Приближенные методы вычисления определённых интегралов

Приближенные методы вычисления определённых

интегралов.

Введение.

Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона – Лейбница не всегда возможно, ибо далеко не все функции интегрируются в конечном виде, то есть первообразные таких функций не выражаются через элементарные функции с помощью конечного числа арифметических действий и операций взятия функции от функции.

Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма сложный и неудобный для вычисления вид, то и в этом случае применение формулы Ньютона – Лейбница крайне затруднительно. В этих случаях прибегают к приближенным методам вычисления определённого интеграла.

Эти методы дают возможность вычислить определённый интеграл, если он существует и если численные значения подынтегральной функции известны. Формулы, при помощи которых ведётся численное интегрирование, получили название квадратурных формул.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных - таких как вычисление интегралов, например, и других. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач разобраны методы численного решения, нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ.

Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а «ручные» расчёты являются архаизмом. На самом деле это далеко не так. Прежде чем поручить ЭВМ большую задачу, надо сделать много оценочных расчётов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи. Поэтому современный инженер для успешной работы должен одинаково хорошо владеть и «классическими» методами и численными.

1. Приближенное вычисление определённого интеграла:

а) формулы прямоугольников;

б) формула трапеций;

в) формула Симпсона (парабол).

Если функция непрерывна на , определённый интеграл от этой функции в пределах от до существует и равен

где - первообразная для функции .

Для большинства элементарных функций первообразную не удаётся выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчётах подынтегральная функция задаётся в виде таблиц. Всё это приводит к необходимости замены интегрирования численными методами.

Задача численного интегрирования состоит в следующем: найти определённый интеграл на , если подынтегральная функция на отрезке задана таблично.

Рассмотрим некоторые формулы приближенного вычисления определённого интеграла.

а) метод прямоугольников.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить определённый интеграл .

Разделим отрезок точками на п равных частей длины :

Обозначим далее через значения функции в точках , т. е.

Составим суммы:

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

(1)

(2)

Это и есть формулы прямоугольников. Из рисунка видно, что если - положительная и возрастающая функция, то формула (1) (она называется формулой левых прямоугольников) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (2) (формула правых прямоугольников) – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (т. е. чем меньше шаг деления ).

Если подынтегральная функция на отрезке имеет непрерывную производную , то для оценки погрешности при вычислении интеграла по формулам прямоугольников служит неравенство:

где М1 есть наибольшее значение абсолютной величины производной

на отрезке , т. е. наибольшее значение на данном отрезке.

б) формула трапеций.

Если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной, то получим более точное значение определённого интеграла.

Тогда площадь криволинейной трапеции аАВв заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами ,

Так как площадь первой из этих трапеций равна , площадь второй равна и т. д., то

, или

(3)

Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы (3) есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (2).

Если обозначить (крайние), (промежуточные), то получим более компактную форму записи

(3а)

Полученная приближенная формула оказывается тем более точной, чем больше число п.

Ошибка, которую допускаем при вычислении, не превышает

,

где М - наибольшее значение на отрезке , или , где - табличные разности второго порядка.

в) метод Симпсона ( англ. математик ).

Этот метод приближенного вычисления определённого интеграла основан на замене графика подынтегральной функции дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу.

Рассмотрим частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена

.

Имеет место следующая формула

(4)

где (ордината параболы в середине отрезка ).

Вывод этого соотношения сводится к его непосредственной проверке. Подсчитаем выражение, стоящее в правой части формулы:

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы, найдём предварительно

Подставим найденные значения в правую часть формулы (4), получим

==

Правая и левая части формулы (4) равны между собой, что и доказывает её справедливость.

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой . Через точки этой кривой проведём вспомогательную параболу .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции

Тогда, согласно формуле (4), для произвольной функции имеет место следующее приближенное равенство

(5)

Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Если отрезок достаточно большой, то приближение, даваемое формулой (5), будет слишком грубым. Для того чтобы получить более точное приближение интеграла разделим на п равных частей. Длина каждого частичного отрезка будет равна , где п- обязательно чётное число. Применив формулу (5) последовательно к каждому частичному отрезку, получим

(6)

Эта формула называется большой формулой Симпсона.

Если ввести обозначения , , то будем иметь

(6а)

Ошибка, которую допускаем при вычислении, не превышает

где М4- максимальное значение четвёртой производной функции на , или , где - четвёртые табличные разности.

Пример:

Вычислить , п=10, а=0, в=1, .

k

хк

укр.

унеч.

учётн.

0

0

1,0000

1

0,1

0,9901

2

0,2

0,9615

3

0,3

0,9174

4

0,4

0,8621

5

0,5

0,8000

6

0,6

0,7353

7

0,7

0,6711

8

0,8

0,6098

9

0,9

0,5525

10

1

0,5000

1,5000

3,9311

3,1687

1) по формуле прямоугольников


а) =0,1(1+0,9901+0,9615+0,9174+0,8621+0,8+0,7353+0,6711+0,6098+0,5525)=

=0,80998

б)

=0,1(0,9901+0,9615+0,9174+0,8621+0,8+0,7353+0,6711+0,6098+0,5525+0,5)=

=0,75998

2) по формуле трапеций

=0,05(1,5+2(0,9901+0,9615+0,9174+0,8621+0,8+0,7353+0,6711+0,6098+

+0,5525))=0,78498.

3) по формуле Симпсона

=(1,5000+)=

4) по формуле Ньютона-Лейбница

= (берём за точное значение)

Сравнивая результаты, замечаем, что абсолютная погрешность

1) а)

б)

2)

3) .

Т. е. пять первых десятичных знаков совпали с точным значением, т. е. формула Симпсона даёт большую точность, чем другие формулы при одном и том же числе разбиений.

Заключение.

Приближенные методы вычисления определённого интеграла широко применяются при решении многих физических, технических задач. Так, например, приближённые методы вычисления определённых интегралов используются во внешней и внутренней баллистике, при расчёте дальности и расхода горючего в полёте и т. д.

Значительный вклад в теорию приближённых вычислений интегралов внесли русский академик , советский академик математик и кораблестроитель .

Численных методов много, но все они основаны на геометрическом представлении определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции.

Каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит чёткий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы – эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближённых методов можно составить таблицы их значений.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.