Глава I. Выражения, тождества, уравнения

Глава I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

П.1. Вопросы:

Что называют числовым выражением? Что называют значением выражения? О каких выражениях говорят, что они не имеют смысла?

П.2. Вопросы:

Что называют переменной (выражением с переменной)? Что называют значением выражения с переменной? Назовите формулу чётного числа (нечётного числа).

П.3. Вопросы:

Какие неравенства называют строгими (нестрогими)?

П.4. Вопросы:

Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.

П.5. Вопросы:

Какие выражения называют тождественно равными? Какое равенство называют тождеством?

П.6. Вопросы:

Что называют преобразованием выражения? Перечислите правила выполнения тождественных преобразований.

П.7. Вопросы:

Что называют решением уравнения или корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения называют равносильными? Сформулируйте свойства уравнений.

П.8. Вопросы:

Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. В каком случае уравнение ах = b имеет единственный корень (не имеет корней, имеет бесконечно много корней)?

П.9. Вопросы:

Сформулируйте алгоритм решения задачи с помощью уравнения.

Глава II. ФУНКЦИИ

(

П.10. Вопросы:

Что называют функцией? Что называют областью определения функции (значениями функции)? Перечислите способы задания функции.

П.11. Вопросы:

В каком случае считают, что область определения функции состоит из всех значений независимой переменной? Как решают задачу отыскания значений аргумента (значений функции) с помощью формулы, задающей функцию?

П.12. Вопросы:

Сформулируйте определение линейной функции. Что называют графиком функции?

П.13. Вопросы:

Какую функцию называют линейной? Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции? Как определить, не выполняя построения, проходит график функции через точку или нет? Сформулируйте вопрос иначе. П.14.Вопросы: Сформулируйте определение функции прямой пропорциональности. Что является графиком? Как построить? Как расположен в координатной плоскости график функции (k)?

П.15. Вопросы:

В каком случае графики линейных функций пересекаются? Как найти координаты точки пересечения? При каком условии графики линейных функций параллельны?

Глава III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

П.16. Вопросы:

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем. Что называют основанием (показателем) степени? Что получается при возведении в степень положительного числа? При возведении в степень нуля? Отрицательного числа в чётную степень? Отрицательного числа в нечётную степень?

П.17. Вопросы:

Сформулируйте и докажите основное свойство степени. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

П.18. Вопросы:

Сформулируйте правило возведения в степень произведения, степени.

П.19. Вопросы:

Какое выражение называют одночленом? Какой вид одночлена называют стандартным? Что называют степенью одночлена? Коэффициентом одночлена?

П.20. Вопросы:

Сформулируйте правила умножения (возведения в степень) одночленов.

П.21. Вопросы:

Перечислите свойства квадратичной функции. Как отражаются эти свойства на графике функции? Перечислите свойства кубической функции. Как отражаются эти свойства на графике функции? Как называются графики функций?

П.22. Вопросы:

Что называют абсолютной погрешностью приближённого значения?

П.23. Вопросы:

Что называют относительной погрешностью приближённого значения? В чём принято выражать относительную погрешность?

Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ

П.24. Вопросы:

Дайте определение многочлена (двучлена, трёхчлена). Какие слагаемые называют подобными членами многочлена? Какие многочлены называют многочленами стандартного вида? Что называют степенью многочлена?

П.25. Вопросы:

Объясните, как складывают (вычитают) многочлены. Объясните, как представить многочлен в виде суммы или разности многочленов.

П.26. Вопросы:

Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. Сколько должно получиться одночленов в результате умножения?

П.27. Вопросы: Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?

Объясните способ разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

П.28. Вопросы:

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Сколько должно получиться членов при умножении многочлена, содержащего k членов, на многочлен, содержащий p членов?

П.29. Вопросы:

Объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки. Приведите пример.

П.30. Вопросы:

Какое равенство называют тождеством? Как доказывают тождества?

Зачёт № 3

Глава V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

П.31. Вопросы:

Назовите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство. Назовите формулу квадрата разности. Проведите доказательство. Выведите формулу куба суммы (разности). (№ 000; № 000) Приведите примеры применения формул.

П.32. Вопросы:

Что значит разложить на множители многочлен? Для разложения на множители выражений, какого вида используют формулы квадрата суммы и квадрата разности?

П.33. Вопросы:

Чему равно произведение разности двух выражений на их сумму? Как, используя это правило, найти значение произведения: 52 x 48; 7,02 x 6,98; 25,3 x 24,7?

П.34. Вопросы:

Какое тождество называют формулой разности квадратов? Для чего применяют эту формулу?

П.35. Вопросы:

Какое тождество называют формулой суммы (разности) кубов? Проведите доказательство этих формул. Какой трёхчлен называют неполным квадратом разности (суммы)?

П.36. Вопросы:

Какие выражения называют целыми? Приведите примеры. В каком виде можно представить любое целое выражение?

П.37. Вопросы:

Перечислите способы разложения многочлена на множители. Опишите каждый из способов, приведите примеры.

П.38. Вопросы:

Приведите примеры заданий, где применяются преобразования целых выражений.

Зачёт № 4

Глава VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

П.39. Вопросы:

Какое равенство называют уравнением с двумя переменными? Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Что называют решением этого уравнения? Перечислите его свойства.

П.40. Вопросы:

Что называют графиком уравнения с двумя переменными? Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными? Приведите пример линейного уравнения, график которого параллелен оси абсцисс (оси ординат).

П.41. Вопросы:

Что называют решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений? Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Какой способ решения системы уравнений называют графическим?

П.42. Вопросы:

Как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки? Какие системы называют равносильными?

П.43. Вопросы:

Как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения? Когда решение сразу начинают с почленного сложения уравнений? Каким образом можно проверить ответы, полученные аналитическим способом при решении системы линейных уравнений?

П.44. Вопросы:

Как поступают при решении задачи с помощью системы уравнений?

7 класс. Зачетные работы по алгебре

Тема: Алгебраические выражения

Работа 1

1. Найдите сумму или разность:

2. Найдите произведение или частное:

3. Вычислите:

4. Найдите значение выражения:

5. Решите задачи:

1. Найдите 25% от числа:

1) 200; 2)3; 3)5,7; 4)0,08.

2. Найдите число, если 17% его равны:

1) 340; 2) 8,5; 3) 0,051; 4) 2,89.

3. Выразите десятичной дробью числа его процент:

1) 43%; 2)75%; 3) 25%; 4) 60%; 5)11,4%.

4. Выразите в процентах дробь числа:

1) 0,5; 2) 0,37; 3) 0,7; 4) 1,35; 5) 1,2.

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Алгебраические выражения

Работа 2

1. Найдите значение выражения 5x –3y, если:

1) x = 7, y = 4 ; 2)

3) 4)

2. Найдите значение выражения если:

3. При каких значениях переменных имеет смысл выражение

4. Упростите выражение:

5. Приведите подобные слагаемые:

6. Раскройте скобки:

7. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

8. Упростите выражение:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Уравнения с одним неизвестным

Работа 1

1. Решите уравнение:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Уравнения с одним неизвестным

Работа 2

Решите задачу:

1. Двое рабочих изготовили 657 деталей, причем первый изготовил на 63 детали больше второго. Сколько деталей изготовил каждый?

2. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в 2 раза моложе дедушки?

3. Расстояние между пунктами А и В 40 км. Из пункта В выехал велосипедист, а из А навстречу ему автомобиль. Автомобиль проехал до встречи расстояние в 4 раза большее, чем велосипедист. На каком расстоянии от А произошла встреча?

4. Стоимость изделия третьего сорта в 3 раза меньше стоимости изделия первого сорта. Сколько стоит каждое изделие, если изделие первого сорта стоит на 5000 р. дороже изделия третьего сорта?

5. За 3 ч мотоциклист проезжает то же расстояние, что велосипедист за 5 ч. Скорость мотоциклиста на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Определите скорость каждого.

6. На двух садовых участках 84 яблони. Если с одного из них пересадить на другой1 яблоню, то на нем станет в 3 раза больше яблонь, чем останется на другом. Сколько яблонь на каждом участке?

7. Поезд был задержан в пути на 1 ч. Увеличив скорость на 30 км/ч, он через 3 ч прибыл на конечную станцию точно по расписанию. Чему была равна скорость поезда до остановки?

8. В двух седьмых классах 67 учеников, причем в одном на 3 ученика больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?

9. У Коли и Пети вместе 98 марок, причем у Коли в 6 раз больше марок, чем у Пети. Сколько марок у каждого?

10. Из пунктов А и В выехали навстречу друг другу соответственно автомобиль и велосипедист. Велосипедист проехал до встречи расстояние в 3 раза меньше, чем автомобиль. На каком расстоянии от А они встретились, если от А до В 80 км?

11. Мама весит в 5 раз больше дочери, а дочь весит на 40 кг меньше мамы. Сколько весят мама и дочь в отдельности?

12. За 2 часа грузовик проезжает на 20 км больше, чем легковой автомобиль за 1 час. Скорость легкового автомобиля в 1,5 раза больше скорости грузовика. Определите скорость каждого.

13. Отцу и сыну вместе 54 года. Сколько лет каждому, если через 3 года отец будет в 3 раза старше сына?

14. Рост мальчика 75 см и еще половина его роста. Каков рост мальчика?

15. Федя на 7 лет старше Пети, а их папе в 3 раза больше лет, чем им обоим вместе. Сколько лет каждому, если папе было 36 лет, когда родился Петя?

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Уравнения с одним неизвестным

Работа 3

1. В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 792 билета?

2. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей Каковы стороны треугольника?

3. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

4. В трех цехах завода работают 1274 человека. Во втором цехе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на 84 человека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?

5. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

6. Можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй и на 5 книг больше, чем на треть

7. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором на 4 банки меньше, чем в третьем

8. На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?

9. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

10. По шоссе идут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

11. В первой бригаде в 2 раза больше рабочих, чем во второй. В результате введения хозрасчета число рабочих первой бригады уменьшилось на 5 человек, а число рабочих второй бригады уменьшилось на 2 человека. Сколько рабочих стало в каждой бригаде, если известно, что после введения хозрасчета в первой бригаде их оказалось на 7 больше, чем во второй?

12. В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а 12 перевели в первую, людей в бригадах стало поровну. Сколько человек было в первой бригаде?

13. На доске записано некоторое число. Один ученик увеличил это число на 23, а другой уменьшил на 1. Результат первого оказался в 7 раз больше, чем результат второго. Какое число записано на доске?

14. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда; было в корзине?

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Одночлены и многочлены

Работа 1

1. Найдите значение выражения:

2. Сравните с нулем значение выражения (ответ запишите в виде неравенства):

3. Вычислите значение выражения:

при х = 12 и у = –0,5; х = –14 и у = –1;

при х = –6 и у = 1,5; х = 0 и у = –23;

при х = 0,7 и у = 0,3; х = –11 и у = 6;

при х = –14 и у = –10; х = 0,9 и у = 1,1.

4. Представьте в виде степени произведение:

5. Представьте в виде степени частное:

6. Упростите выражение:

7. Возведите в степень произведение:

8. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей –1 и х:

9. Упростите выражение:

10. Найдите значение выражения, используя свойства степеней:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Одночлены и многочлены

Работа 2

1. Выполните умножение:

2. Выполните возведение одночлена в степень:

3. Упростите выражение:

4. Представьте в виде одночлена стандартного вида:

5. Приведите многочлен к стандартному виду:

6. Приведите подобные члены и укажите степень многочлена:

7. Упростите выражение:

8. Выполните умножение:

9. Упростите выражение:

10. Выполните умножение:

11. Упростите выражение:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Разложение многочленов на множители

Работа 1

1. Вынесите за скобки общий множитель:

2. Разложите многочлен на множители:

3. Разложите на множители:

4. Выполните преобразование:

5. Преобразуйте в многочлен:

6. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Разложение многочленов на множители

Работа 2

1. Выполните умножение двучленов:

2. Упростите выражение:

3. Разложите на множители:

4. Упростите выражение:

5. Преобразуйте в многочлен:

6. Найдите значение выражения:

при х = –3,5;

при

7. Разложите на множители:

8. Представьте в виде произведения:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Алгебраические дроби

Работа 1

1. Найдите допустимые значения букв, входящих в дроби:

2. Сократите дробь:

3. Вычислите:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Алгебраические дроби

Работа 2

1. Выполните сложение или вычитание:

2. Выполните действия:

3. Упростите выражение:

4. Выполните сложение или вычитание:

5. Упростите выражение:

Зачетная работа по алгебре для 7 класса

Тема: Алгебраические дроби

Работа 3

1.Выполните умножение или деление:

2. Упростите выражение:

3. Упростите выражение:

4. Упростите выражение:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Линейная функция и ее график

Работа 1

1. Построите систему координат (возьмите единичные отрезки на осях, равные 2 клеткам). Отметьте в координатной плоскости точки:

1) (2; 4), (5; –3), (–1; 1), (–2; –3);

2) (3; –6), (–6; 3), (–4; –2), (–2; –4);

3) (2,5; 1), (2,5; –1), (0,4; 3,5), (–0,4; 3,5);

4)(3,2; 0),(–4,5; 0), (0; 1,5), (0; –2,8).

2. 1) Постройте по две точки в каждой координатной четверти и запишите их координаты.

2) Постройте по две точки на каждой координатной оси и запишите их координаты.

3. 1) Постройте в координатной плоскости прямую, проходящую через точки С (–4; 3) и D (3; –1). Найдите координаты точек, в которых эта прямая пересекает ось х и ось у.

2) Постройте в координатной плоскости точки А (–2;– 1,5), B (–3,5; 0), С (–2; 1,5), D (2; 1,5), Е (3,5; 0), F (2; –1,5). Соедините их последовательно отрезками так, чтобы получился многоугольник. Запишите координаты точек, в которых стороны многоугольника пересекают ось у.

4. Найдите значения функции, заданной формулой:

1) для значений аргумента, равных –3; 0; 1; 6;

2) для значений аргумента, равных –6; –1; 0; 1,5;

3) для значений аргумента, равных –3; 0; 3; 4,5.

4. Составьте таблицу значений функции у = 0,8 — 0,4х, где–1„х„3, с шагом, равным 1. Пользуясь составленной таблицей, укажите: значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 0; значение аргумента, при котором значение функции равно 0.

5. Найдите значение аргумента, при котором:

1) функция принимает значение, равное 12;

2) функция принимает значение, равное .

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Линейная функция и ее график

Работа 2

1. Постройте график функции:

2. Используя какой-либо график из задания 1, определите:

1) чему равно значение функции, если значение аргумента равно 1; 2; –1,5; –1;

2) при каком значении аргумента значение функции равно 0; 2; –2; –3.

Проверьте свои результаты вычислениями.

3. Функции заданы формулами Укажите те из них, графиком которых является прямая, проходящая через начало координат, и постройте эти графики.

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Линейная функция и ее график

Работа 3

1. Постройте в одной системе координат графики функций Ответьте на вопросы:

1) чему равен угловой коэффициент каждой прямой;

2) каково взаимное расположение графиков функций;

3) каковы координаты пересечения каждого графика с осями координат?

2. Постройте график линейной функции:

3. Постройте в одной системе координат графики функций и укажите координаты точки их пересечения:

и

и

и

4. Постройте график функции:

где х…0; где х„0.

5. Постройте график функции, заданной формулами:

1)

Является ли функция линейной?

6. В одной системе координат постройте графики функций, вычислив координаты точек пересечения графиков с осями:

Укажите пары параллельных прямых.

7. Задайте формулой линейную функцию, если известны угловой коэффициент k

соответствующей прямой и координаты точки A, через которую она проходит:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Работа 1

1. Выразите в следующих уравнениях х через у и у через х:

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Работа 2

1. Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных:

2. Решите способом сложения систему уравнений.

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Работа 3

1. Решите систему уравнений:

2. Вычислите координаты точки пересечения прямых:

и и

и и

Зачетные работы по алгебре для 7 класса

Тема: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Работа 4

1. Запишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:

1) а) Сумма двух чисел равна 17. Одно из чисел на 7 меньше другого.

б) Разность двух чисел равна 12. Одно из них больше другого в 4 раза.

2) а) В классе 36 учеников. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков.

б) Периметр прямоугольника 400 м. Длина его в 3 раза больше ширины.

3) а) 4 боксера тяжелого веса и 5 боксеров легкого веса вместе весят 730 кг. Спортсмен тяжелого веса весит на 70 кг больше спортсмена легкого веса.

б) Таня заплатила за 3 тетради и 2 карандаша 580 р., а Лена за 5 таких же тетрадей и 1 карандаш — 780 р.

2. Придумайте ситуацию, которая описывается следующей системой уравнений:

3. Составьте систему уравнений и решите задачу:

1) Расстояние между домами, где живут Андрей и Борис, 1500 м. Школа находится между их домами, причем от дома Андрея она на 300 м дальше, чем от дома Бориса. На каком расстоянии от школы находится дом каждого мальчика?

2) У Толи 18 монет по 2 р. и 5 р. на сумму 97 р. Сколько монет каждого достоинства у Толи?

3) В магазине продаются тетради по 96 листов и по 24 листа. Во всех тетрадях, купленных Сашей, 528 листов. Сколько толстых и сколько тонких тетрадей купил Саша, если все купленные им толстые тетради содержат на 48 листов больше, чем все тонкие?

4) Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй за 3ч. Всего за это время он прошел 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

5) Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом по шоссе 700 км. Новгород находится между этими городами, причем от Москвы на 300 км дальше, чем от Санкт-Петербурга. На каком расстоянии от Москвы и на каком от Санкт-Петербурга находится Новгород?

6) У Лены 8 монет по 10 р. и 5 р. Сколько у нее десятирублевых и сколько пятирублевых монет, если всего у нее 65 р.?

7) На получение пирожка в автомате нужно 5 жетонов, а булочки — 1 жетон. Таня получила в автомате несколько пирожков и булочек, опустив за всю покупку 25 жетонов. Сколько пирожков и сколько булочек получила Таня, если за булочки она опустила на 15 жетонов меньше, чем за пирожки?

8) Туристы прошли 24 км, причем 3 ч дорога шла в гору, а 2 ч — под гору. С какой скоростью туристы шли в гору и с какой под гору, если на первом участке они проходили в час на 2 км меньше, чем на втором?

9) Мальчик на вопрос о том, сколько лет ему и его брату, ответил так: «Вместе нам 20 лет; 4 года назад я был в 2 раза старше своего брата. Сосчитайте, сколько лет каждому из нас сейчас».

10) В первой рукописи на 60 страниц больше, чем во второй. Машинистка, печатающая первую рукопись, выполнив 60% всей работы, перепечатала на 12 страниц меньше, чем машинистка, печатающая вторую рукопись и выполнившая 80% всей работы. Сколько страниц в каждой рукописи?

11) За 3 ч против течения лодка проплыла на 5 км больше, чем за 2 ч по течению. Скорость лодки против течения составляет 0,75 ее скорости по течению. Какое расстояние прошла лодка за это время?