УДК 519.63

Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТАТУСА АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПОПЕРЕЧНОМ КОЛЕБАНИИ БАЛКИ

Сложилось мнение, что аналитические методы решения начально-краевых задач с большими градиентами не пригодны для проведения практических расчетов из-за потери гладкости и возникновения «биений» для больших номеров гармоник. В настоящей заметке предлагается использовать специальный вид собственных функций, позволяющий сохранить гладкость и правильно отразить погранслойный характер граничных условий для любых номеров собственных функций в задаче о колебаниях закрепленного на концах стержня.

Задача о поперечных колебаниях закрепленного на концах стержня сводится к спектральной задачи Штурма-Лиувиля. Требуется определить функциии множество значений , удовлетворяющей краевой задаче

(1)

Для выделения однозначного решения (1) производят нормировку . В известные выражения [1,2] для вкралась неточность, поэтому получим явный аналитический вид нормы.

Рассмотрим функция , которые удовлетворяют той же задаче, но с другим характеристическим числом

(2)

Умножим (1) на , а (2) на , вычитанием результатов получим

(3)

Интегрируем по частям правую часть (3) получаем

(4)

Решение задачи (2) можно записать в виде

(5)

при выполнении характеристического уравнения

(6)

В формуле (4) используем (5) , (6) и перейдем к пределу при

(7)

Тогда норма из (7) выражается просто

(8)

Ортогональность следует из (4), а функции равные

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(9)

являются ортонормированными собственными функциями задачи (2), представленные через гиперболические функции.

Для использования (9) необходимо решить характеристическое уравнение (6).

Решения характеристического уравнения (6) дискретно и можно представить в виде [1]

(10)

где положительные и достаточно малые значения, . Подставляя (10) в (6) получаем уравнение для

(11)

Разлагая в ряды тангенс и экспоненту, получаем приближенное значение

(12)

В формуле (12) первые два слагаемых совпадают с аналогичным выражением из [1, стр.298]. Графики зависимости представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Собственные функции , рассчитанные по (9) для 1 – n=11, 2 – n=28

Из приведенных графиков видно, что «биения» начинаются с n=11, в отличие от [3] носят регулярный характер, и переполнения при n=28 и более не происходит. Тем не менее, существует особенность в представлении решения в форме (9) – наличие колебаний с двумя амплитудами, так при n=28 граница перехода от одной амплитуды к другой составляет (рисунок 1). Это явление не физично, так как неподвижные концы балки и должны вносить эквивалентные эффекты. Это можно объяснить несимметричнам вкладом точек и в записи решения, которое представляется через гиперболические функции. Действительно, в зависимости от происходит сложение двух колебаний

(13)

где

(14)

Выражение в квадратных скобках при больших имеет колебательный характер при и практически равно нулю при . Можно показать, что .

Такое странное явление – наличие колебаний с двумя амплитудами, можно избежать, если учесть симметричный вклад концов балки и перейти в (9) к экспоненциальным функциям

, (15)

где

(16)

Рисунок 2 - Собственные функции при , 1 – рассчитанные по (15), 2 – первые два слагаемых в (15)

Как следует из графического представления (рисунок 2) формула (15) действительно позволяет учитывать две погранслойные зоны при и . Используя асимптотические выражения (10) и (12), формулу (15) можно записать в виде, симметричном относительно концов при

(17)

Получено выражение для нормы собственных функций в задаче о поперечных колебаниях балки. Использование его позволило избежать «биений», потерю гладкости и переполнения памяти при больших номерах гармоник. Преобразования формулы для собственных функций к экспоненциальному позволило записать решение в симметричном виде относительно концов. Полученные результаты однозначно возвращают статус аналитического подхода при решении динамических задач колебания балки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лорд Рэлей. Теория звука Том 1/ Лорд Рэлей.- М.:Гостехиздат, 1955. – 504 с.

2. Будак задач по матфизике / , , .- М.: Наука, 19с.

3.Немировский метод численного интегрирования динамических осесимметричных задач цилиндрических оболочек. / , // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. трудов 8-ой Всероссийской конференции.1-3 декабря 2006г. Новокузнецк, 2006 – С.76–83.