Материал для занятий элективного курса «Некоторые вопросы планиметрии»

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Материал для занятий элективного курса «Некоторые вопросы планиметрии»

Лекция №1

Центральные и вписанные углы в задаче B6

Определение

Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.

Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.

Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:

Теорема

Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Вписанный угол AMB и центральный угол AOB

Существует целый класс задач B6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.

Задача 1

Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Решение

Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:

AOB - равносторонний треугольник

Рассмотрим треугольник ABO. В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO — равносторонний, и все углы в нем по 60°.

Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту же дугу AB, вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O. Имеем:

M = O : 2 = 60 : 2 = 30

Ответ 30

Задача 2.

Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение

Введем обозначения:

1. AB — хорда окружности;

2. Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB — центральный;

3. Точка C — вершина вписанного угла ACB.

Вписанный угол ACB и центральный угол AOB

Поскольку мы ищем вписанный угол ACB, обозначим его ACB = x. Тогда центральный угол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:

AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 · x;
x = 36.

Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.

Ответ 36

Окружность — это угол в 360°

И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

Тригонометрическая окружность

Полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B6.

Задача 3.

Треугольник ABC и описанная окружность

Точки A, B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC.

Решение

Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. В сумме эти дуги дают 360 градусов:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна 5x = 5 · 40 = 200 градусов.

Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем:

ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100

Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC.

Ответ 100

Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника

Теорема

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный

Что следует из этой теоремы?

Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы; Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B6.

Задача 4.

Прямоугольный треугольник ABC и медиана CD

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°, а угол B — 60°. Найдите угол ACD.

Решение

Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные.

В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны . Поэтому искомый угол ACD = A.

Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Ответ 30

Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.

Тренировочный материал к лекции №1

Открытый банк заданий ЕГЭ 2013

Окружность. В6

245385.Найдите центральный угол AOB , если он на $15^{\circ}$ больше вписанного угла , опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

282851. В ромбе ABCD угол ABC равен $122^{\circ}$ . Найдите угол ACD . Ответ дайте в градусах.

282852. В ромбе ABCD угол ACD равен $43^{\circ}$ . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

27855. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

27856. Найдите хорду, на которую опирается угол $90^\circ$ , вписанный в окружность радиуса 1.

27857. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.228/innerimg0.jpg

27858. Найдите хорду, на которую опирается угол $30^\circ$ , вписанный в окружность радиуса 3.

MA.OB10.B4.229/innerimg0.jpg

27859. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.230/innerimg0.jpg

27860. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $\sqrt{2}$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.231/innerimg0.jpg

27861. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $\sqrt{2}$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.233/innerimg0.jpg

27862. Найдите хорду, на которую опирается угол $120^\circ$ , вписанный в окружность радиуса $\sqrt{3}$ .

MA.OB10.B4.237/innerimg0.jpg

27863Центральный угол на $36^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.240/innerimg0.jpg

27864. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\frac{1}{5}$ окружности. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.241/innerimg0.jpg

27865. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $20 \%$ окружности. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.242/innerimg0.jpg

27866. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет $200^\circ$ . А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет $80^\circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.243/innerimg0.jpg

27867Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.244/innerimg0.jpg

27868Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5 . Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.245/innerimg0.jpg

27869. и — диаметры окружности с центром . Угол равен $38^\circ$ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.246/innerimg0.jpg

27870В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен $110^\circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.247/innerimg0.jpg

27871Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен $58^\circ$ .

Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.248/innerimg0.jpg

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $95^\circ$ , $49^\circ$ , $71^\circ$ , $145^\circ$ . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.249/innerimg0.jpg

27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.250/innerimg0.jpg

27874Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $105^\circ$ , угол CAD равен $35^\circ$ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.251/innerimg0.jpg

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен $75^\circ$ , угол CAD равен $35^\circ$ . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.252/innerimg0.jpg

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $110^\circ$ , угол ABD равен $70^\circ$ . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.253/innerimg0.jpg

27877Хорда AB стягивает дугу окружности в $92^\circ$ . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.254/innerimg0.jpg

27878Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен $32^\circ$ . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.255/innerimg0.jpg

27879Через концы A, B дуги окружности в $62^\circ$ проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.256/innerimg0.jpg

27880Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный $122^\circ$ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.257/innerimg0.jpg

27881Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна $64^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.258/innerimg0.jpg

27882. Угол ACO равен $28^\circ$ , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.259/innerimg0.jpg

27883. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна $116^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.260/innerimg0.jpg

27884Угол ACO равен $24^\circ$ . Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.261/innerimg0.jpg

27885. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $118^\circ$ и $38^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.262/innerimg0.jpg

27886Угол ACB равен $42^\circ$ . Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна $124^\circ$ . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.263/innerimg0.jpg

27887Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.264/innerimg0.jpg

27888Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.265/innerimg0.jpg

27889Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.266/innerimg0.jpg

27890Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.267/innerimg0.jpg

27891Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.268/innerimg0.jpg

10.В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 6 , BC = 2 и CD = 14 . Найдите четвертую сторону четырехугольника.

MA.OB10.B4.324/innerimg0.jpg 12. MA.OB10.B4.323/innerimg0.jpg 14. MA.OB10.B4.322/innerimg0.jpg 15. MA.OB10.B4.321/innerimg0.jpg

11. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 12 , BC = 6 и CD = 52 . Найдите четвертую сторону четырехугольника.

12. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 15 и 21. Найдите большую из оставшихся сторон.

13. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 1 и 24. Найдите большую из оставшихся сторон.

14. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 42 , CD = 33 . Найдите периметр четырехугольника.

15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Задания для устной работы

27864Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\frac{1}{5}$ окружности. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.241/innerimg0.jpg

27865. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $20 \%$ окружности. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.242/innerimg0.jpg

MA.OB10.B4.243/innerimg0.jpg

52423. и — диаметры окружности с центром . Угол равен $54^\circ$ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.246/innerimg0.jpg

51383. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 8 : 9 . Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.245/innerimg0.jpg

50985. Найдите хорду, на которую опирается угол $90^\circ$ , вписанный в окружность радиуса 49.

27858. Найдите хорду, на которую опирается угол $30^\circ$ , вписанный в окружность радиуса 3.

MA.OB10.B4.229/innerimg0.jpg

51683. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

27857.Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.228/innerimg0.jpg

Контрольный тест

1.Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.228/innerimg0.jpg

2.Найдите хорду, на которую опирается угол $30^\circ$ , вписанный в окружность радиуса 3.

3.Центральный угол на $36^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.240/innerimg0.jpg

4. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет $200^\circ$ . А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет $80^\circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.243/innerimg0.jpg

5. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.244/innerimg0.jpg

6. и — диаметры окружности с центром . Угол равен $38^\circ$ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.246/innerimg0.jpg

7. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен $58^\circ$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.248/innerimg0.jpg

8. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

9. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $105^\circ$ , угол CAD равен $35^\circ$ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.251/innerimg0.jpg

51081. Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $48\sqrt{2}$ . Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.231/innerimg0.jpg

Материал для занятий элективного курса «Некоторые вопросы планиметрии»

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы