Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных.

Введение.

Максимум и минимум функции любого числа переменных в дан­ной области значений этих переменных определяются в точности так же, как в одномерном случае. И здесь приобретает основное значение понятие точки локального экстремума: так мы называем внутреннюю точку данной области, в которой значение функции не меньше (или не больше), чем в любой другой точке, достаточно близкой к данной. Как и в одномерном случае, экстре­мум функции в данной области может наступить либо на границе области, либо в некоторой внутренней точке, которая в этом случае обязательно будет и точкой локального экстремума. Разумеется, в многомерном случае дело осложняется тем, что даже для про­стейших областей в конкуренцию вступают все точки границы — в бесконечном числе (в одномерном случае граница отрезка состояла всего из двух точек); приходится поэтому находить наибольшее или наименьшее значение функции на контуре данной области, т. е. решать дополнительную экстремальную задачу. Правда, в реальных задачах очень часто те или другие предметные соображения позво­ляют заранее считать известным, что функция принимает, например, свое наибольшее значение внутри (а не на границе) области, и тем самым существенным образом упрощают решение задачи. Как бы то ни было, задачей дифференциального исчисления и здесь остается разыскание точек локального экстремума.

1. Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое условие.

а) Экстремум функции нескольких переменных.

Обобщим понятия максимума и минимума на случай функции нескольких переменных.

Понятия максимума и минимума для функции нескольких переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.

Пусть в некоторой области Д задана непрерывная функция

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Точка , в которой функция имеет максимум или минимум, называются экстремальными точками, а значения функции в этих точках – экстремумами (или экстремальными значениями).

В точке максимума (минимума) функция достигает наибольшего (наименьшего) значения только по отношению к соседним точкам, т. е. точкам лежащим в некоторой окрестности точки максимума (минимума).

Точки максимума и минимума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения в области.

Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке окрестности , то полное приращение

этой функции в точке удовлетворяет в некоторой окрестности точки одному из следующих условий

в случае максимума

в случае минимума,

т. е. в точках окрестности экстремума не меняет знак.

Если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке .

Эти условия положения переносятся на функции любого числа переменных.

Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает вопрос об условиях экстремума.

б) Необходимое условие экстремума.

Теорема. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то в этой точке обе частные производные первого порядка равны нулю, т. е.

,

Доказательство: Докажем, например, равенство нулю частной производной . Рассмотрим в окрестности точки только те точки, в которых .

Частная производная функции по х в точке есть производная функции , которая имеет экстремум.

Следовательно, . Так как , то .

Аналогично можно показать, что . Необходимые условия определения экстремума переносятся на случай функций нескольких переменных.

Эти условия имеют простой геометрический смысл. Они означают, что в точках экстремума касательная плоскость к графику функции параллельна плоскости ХОУ, т. к. в этом случае уравнение касательной плоскости имеет вид .

Замечание. В точках экстремума хотя бы одна из частных производных может не существовать.

Точки, в которых первые частные производные и функции обращаются в ноль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из изложенного следует, что точки экстремума функции надо искать в её критических точках.

2. Достаточные условия экстремума.

Существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Ответ на вопрос, имеет ли функция в критической точке экстремум, дают достаточные условия экстремума.

Пусть для функции точка является критической точкой. Обозначим: , , , и через .

Теорема 5. Если в критической точке выполняется неравенство , то в этой точке функция имеет экстремум; при этом, если , то в точке функция имеет минимум, если , то максимум.

Если , то в этой точке функция экстремума не имеет.

Если , то для выяснения вопроса о существовании экстремума в критической точке необходимы дополнительные исследования (без доказательства).

Пример.

1)

Определим критические точки

1) В точке

. Следовательно, в точке имеется экстремум.

, то функция имеет в точке .

2) : и .

3) :

или

Вывод: экстремума нет.

2)

.

3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

а) Условный экстремум.

Мы рассмотрели экстремум функции ,считая аргументы х и у независимыми друг от друга. Однако очень часто приходится находить максимум или минимум функции при некотором дополнительном условии, наложенном на аргументы х и у.

Такой экстремум называется условным.

Определение. Пусть функция определена в некоторой области Д. Точка этой области является точкой условного максимума при дополнительном условии , если

1) координаты точки удовлетворяют уравнению ;

2) существует такая окрестность точки , что для всех точек, принадлежащих этой окрестности и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Аналогично определяется условный минимум.

Рассмотрим уравнение как уравнение кривой в плоскости ХОУ, эту задачу можно интерпретировать геометрически так: на кривой найти такую точку , в которой значение функции было бы наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках кривой , близких к точке .

Предполагая, что функции и дифференцируемые в окрестности точки, найдём условный экстремум.

Пусть в точке , принадлежащей кривой , функция имеет экстремум. Предположим, что в точке хотя бы одна из частных производных или отлична от нуля. Пусть для определённости . Тогда, разрешая относительно у уравнение , можно найти дифференцируемую функцию , для которой , причём .

Если подставить в функцию вместо у его выражение через х, то будет функцией только одной независимой переменной х: .

Этим самым задача разыскания условного экстремума свелась к разысканию экстремума функции одной переменной.

б) Метод множителей Лагранжа.

При нахождении экстремума этим методом пришлось разрешать относительно у уравнение , что практически не всегда удобно, а иногда невозможно. Поэтому рассмотрим второй метод.

Так как функция одной переменной имеет в точке экстремум, то её производная в этой точке должна обращаться в ноль, т. е.

Дифференцируя по х функцию , получим

, т. е.

Подставляя вместо его значение , а вместо число , получим

(1)

Таким образом, координаты искомой точки удовлетворяют этому уравнению. Выясним, каким ещё уравнениям удовлетворяют эти координаты.

Для этого рассмотрим тождество

. (2)

Так как функция, стоящая в левой части тождества равна нулю, то её производная по также тождественно равна нулю, т. е.

. (3)

Следовательно, координаты точки экстремума удовлетворяют системе уравнений

Решая эту систему, найдём координаты и .

Для составления этой системы нужно найти функцию , что не всегда выполнимо. Поэтому поступают следующим образом.

Умножают второе из этих уравнений на число (пока произвольное) и складывают почленно с первым уравнением системы:

Это равенство в точке экстремума имеет место для любых значений .

Подберём таким образом, чтобы

Тогда для этого значения

Получили два уравнения с тремя неизвестными и .

Учитывая, что координаты точки экстремума удовлетворяют условию , получим систему

(4)

из которой находим координаты точки экстремума и число .

Этот метод называется методом неопределённых множителей Лагранжа.

Для запоминания последней системы можно рекомендовать следующее правило.

Составляем вспомогательную функцию – функцию Лагранжа

.

Приравняв её частные производные по и к нулю, получим эту систему (4).

Пример. Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением .

Решение.

Составим функцию Лагранжа

Отсюда .

Заключение.

Таким образом, и в многомерном случае задача отыскания экстре­мальных значений прежде всего требует нахождения всех стацио­нарных точек данной функции в данной области. Если речь идет о функции п переменных, то, приравнивая нулю частные производные этой функции по всем переменным, мы получаем для определения координат стационарных точек систему п уравнений с п неизвест­ными. Решение этой системы не является уже делом дифферен­циального исчисления.

В дальнейшем, предполагая все стационарные точки уже найден­ными, мы должны, подобно тому как мы это делали в одномерном случае, для каждой такой точки исследовать в отдельности, дает ли она максимум или минимум данной функции, или не дает ни того, ни другого. Это исследование в многомерном случае протекает значительно сложнее, чем в одномерном, и мы показали здесь лишь для случая функций двух переменных, как строятся его первые шаги.