Обыкновенные дифференциальные уравнения

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

УДК 5

О – 30

Обыкновенные дифференциальные уравнения: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 30 с.

Содержат теоретический материал, примеры решения задач по данной теме и задачи для индивидуальной работы.

Предназначены для специальностей СПО 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)», 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)», 151001.51 «Технология машиностроения», 260704.51 «Технология текстильных изделий.

Библиогр.: 5 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2007

Введение

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т. е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Лейбницу, 1676 г.).

При изучении теории дифференциальных уравнений следует уяснить понятия: определение, решение и порядок дифференциального уравнения.

В методических указаниях рассматриваются основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка и методы их решения.

Особое внимание уделяется линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, структуре их общего решения и методу его нахождения (метод Эйлера).

Методические указания содержат примеры решения типовых задач по теме ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Каждой задаче отведен отдельный пункт, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в каждый пункт включены задачи для аудиторных занятий и домашних работ.

Практическое занятие № 1.

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа

специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» - 2 часа

специальность 151001.51 «Технология машиностроения» - 1 час

специальность 260704.51 «Технология текстильных изделий» - 1 час

Цель занятия. Научить студента находить общие решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Порядок проведения:

1.  изучить теоретический материал;

2.  разобрать предложенный пример;

3.  выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.  ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: определение дифференциального уравнения первого порядка; определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка; методы решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и однородного дифференциального уравнения первого порядка.

уметь: решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Понятие решения дифференциального уравнения

первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1)

Здесь x – независимая переменная; y=y(x) – искомая функция аргумента x, а ee производная по независимой переменной x; заданная функция действительных переменных

Если уравнение (1) разрешить относительно производной , то получим

(2)

Предполагается, что функция определена и непрерывна на некотором промежутке (a,b).

Определение. Любая дифференцируемая функция , обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

Если решение задано в неявном виде , то его называют интегралом.

Определение. Решение уравнения (1) называется общим, если оно зависит от x и одной произвольной постоянной с, то есть, при конкретных значениях константы с, получим частные решения дифференциального уравнения (1).

Если общее решение задано в неявном виде , то его называют общим интегралом.

Задача Коши для уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения.

Указание 1.

Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными.

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида

(3)

где непрерывные функции или постоянные.

План решения.

1) В области, где и , разделим обе части уравнения (3) на получим уравнение с разделенными переменными

(4)

2) Проинтегрируем обе части уравнения (4)

(5)

и запишем ответ в виде: общий интеграл определяется уравнением при любых значениях с.

Определение. Дифференциальное уравнение (3) называют уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание 1. В ходе преобразования уравнения (3) выполнили деление на . При этом могут быть потеряны некоторые решения уравнения (3).

Если и - решения уравнения которые удовлетворяют (3) и не входят, ни при каком значении с, в его общее решение, то, так называемые, особые решения и уравнения нужно дописать к ответу (5).

Замечание 2. Если уравнение (2) можно представить в виде

то, учитывая, что , получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Учитывая, что , преобразуем уравнение к виду

- это уравнение с разделяющимися переменными. Здесь

1) В области, где и разделим обе части уравнения на получим уравнение с разделенными переменными вида

2) Проинтегрируем обе части этого уравнения

(1)

- общий интеграл.

Упростим решение, если в качестве с возьмем

или - общий интеграл уравнения .

Исследуем условия и

и

Значения

не удовлетворяет уравнению ;

и удовлетворяют уравнению и входят при с1=0 в его общее решение.

Ответ: - общий интеграл.

Задачи для решения.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Индивидуальные задания.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Указание 2.

Однородные дифференциальные уравнения.

Постановка задачи. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения, то есть, дифференциального уравнения вида

(1)

где Р(x, y) и Q(x, y) – однородные функции порядка к:

План решения.

1) Представим уравнение (1) в виде

2) Выполним подстановку где u=u(x) – новая искомая функция. При этом Получим уравнение с разделяющимися переменными:

В результате преобразований придем к

(2)

3) В области, где умножим обе части равенства (2) на Построим уравнение с разделенными переменными вида

(3)

4) Интегрируя, получим общее решение

Делаем замену и записываем ответ.

Замечание 1. Подстановку в уравнение (1) можно выполнить сразу, учитывая, что

Замечание 2. Если уравнение имеет корень u=u0, то решением уравнения (1) будет еще и y=xu0.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение.

1) Представим уравнение в виде

()

Это уравнение однородное, так как при замене x на tx и y на ty оно не изменится. Действительно,

Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения () на xy, получим

2) Выполним подстановку где u(x) – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение приводится к виду

В результате преобразований получим

.

3) Разделяем переменные в последнем уравнении, умножив обе части равенства на

.

4) Интегрируя, получим

Теперь вернемся к переменной y, для чего заменим u на

то есть,

- общий интеграл.

Задачи для решения.

Найти общие решения дифференциальных уравнений

Индивидуальные задания.

Найти общие решения дифференциальных уравнений

Контрольные вопросы

1.  Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2.  Какая функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка?

3.  Какое решение дифференциального уравнения первого пордка называется общим и какое частным?

4.  Каков общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

5.  В чем заключается задача Коши?

6.  Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка?

7.  С помощью какой подстановки решается однородное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?

Практическое занятие № 2.

Тема: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа

специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» - 2 часа

Цель занятия. Научить студента находить общее и частные решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка; общие решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

Порядок проведения:

1.  изучить теоретический материал;

2.  разобрать предложенный пример;

3.  выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.  ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка; метод решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка;

уметь: решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка; решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающих понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функциюи ее производнуюв первой степени и не содержит их произведений. В общем случае оно имеет вид

(1) где коэффициенты A, B, C – заданные непрерывные функции от х. Предполагая, что в некотором интервале изменения х функция разделим обе части уравнения на

Обозначая через перепишем уравнение в виде

Определение. Если то уравнение

называется линейным однородным (линейным уравнением без правой части).

Если то уравнение называется линейным неоднородным (линейным уравнением с правой частью).

Замечание. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Указание 1.

Постановка задачи. Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(2)

с начальным условием

у(х0)=у0, (2/)

где непрерывные функции; в частности, могут быть постоянными величинами.

План решения.

1) Выполним замену

где U, V – неизвестные функции от х.

2) Подставим в уравнение (2) вместо и их выражения из (3), получим

Выносим во втором и третьем слагаемых U за скобки:

(4)

3) Так как вместо одной неизвестной функции y теперь требуется найти две функции и удовлетворяющих уравнению (4), то любую из них (U или V) можно выбрать произвольно.

Выберем V произвольно: приравняем в (4) выражение при U к нулю и будем искать V как некоторое ненулевое частное решение уравнения (с разделяющимися переменными)

Из (4), в силу равенства (5), находим, что другая неизвестная функция U должна удовлетворять уравнению

(6)

4) Подставив V(x) в уравнение (6), ищем его общее решение U=U(x,c).

5) Записываем общее решение уравнения (2) в виде

6) Используя начальное условие (2/), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальным условием y(0)=0.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение, где

1) Ищем решение уравнения в виде

2) Подставляя значения и в данное уравнение, придем к

Выносим во втором и третьем слагаемом U за скобки:

3) Выберем V так, чтобы выражение в скобках при U обратилось в ноль:

Это уравнение с разделяющимися переменными, решим его. Имеем

или, разделяя переменные, получим

Интегрируем:

Так как нас интересует ненулевое частное решение этого уравнения, положим с=0; тогда

4) Теперь уравнение () примет вид уравнения с разделяющимися переменными

или

интегрируем

5) Найдем искомую функцию y, помня, что

Таким образом,

(8)

общее решение.

6) Используя начальное условие y(0)=0, получаем

(-cos0+c)(-5)=0,

находим c=1 и подставляем в общее решение (8).

Ответ. y=(1-cosx)(x2-5).

Задачи для решения.

Найти решения задач Коши.

Индивидуальные задания.

Найти решения задач Коши.

Понятие решения дифференциального уравнения второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

Оно связывает между собой аргумент х, искомую функцию y и ее производные первого и второго порядка.

Если уравнение разрешить относительно старшей производной неизвестной функции, то получим

Определение. Функция виданазывается общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных с1,с2 эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для уравнения.

Задача Коши для данного уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее двум начальным условиям

.

Указание 2.

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.

Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1)

План решения. Решение такого вида уравнения находится 2 – кратным интегрированием:

1. Поскольку то уравнение (1) перепишется в виде

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем. Имеем

где с1 – произвольная постоянная.

2. Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции y(x). Решим его, представив как

Интегрируем обе части равенства:

Записываем ответ: общее решение определяется уравнением () при всевозможных значениях с1 и с2.

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь

Проинтегрируем последовательно уравнение два раза:

1. Поскольку то уравнение перепишется в виде

Применяя непосредственное интегрирование, придем к

дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, где с1 – произвольная постоянная.

2. Найдем его общее решение, представив как

Интегрируем обе части равенства:

Имеем

Ответ: общее решение определяется уравнением при всевозможных значениях с1 и с2.

Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1)

которое не содержит явно искомую функцию y.

План решения.

1. Выполним подстановку где р – некоторая функция от х. Получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции р:

(2)

2. Определим вид уравнения (2). Применив соответствующий способ решения, имеем

(3)

где с1 – произвольная постоянная.

3. Найдем искомую функцию y. Так как то в силу (3), придем к

уравнению с разделяющимися переменными. Решив его, запишем ответ в виде где с1, c2 – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию y.

1. Выполним подстановку

Получим

2. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции р. Решим его с помощью подстановки

имеем

V - ? U - ?

3. Так как то, в силу (4), придем к

уравнению с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение, представив как

Ответ: общее решение определяется уравнением при всевозможных значениях с1 и с2.

Задачи для решения.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Индивидуальные задания.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Контрольные вопросы

1. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.

2. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?

3. С помощью какой подстановки решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?

4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка?

5. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?

Практическое занятие № 3.

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа

специальность 151001.51 «Технология машиностроения» - 1 час

Цель занятия. Научить студента находить общие решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Порядок проведения:

1. изучить теоретический материал;

2. разобрать предложенный пример;

3. выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4. ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: метод решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

уметь: решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Структура решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(1)

действительные числа; f – непрерывная функция переменного х.

Определение. Если то уравнение

(2)

называется однородным дифференциальным уравнением, соответствующим уравнению (1).

Если то уравнение (1) называется неоднородным.

Теорема 1(структура общего решения уравнения (1)).

Если известно какое-нибудь частное решение (yч. н.) неоднородного уравнения (1),то его общее решение (yо. н) есть сумма общего решения (yо. о.) соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения (yч. н.): yо. н.= yо. о+ yч. н.

Теорема 2(структура общего решения уравнения (2)).Если и - частные решения уравнения (2), причем отношение ( по другому, и - линейно-независимые решения ), то их линейная комбинация есть общее решение (yо. о.) этого уравнения:

yо. о.=c1+c2.

Cледствие. Максимальное число линейно-независимых решений уравнения (2) равно его порядку, то есть двум (и ).

Определение. Система {,}, функции которой удовлетворяют условиям теоремы 2, называется фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (2).

Существуют общие методы нахождения ФСР. Один из них это метод Эйлера. Суть его в следующем.

Решением однородного уравнения (2) может быть экспоненциальная функция вида так как она сохраняет свой вид при дифференцировании: и , где к – постоянная.

Подставив в уравнение (2), имеем Квадратное уравнение (3) называется характеристическим уравнением однородного уравнения (2). Решив характеристическое уравнение, построим ФСР. Таким образом, найдем все частные решения уравнения (2).

Указание 1.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

План решения.

1. Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни .

2. В зависимости от значений и , построим ФСР и запишем общее решение уравнения (2). При этом выделяют три случая:

·  Если корни и уравнения (3)действительные и , тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

·  Если корни и уравнения (3)действительные и , тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

·  Если уравнение (3) имеет комплексно – сопряженные корни:

тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение

Решим полученное квадратное уравнение:

2. Так как и - комплексно – сопряженные корни, тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

Указание 2.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(1)

План решения. По теореме (1)

yо. н.= yо. о+ yч. н.. ()

1. Найдем общее решение (yо. о) соответствующего однородного уравнения

(2)

решив характеристическое уравнение

(3)

(см. предыдущую задачу).

2. Ищем какое – либо частное решение (yч. н.) неоднородного уравнения (1), применяя метод подбора частных решений:

различным представлениям правой части f(x) уравнения (1) соответствуют свои виды частного решения yч. н.

Возможны следующие случаи:

Если правая часть уравнения (1) имеет вид

  I.  , где - многочлен степени n, тогда, если

a)  - не корень (3) (и), то yч. н=;

b)  - однократный корень (3) (=либо =), то yч. н=

c)  - двукратный корень (3) (==), то yч. н=

где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

  II.  , где M, N – числа, тогда, если

a)  - не корни (3) (и ()), то yч. н=

b) - корни (3) (=и ()=), то yч. н= где A, B – числа.

  III.  , тогда, если

a)  не корни (3) (и ), то yч. н=

b)  корни (3) (=и ()=), то yч. н=

где и

- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами.

3. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя построенное yч. н в исходное уравнение (1).

4. Записываем ответ по формуле().

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

(4)

Решение. По теореме (1)

yо. н.= yо. о+ yч. н.. ()

1. Найдем общее решение (yо. о).соответствующего однородного уравнения

(5)

Составим характеристическое уравнение

Оно имеет два различных действительных корня

Следовательно,

ФСР: {}

и общее решение уравнения (5) запишется так

2. Ищем какое – либо частное решение (yч. н.) неоднородного уравнения (4), применяя метод подбора частных решений.

Здесь правая часть уравнения (4) имеет вид (III) c

Так как - не корни характеристического уравнения и , то частное решение будем искать в виде ( III. a)):

yч. н= (6)

где A, B – неопределенные коэффициенты (неизвестные числа).

3. Находим неопределенные коэффициенты. Дважды продифференцируем yч. н и подставим в исходное уравнение (4). Имеем

Приравниваем коэффициенты при в обеих частях равенства, получим

систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и B, из которой определяем

Таким образом, по формуле (6)

yч. н.

4. Находим общее решение по формуле ()

yо. н.=

Ответ: yо. н.=

Задачи для решения.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Индивидуальные задания.

Найти общие решения

дифференциальных уравнений

Контрольные вопросы

1.  Как определяется и записывается в общем виде линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

2.  Что такое характеристическое уравнение?

3.  Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения:

а) действительные и различные ();

б) действительные и равные ();

в) комплексно – сопряженные ()?

Используемая литература

1. Шапкин по высшей математике: Учебное пособие. – 2 – изд. – М.: Издательско – торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006.

2. Богомолов занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004.

3. Пехлецкий : Учеб. для студ. Образоват. учреждений сред. проф. образования. – 2 – изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

4. Минорский задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико – математической литературы, 2000.

5. , Попов математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учеб. пособие для втузов. – 5 изд., испр. – М.: Высш. шк.,1999.

Содержание

Введение……………………………………………………………..	3
Практическое занятие № 1.................................................................	4
Практическое занятие № 2.................................................................	12
Практическое занятие № 3.................................................................	21
Используемая литература………………………………………. …	28

Составитель: Анна Сергеевна Чурзина

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2007 г., поз. № 53.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,88. Усл. авт. л. 1,69.

Тираж 50 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

 

(1)