс, причем у этого диссонанса даже есть свое собственное название – тритон или полуоктава и это один из самых неприятных и не благозвучных интервалов в музыке. Можно продемонстрировать этот интервал на гитаре. Для этого нужно зажать третью струну на пятом ладу, вторую – на шестом и извлечь звук из этих струн одновременно.

Поскольку созвучие (консонанс) по второму закону Пифагора – Архита определяется отношением , то напрашивается мысль о том, что число не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел, т. е. является иррациональным.

С давних времен (уже более 2,5 тыс. лет) наряду с полезностью математики для практических приложений, математика, является уникальным средством познания красоты. Красота многогранна и многолика, она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях. Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, а математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Поэтому, изучая математику, важно не только осваивать алгоритмы математических действий, но рассматривать их как новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.

Литература

1.  Белявский звука в приложении к музыке, основы физической и музыкальной акустики. Государственное издательство Москва, 1925.

2.  Волошинов и искусство: Книга для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрас­ного и красоте науки.— 2-е изд., дораб. и доп. — М.: Просвещение, 2000. — 399 е.: ил.