ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ
Кемеровский государственный университет
г. Кемерово
e-mail: *****@***ru
Рассматривается слоистая композитная оболочка постоянной толщины 
собранная из 
слоев также постоянной толщины, каждый из которых армирован семейством однонаправленных волокон. Пусть 
- внутренние координаты отсчетной поверхности, в качестве которой примем «нижнюю» лицевую поверхность тела оболочки, 
- нормальная координата. В этой координатной системе уравнения поверхностей раздела 
-го и 
-го слоев 
запишутся в виде
(1)
где 
На поверхностях (1) поперечные компоненты 
тензора напряжений и компоненты 
вектора перемещений должны удовлетворять условиям непрерывности [1], а приращение 
температуры – условиям идеального теплового контакта [2].
Считаем материалы связующего и армирующих волокон изотропными, а поперечное нормальное напряжение 
малым по сравнению с нормальными напряжениями в плоскости слоя оболочки. При перечисленных условиях уравнения Дюамеля – Неймана запишутся в виде
(2)
где 
- модуль Юнга и коэффициент Пуассона, соответственно, причем индекс 
следует взять равным 
для материала связующего и равным 
- для армирующих волокон. Для построения эффективных физических соотношений, связывающих между собой средние напряжения и средние деформации представительного элемента армированного слоя, использован структурный подход [1]. В результате получены эффективные уравнения Дюамеля – Неймана анизотропного упругого тела
(3)
Неклассические дифференциальные задачи термоупругого деформирования многослойной анизотропной оболочки строим на основе следующего допущения [1] о законе распределения поперечных компонент тензора деформаций по толщине оболочки:
(4)
Здесь 
- порядковый номер слоя. 
- значения поперечных сдвиговых ã , 2011
напряжений на верхней и нижней лицевой поверхности, соответственно. Распределение компонент вектора перемещений по толщине многослойного пакета, соответствующее закону (4), определяется из соотношений деформации – перемещения [1] и имеет вид
(5)
Легко видеть, что представления (4), (5) удовлетворяют условиям межслоевого контакта и условиям нагружения на поверхностях 
оболочки.
Примем следующий закон [3] распределения приращения температуры по толщине:
(6)
Здесь 
независимая характеристика, учитывающая отклонение от линейного закона распределения температуры, 
- заданная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
(7)
- коэффициенты тензора теплопроводности -го слоя. Один из возможных способов построения функции приведен в [3]. Легко убедиться, что распределение температуры (6), (7) удовлетворяет условиям нагрева на лицевых поверхностях и условиям идеального теплового контакта на поверхностях раздела слоев.
Дифференциальные уравнения связанной задачи термоупругого деформирования слоистой оболочки следуют из обобщенного принципа виртуальных перемещений [2]. Данный вариационный принцип включает в себя вариации обобщенных перемещений 
, вариацию поля температур 
и записывается в виде:
(8)
(9)
Подставляя в вариационное уравнение (8) выражения (4) – (7), выполняя интегрирование по поперечной координате и приравнивая к нулю множители при независимых вариациях обобщенных перемещений и множитель при вариации поля температур отдельно в поверхностном и контурном интегралах, приходим к системе дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругого деформирования слоистой оболочки
(10)
(11)
Итак, установлена замкнутая система дифференциальных уравнений (9), (10) термоупругости слоистой композитной оболочки, позволяющая учесть сопряжение полей деформаций и температур в теле оболочки, явление поперечных сдвигов в ее слоях, нелинейный закон распределения температуры по поперечной координате. Граничные условия, соответствующие системе (9) установлены в [1] и здесь сохраняют свой вид. Тепловые краевые условия отражают взаимодействие контура оболочки с окружающей средой. Этими условиями в точках граничного контура задается либо функция 
либо поток тепла через этот контур.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. , В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 20с.
2. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 19с.
3. , И. Теплопроводность многослойных армированных оболочек// Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Труды Всесоюзной конференции. Саратов, 7 – 9 июня 1988 г. – Саратов, 1989 г.- С. 126 – 130.
