МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

РЯДЫ

Методические указания

и задания к контрольной работе

РПК «Политехник»

Волгоград

2002

УДК 517.2

Р 98

РЯДЫ: Методические указания и задания к контрольной работе / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2002. – 24 с.

Предназначены для студентов заочного факультета. В работе рассмотрены некоторые методы исследования различных типов рядов на сходимость, а также основные типы задач, решаемых с их помощью.

Содержат образцы примеров и задания для самостоятельного решения.

Могут быть использованы студентами-заочниками при выполнении расчетной работы.

Табл. 2. Библиогр: 6 назв.

Рецензент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составители: Вячеслав Федорович Казак

Любовь Михайловна Петрова

РЯДЫ

Методические указания и задания к контрольной работе

Редакторы ,

Темплан 2002 г., поз. № 000.

Подписано в печать г. Формат 1/16.

Бумага потребительская. Усл. печ. л. 1,5.

Уч.-изд. л. 1,31. Тираж 100. Заказ.

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

403850 г. Камышин, Волгоградской обл., ул. Ленина, 20.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ó	Волгоградский государственный технический университет, 2002

ВВЕДЕНИЕ

Теория рядов имеет большое практическое применение ввиду возможности при широких условиях представления данной функции, интеграла, решения дифференциального уравнения и тому подобное в виде бесконечного ряда простых функций, что позволяет легко находить приближенные значения вышеуказанных объектов для данного значения аргумента. Взяв достаточно большое число членов этого разложения, величины объектов можно вычислить с любой степенью точности. Но для этого надо быть уверенным, что данный ряд сходится. Отсюда видно, что основной задачей теории рядов является исследование их на сходимость.

Теперь перейдем к рассмотрению основных видов рядов и установлению признаков, отвечающих на вопрос об их сходимости или расходимости.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

ТТаблица 1

Название признака

Методические

исследования

Примечание

Необходимый

признак

вопрос о сходимости не решается;

ряд расходится.

Признаки сравнения:

(1)

(2)

Возможные варианты:

1) если и (1) ряд сходитсявопрос о сходимости (2) ряда не решен;

2) если и (1) ряд сходится (2) ряд сходится;

3) если и (1) ряд расходитсявопрос о сходимости (2) ряда не решен;

4) если и (1) ряд расходится (2) ряд расходится.

Ряды, используемые в основном для сравнения:

1. Геометрический ряд

а) сходится при 0 < q < 1;

б) расходится при q 1.

2. Ряд Дирихле

а) сходится при p >1;

б) расходится при p1.

Признак

Даламбера:

a) p < 1 – ряд сходится;

б) p > 1 – ряд расходится;

в) p = 1 – вопрос о сходимости не

решен.

Признак применяется, в основном, если имеет:

1. Показательный вид

……..;

2. В формуле общего вида присутствует факториал;

3. В записи формулы общего члена содержится n множителей.

Радикальный признак Коши:

а) p < 1 – ряд сходится;

б) p > 1 – ряд расходится;

в) p = 1 – вопрос

о сходимости не решен.

Признак применяется, если

имеет вид:

…….

Продолжение табл. 1

Название признака

Методические

исследования

Примечание

Интегральный признак Коши:

1) если сходится ряд расходится, где ;

2) если расходится ряд расходится, где .

Применяется, если известен.

Признак

Лейбница:

Если: 1)…;

то ряд сходится.

Исследовать ряд на сходимость. Примеры

Применим признак сравнения. Для сравнения выбираем сходящийся

() геометрический ряд Замечаем, что для всех n. Следовательно, и исходный ряд сходится.

2. Применим признак Даламбера:

a) запишем общий член и последующий (вместо ”n“ в подставляем ”n+1“);

б) находим отношение и предел этого отношения.

исходный ряд сходится.

3. Удобно применить радикальный признак Коши.

исходный ряд расходится.

4. . Для исследования применим интегральный признак Коши.

Заменим в выражении общего члена индекс ”n“ на аргумент ”x“, т. е. запишем функцию которая непрерывна на интервале [2,). Вычислим

т. е. интеграл расходится. Из его расходимости следует расходимость исходного ряда.

5. – это знакочередующийся ряд, применим признак Лейбница. Проверим два условия:

a) 1> члены ряда, взятые по модулю, убывают;

б)

Оба условия выполняются, т. е. исходный ряд сходится. Но так как ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится, как гармонический, то исходный ряд сходится условно.

Решить самостоятельно

Указать признак исследования рядов на сходимость:

1.	;	6.	;
2.	;	7.	;
3.	;	8.	;
4.	;	9.	;
5.	;	10.	.

II. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида . Если в этой формуле положить a = 0, то степенной ряд вида

называется рядом Мак-

лорена, где и 0 < c < x – остаточный член в форме

Лагранжа.

ОСНОВНЫЕ ТАБЛИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Таблица 2

Функции	Разложение в ряд Маклорена

Продолжение табл. 2
Функции	Разложение в ряд Маклорена
sin x
cos x


ln (1 + x)
arctgx

Используя эти разложения и другие приемы, можно довольно просто решать некоторые задачи:

1. Найти область сходимости степенного ряда

Записываем: и , следовательно,

из условия сходимости

интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость в граничных точках и :

а) при гармонический ряд расходится т. е. − точка расходимости ряда;

б) при знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница: члены ряда, взятые по модулю, монотонно убывают, и

;. Таким образом, ряд сходится, т. е. – точка сходимости исходного ряда. Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда имеет вид: .

2. Исследовать ряд на сходимость. Здесь и , следовательно,

Итак, интервал сходимости характеризуется неравенством - 2 < x < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала.

При степенной ряд принимает вид:

Оба ряда расходятся по необходимому признаку сходимости. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости - 2 < x < 2.

3. Найти область сходимости степенного ряда . Так как товсюду. Ряд сходится при всех значениях x: .

4. Исследовать ряд на сходимость.

при всех х. Следовательно, ряд сходится в одной точке х = 0.

Решить самостоятельно

Исследовать на сходимость ряды:

1.	;	6.	;
2.	;	7.	;
3.	;	8.	;
4.	;	9.	;
5.	;	10.	.

Разложение функций в ряд Маклорена

1. Разложить в ряд Маклорена функцию . Обозначим

и воспользуемся соответствующим рядом Маклорена

, (при ). Возвратимся в разложении к прежней переменной и получим:

для .

2. . Обозначим и воспользуемся рядом:

при –1 < t < 1.

Возвратимся к прежней переменной, заменяя , тогда получим:

при , т. е. и при –1 < x < 1.

3. . Преобразуем функцию . Введем замену t = -2x и воспользуемся рядом: при –1 < t < 1.

Вернемся к прежней переменной и получим:

при –1 < −2x < 1, т. е. при . И окончательно получим

при .

4. Разложить ех по степеням х - 2.

Преобразуем функцию: ех = ех – 2 + 2 = е2×ех – 2. Используем разложение функции ех по степеням х: (- ¥ < x < ¥). Заменим в нем х на х – 2: (- ¥ < x < ¥). Тогда . Окончательно (- ¥ < x < ¥).

5. Разложить ln(1 + x – 2x2) по степеням х. Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать разложение одной из основных элементарных функций: 1 + х – 2х2 = (1 – х)(1 + 2х), тогда ln(1 + x – 2x2) =

= ln(1 – x)(1 + 2x) = ln(1 – x) + ln(1 + 2x).

Используем разложение: ln(1 + x) = (- 1 < x £ 1);

(- 1 £ x < 1);

(- 1 < 2x £ 1, - < x £ ).

Тогда ( - < x £ ).

6. Разложить по степеням х – 2. Обозначим х – 2 = t, х = t + 2.

Используем разложение в ряд cosx, заменив в нем х на :

Находим интервал, в котором это разложение справедливо:

, , , .

7. Разложить хе3х по степеням х – 2. Обозначим х – 2 = t, х = t + 2.

(чтобы сложить ряды, у первого изменим нумерацию членов ряда, начав с n = 1, а у второго член ряда при n = 0 запишем отдельно). Интервал, в котором разложение верно, есть: , то есть .

Решить самостоятельно

Разложить в ряд Маклорена функции:

1)	;	5)	;	9)	;	13)	cos2x;
2)	;	6)	;	10)	;
3)	;	7)	;	11)	;
4)	;	8)	;	12)	;

Разложить функции в ряд Тейлора:

1. lnx по степеням х – 1; 2. по степеням х – 4; 3. по

степеням х +5. Применение рядов в приближенных вычислениях:

a) приближенное вычисление определенного интеграла с заданной точностью. Сущность метода заключается в следующем: подинтегральную функцию (интеграл от которой либо не берется, либо вычисление его связано с большими трудностями) разлагают в сходящийся на отрезке интегрирования степенной ряд. Интегрируя затем этот степенной ряд почленно, получают сходящийся числовой ряд.

Искомым приближенным значением интеграла будет вычисленная приближенно с заданной степенью точности сумма этого ряда.

Пример: 1. Вычислить с точностью .

Представим функцию в виде ряда, используя метод замены в табличном разложении: – для .

Тогда для .

Этот ряд сходится на [0,1] , поэтому его можно почленно интегрировать

Этот числовой ряд – знакочередующийся, чтобы обеспечить заданную точность вычисления , находим член ряда по модулю меньший 0,001. Таковым является . Следовательно, с точностью .

Решить самостоятельно

Вычислить:	Ответы:
1. с ;	(0,461)
2. с ;	(1,605)
3. с ;	(0,487)
4. с ;	(1,995)

б) приближенное решение дифференциальных уравнений. Рассмотрим только способ последовательных дифференцирований, который применяется для нахождения частного решения дифференциального уравнения с начальными условиями. Сущность метода заключается в следующем. Решение дифференциального уравнения при ищем в виде ряда Маклорена где значения берутся из начальных условий, а частные значения производных более высокого порядка находятся при последовательном дифференцировании исходного уравнения.

Пример: найти частное решение дифференциального уравнения:

, ограничившись тремя первыми членами. Искомое решение будем искать в виде ряда

Исходя из начального условия, имеем , подставляя и в исходное уравнение, имеем т. е. коэффициент разложения . Чтобы найти , продифференцируем исходное уравнение:

.Подставляя значения производных в разложение, получим искомое решение:

2 /.

Ограничившись 5-ю членами, запишем разложение:

, при этом коэффициенты и известны. Подставив их значение в уравнение, получим: .

Продифференцировав исходное дифференциальное уравнение, найдем

а затем : ,

.Подставив в эти выражения и , получим:

Отсюда, первые пять членов решения дифференциального уравнения имеют вид:

Решить самостоятельно

Найти n первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию :		Ответы:
1. / пять членов /;
2. / пять членов /;
3./ четыре члена /;
4. / пять членов /;
5. / шесть членов /.

в) нахождение приближенного значения функций. Для приближенного вычисления значения функций в ее раскладывают в ряд Маклорена и в полученном разложении полагают . Затем для вычисления с нужной точностью берут необходимое число его начальных членов.

Пример: 1. Вычислить с точностью .

В разложении функции (см. таблицу)

Это знакоположительный ряд. Для него ошибка оценивается по формуле

Если взять первые пять членов этого ряда (n = 4) , то ошибка вычисления

т. е.

с точностью .

2. Вычислить с точностью . Так как

то, полагая в разложении функций косинуса (см. таблицу) получаем: Это знакочередующий ряд, поэтому ошибка отсюда

3. Вычислить с точностью .

Преобразуем и запишем в соответствующий ряд, полагая в нем :

Три первых члена ряда обеспечивают нужную точность, т. к. в этом знакочередующемся ряде итак с точностью до 0,001.

Решить самостоятельно

Вычислить приближенно с указанной степенью точности:	Ответы:
1) ;	(0,3679)
2) ;	(0,9848)
3) ;	(0,0314)
4) ;	(1,140)
5) ;	(0,464)
6) .	(3,1415)

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1. Исследовать сходимость числового ряда:

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

2. Найти интервал сходимости степенного ряда:

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.	.	19.
10.		20.

3. Разложить функцию f(x) по степеням х – х0:

1.	f(x) = е3х, х0 = 1	11.	, х0 = - 1
2.	, х0 = 0	12.	, х0 = 0
3.	, х0 =	13.	, х0 = 0
4.	, х0 = 0	14.	, х0 = 0
5	, х0 = 0	15.	, х0 = 0
6.	, х0 = 0	16.	, х0 =
7.	, х0 = 3	17.	, х0 = -1
8.	, х0 = 1	18.	, х0 = 1
9.	, х0 =	19.	, х0 = 0
10.	, х0 = 1	20.	, х0 = 0

4. Вычислить определенный интеграл с соответствующей точностью:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

5. Найти приближенное частное решение дифференциального

уравнения:

1.	(три члена)	2.	(четыре члена)
3.	(три члена)	4.	(четыре члена)
5.	(три члена)	6.	(два члена)
7.	(три члена)	8.	(четыре члена)
9.	(три члена)	10.	(пять членов)
11.	(три члена)	12.	(четыре члена)
13.	. (три члена)	14.	. (четыре члена)
15.	(три члена)	16.	(четыре члена)
17.	(три члена)	18.	(три члена)
19.	(три члена)	20.	(четыре члена)