Указания к решению задач контрольной работы

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ:

-ссылки на модули (1,2) теории –см. отд. файлы

Задача 1. (на комбинаторику)

Вычислить число сочетаний из n по m (n и m выбираются по номеру варианта).

Задача 2.(на комбинаторику)

Вычислить число размещений из n по m. Во сколько раз полученный результат отличается от решения задачи 1. Ответ обосновать. (n и m выбираются по номеру варианта).

К ЗАДАЧАМ 1 И 2 СМ. ТЕОРИЮ МОДУЛЬ 1 СТР. 4: ТАМ ЕСТЬ Ф-ЛА ДЛЯ РАЗМЕЩЕНИЙ И СОЧЕТАНИЙ И СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ. ВСЕ РАСЧЁТЫ МОЖНО ПРОИЗВОДИТЬ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ НА КОМПЬЮТЕРЕ : ИСПОЛЬЗОВАТЬ КНОПКУ n!

(калькулятор на компьютере имеет 2 представления: выбрать вид:инженерный). Можно использовать отдельный калькулятор, на котором есть кнопка n!

Например, чтобы рассчитать надо набрать 20 n! / 5 n! = / 15 n! =

а, чтобы рассчитать надо набрать 20 n! / 15 n! =

Задача 3. (на классическую вероятность)

А). Рассчитать лотерею Спортлото h из l. (h и l по номеру варианта

Лотерея выглядит следующим образом: сначала человек отмечает в карточке h номеров из l. Затем в лотерее при розыгрыше определяются h выигрышных номеров (шары с номерами от 1 до l крутятся в барабане и по одному оттуда выкатываются h шаров - это и есть выигрышные номера). )В зависимости от количества угаданных выигрышных при заполнении карточки номеров участник получает некоторый выигрыш или ничего не получает.

Типовая задача:

Покажем для примера как рассчитать вероятности угадать определённое кол-во номеров в лотерею 6 из 49

49 номеров : из них всегда 43 невыигрышных и 6 выигрышных

- число вариантов заполнения карточки

Шанс угадать i (i=0..6) номеров рассчитывается по формуле классической вероятности:

- шанс угадать 0 номеров ( - число вариантов заполнения карточки, - число вариантов, содержащих только невыигрышные номера)

- шанс угадать 1номер ( - число вариантов заполнения карточки, - число вариантов, содержащих 1 выигрышный номер и 5 невыигрышных)

- шанс угадать 2 номера - шанс угадать 3 номера

- шанс угадать 4 номера - шанс угадать 5 номеров

- шанс угадать 6 номеров

Всё надо досчитать до чисел.

Б). Код на кодовом замке состоит из d цифр от 0 до 9. Какова вероятность открыть этот замок с первого раза, если известно, что 1).цифры могут повторяться, 2).цифры не могут повторяться, 3). Сами цифры известны и различны, но неизвестен их порядок (d выбирается по номеру варианта).

Расчёт ведём по формуле классической вероятности

A={замок откроется с первого раза}

для всех трёх пунктов т. к. единственная комбинация цифр открывает замок

1). - на каждую из d позиций кода можем выбрать цифру 10 способами (расчёт по обобщённому правилу умножения см. модуль 1 стр.4)

2). на первую из d позиций кода можем выбрать цифру 10 способами, на вторую 9 способами, т. к. цифры не должны повторяться (расчёт по обобщённому правилу умножения см. модуль 1 стр.4 )

3). на первую из d позиций кода можем выбрать цифру d способами (т. к. все d цифр известны и мы выбираем только из них, на вторую (d-1) способами и т. д. (расчёт по обобщённому правилу умножения см. модуль 1 стр.4 )

Далее для всех трёх пунктов отдельно для каждого расчёт ведётся по формуле классической вероятности:

, т. е. для каждого из трёх случаев ответ будет свой, и он будет отражать вероятность открыть замок с первого раза с учётом имеющейся информации

В). Из 2 ящиков, содержащих шары с номерами от 1 до n выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что сумма выбранных номеров будет меньше a, а произведение больше b.

Типовая задача

Возьмём n=6, а=9, b=9

Всего у нас 36 вариантов пар номеров

Построим таблицу для вариантов суммы и отметим те варианты пар, для которых сумма номеров <9

Сум-ма	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Построим таблицу для вариантов произведения и отметим те варианты пар, для которых произведение больше 9

Произв	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

Событие A={сумма меньше 9} – варианты отмечены цветом в таблице «сумма» 26 – считаем количество отмеченных клеточек в таблице «сумма»

Событие B={произведение больше 9} – варианты отмечены цветом в таблице произведение19 – считаем количество отмеченных клеточек в таблице «произведение»

Событие AB={сумма меньше 9, а произведение больше 9} – варианты отмечены зачёркиванием в таблице «сумма» 9 - считаем количество отмеченных клеточек в обеих таблицах

Задача 4.(на геометрическую вероятность)

Два человека договорились встретиться в определенном месте в течение определённого временного интервала длины d. Причём в течение этого интервала каждый из них может прийти в любой момент времени. Также они договорились о следующем:

Первый человек ждёт второго u минут или до конца интервала ожидания (если после его прихода остаётся меньше времени, чем u до конца интервала)

Второй человек ждёт первого v минут или до конца интервала ожидания (если после его прихода остаётся меньше времени, чем v до конца интервала)

Найти вероятность их встречи при данных условиях.

(d, u, v свои для каждого варианта)

расчёт вести по формуле геометрической вероятности образец см. стр. 8-9 модуль 1 и

типовую задачу:

Возьмём для примера

(первый может прийти через x минут после начала интервала ожидания, второй через y минут после начала интервала ожидания).

- если точка, соответствующая моментам прихода обоих попадёт в полосу, то они встретятся.

- т. к. второй ждёт всего 10 минут – первый не должен прийти позже чем на 10 минут после прихода второго

- т. к. первый ждёт всего 25 минут - второй не должен прийти позже чем на 25 минут после прихода первого

Событию A соответствует полоса -область между двумя прямыми (уравнения прямых получаются после раскрытия неравенств, геометрически область соответствует решениям системы неравенств ).

Т. к. - двумерно, то в качестве будет выступать площадь. Т. к. - квадрат, то область ограничена и, следовательно, её площадь конечна. Т. к. оба встречающихся приходят наудачу в течении данного часа, то никакие точки квадрата не имеют преимущества перед другими.

- площадь полосы вычисляется как разность площади квадрата и площадей двух прямоугольных треугольников, которые дополняют полосу до квадрата – см. рисунок (площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов - в нашем случае катеты у каждого из треугольников равны между собой)

Следовательно, по формуле геометрической вероятности имеем:

(или примерно 48 %-шанс встречи)

Задача 5.(схема Бернулли)

Рассчитать вероятность получить

А).m успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p. В ответе досчитать всё до числа. (n, m, p свои для каждого варианта)

Б). число успехов в диапазоне [m1;m2]

Типовая Задача (на формулу Бернулли и следствия к ней)

Правильную монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятности следующих событий:

A={герб выпадет ровно 5 раз}

B={герб выпадет не более 5 раз}

Решение:

Переформулируем задачу в терминах испытаний Бернулли:

n=10 число испытаний

успех- герб

p=0.5 –вероятность успеха

q=1-p=0.5 –вероятность неудачи

Для расчёта вероятности события A используем формулу Бернулли:

(как считать см. первую задачу)

Для расчёта вероятности события В используем следствие 1 к формуле Бернулли:

m1=0

m2=5

как считать см. первую задачу – расчёт провести на калькуляторе для каждого слагаемого

Задача 6. (теоремы сложения, умножения верояностей)

1). Четыре стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания соответственно равны p1, p2,p3,p4. Найти вероятности событий A и B (содержание событий A и B и вероятности p1, p2, p3, p4свои для каждого варианта).

A={попал(и) только далее см. по номеру варианта}

B={начало см. по номеру варианта попадания(ий)}

Рекомендации к решению:

Для расчёта вероятности события A использовать теорему умножения для независимых событий (стр. 10 модуль 1) и св-во .

Для расчёта вероятности события В использовать теорему умножения для независимых событий и теорему сложения для несовместных событий (стр. 10 модуль 1) и св-во .

-------

Для примера рассмотрим задачу о трёх стрелках

Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания соответственно равны p1, p2,p3. Найти вероятности событий A, D и B.

·  попал только первый, если стреляют три стрелка: A=

·  попал только первый и второй, если стреляют три стрелка: D=

По теореме умножения для независимых событий

= дальше подставить числа и рассчитать ответ

= дальше подставить числа и рассчитать ответ

·  не более одного попадания, если стреляют три стрелка = (никто не попал) или (попал только первый) или (попал только второй) или (попал только третий)

B=+++

По теореме сложения для несовместных событий:

P(+++)=P()+P()+

P()+P()=дальше произведения раскрывать по теореме умножения для независимых событий и подставлять числа (см. расчёт событий A и D).

На основании этих примеров распишите свою задачу для четырёх стрелков

2). Студент знает из вопросника к экзамену, состоящего из 40 вопросов q вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на заданные ему один за другим подряд k вопросов из вопросника правильно, т. е. ему попадутся вопросы из тех, которые он знает.

Для расчёта использовать теорему умножения вероятностей для зависимых событий (стр. 10 модуль 1).

образец задачи см. стр. 11 модуль 1 (-> про соловья и вола)

События ввести следующим образом:

….

Тогда . Дальше расписать по теореме умножения для зависимых событий и отдельные вероятности подставить, используя формулу классической вероятности.

Задача 7.

А). Дискретная с. в. X принимает значения от 1 до n. (т. е. 1, 2, 3 и т. д….n). вероятность для каждого значения . Записать распределение с. в. X в виде ряда. Найти математическое ожидание случайной величины X, дисперсию с. в. X и среднее квадратическое отклонение с. в. X, а также рассчитать для неё вероятность попасть в интервал [1,m] (n и m выбирается по номеру варианта).

Образец См. модуль 2 стр. 1-2

Б). Из урны, содержащей 6 белых и 5 чёрных шаров выбирают случайным образом s шаров. Построить ряд распределения с. в. X – кол-ва белых (чёрных - в зависимости от варианта) среди отобранных. В ряду распределения всё можно оставить в терминах сочетаний. (s выбирается по номеру варианта, также по номеру варианта смотри какие шары рассматриваются чёрные или белые).

Образец-типовая задача :

В урне 5 черных и 3 белых шара. Из урны случайным образом выбирают 6 шаров.

С. в. X – кол-во чёрных среди выбранных

3..5 - сначала определяем диапазон (больше 5 чёрных быть не может, т. к. их всего 5, а меньше трёх быть не может, т. к. белых всего 3, а выбирают 6 шаров)

- рассчитывается по формуле классической вероятности (аналогично задаче про лотерею: там были выигрышные и невыигрышные номера, а здесь белые и черные шары))

Построим ряд распределения

X	3	4	5
P

Задача 8.

Непрерывная с. в. Y задана своей плотностью

Найти постоянную a, математическое ожидание и дисперсию с. в. Y, среднеквадратическое отклонение с. в.Y и рассчитать вероятность её попадания в интервал (0;1). (f свое для каждого варианта).

Образец См. модуль 2 стр. 4-5. При расчётах возникнет необходимость использования табличного интеграла