Математическое моделирование, №11, 2010г. ( в печати)
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ
, ,
Московский физико-технический институт (государственный университет)
1. Введение
Задачи о распространении волн в геологических средах имеют свою специфику. Дело в том, что геологические среды являются, как правило, существенно гетерогенными и градиентными (т. е. скорости звука в них изменяются в зависимости от координат). Гетерогенность таких сред обусловлена наличием поверхностей раздела сред (возможно многочисленных), резервуаров, карстовых образований, трещин и систем трещин, которые могут иметь разные размеры и разную ориентацию в пространстве. Все эти особенности геологической среды должны быть описаны в рамках либо осредненных моделей, либо математически корректного выделения всех (или части) неоднородностей, например, с помощью решения задачи контактного разрыва на поверхностях раздела сред. При этом нужно иметь в виду то, что для получения адекватного численного решения соответствующих задач, которые сводятся к динамической системе уравнений в частных производных гиперболического типа (уравнения теории упругости и, возможно, акустики) необходимо выбрать или разработать соответствующий характеру таких задач метод. Известно, что методы, способные наиболее адекватно описывать сложные волновые процессы в существенно неоднородных средах должны учитывать характеристические свойства соответствующей системы уравнений механики сплошных сред. Авторами разработан гибридный сеточно-характеристический метод для численного решения задач механики деформируемого твердого тела, способный учитывать указанные особенности гетерогенных геологических сред. Он позволяет корректно строить алгоритмы на контактных границах и границах области интегрирования, в определенной степени учитывать физику задачи (распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей), обладает важным для рассматриваемых задач свойством монотонности.
2. Постановка задачи
В данной работе в качестве начального возмущения использовалась модель землетрясения (рис. 1) – «подвижка по разлому». Геометрия области начального возмущения – прямоугольник 500 м * 40 м. Скорость среды составляла 10 см/с. Источник начального возмущения расположен на глубине 1500 м по центру расчётной области. Общая ширина области интегрирования 5000 м. Глубина – 4000 м. На поверхности была установлена серия из сорока одного сейсмоприёмника, с центром в эпицентре землетрясения и с шагом 100 м. На рис. 2 приведена общая схема численного эксперимента.
Рисунок 1 – «Подвижка по разлому»
 |
Рисунок 2 – Постановка задачи
3. Математическая модель и численный метод решения задачи
Для математического моделирования волновых процессов в деформируемом твердом теле использовалась система динамических уравнений, объединяющая уравнения движения и реологические соотношения в виде:
Здесь 
– плотность среды, 
– компоненты скорости смещения, 
, 
– компоненты тензоров напряжения и деформаций, 
– ковариантная производная по j-й координате, 
– добавочная правая часть.
Вид компонент тензора 4-го порядка 
определяется реологией среды. Для линейно-упругого тела
Вторая группа уравнений представляет собой продифференцированный по времени закон Гука:
В этом соотношении 
и 
– упругие постоянные Ляме, 
– символ Кронекера.
Для численного решения динамических уравнений механики деформированного твердого тела использовался сеточно-характеристический метод, подробнее с которым можно ознакомиться в [1].
4. Результаты численного решения задачи
4.1. Градиентная геологическая среда.
Было проведено моделирование для среды, характеристики которой приведены на рис. 3 (справа). Данные соответствуют модели Саниной для «Терско-Каспийского прогиба». Плотность среды выбрана равной 2500 кг/м3. Выяснено, что к поверхности распространяются 4 волны: две продольные и две поперечные, причём поперечные волны имеют большую амплитуду. Волновая картина приведена на рис. 3 (слева).
Рисунок 3 – Модель Саниной (слева) и результаты моделирования (справа)
4.2. Геологическая среда с карстовым образованием.
Было проведено моделирование для случая наличия в однородной среде приповерхностного карстового образования. Оно моделировалось полостью прямоугольной формы 80 м * 50 м, с центром на глубине 125 м. Характеристики вмещающей среды: продольная скорость - 5100 м/с, поперечная скорость – 3400 м/с, плотность – 2500 кг/м3.
На волновой картине (рис. 4) видна дифракция падающей волны на карстовом образовании, а также волны, отражённые от дневной поверхности
Рисунок 4 – Среда с карстовым образованием до прохождения волн (слева) и после (справа)
.
4.3. Слоистая геологическая среда.
При прохождении волны через границы раздела сред с разными характеристиками, кроме проходящей волны появляются также отражённая волна. Было проведено моделирование для среды, состоящей из четырёх слоёв с существенно отличающимися характеристиками. Ниже приведены параметры слоёв:
Слой | Толщина, м | Плотность, кг/м3 | СP, м/с | СS, м/с |
1 | 300 | 2500 | 4190 | 2793 |
2 | 400 | 2500 | 4650 | 3100 |
3 | 500 | 2500 | 5250 | 3500 |
4 | 2800 | 2500 | 5850 | 3900 |
На сейсмограмме, приведённой на рис. 5, хорошо видны волны, отражённые от каждой из границ раздела слоёв. Времена их прихода в эпицентр соответственно примерно равны 0,68 с; 0,95 с; 1,25 с.
Рисунок 5 – Отражения от границ раздела слоёв
4.4. Трещиноватая геологическая среда.
Было изучено влияние трещин на прохождение волн в геологической среде. Характеристики вмещающей среды: продольная скорость - 5100 м/с, поперечная скорость – 3400 м/с, плотность – 2500 кг/м3. На глубине 750 метров располагался центр серии незаполненных вертикальных трещин, покрывающей в горизонтальном направлении весь расчётный объём. Высота трещин 100 м, расстояние между соседними трещинами 100 м. Согласно волновым картинам, приведённым на рис. 6, при прохождении падающей волны через серию вертикальных трещин появляется отражённая волна, а, следовательно, происходит ослабление распространяющейся волны.
Рисунок 6 – Прохождение волн через серию вертикальных трещин
4.5. Сравнение геологических сред.
На основании показаний сейсмоприёмников было проведено сравнение поверхностных откликов на начальное возмущение для однородной среды при наличии и отсутствии карстового образования. Параметры карстового отражения и однородной среды выбирались такими же, как и в параграфе «Геологическая среда с карстовым образованием». Сейсмограммы приведены на рис. 7: при отсутствии карстового образования (слева) и при наличии (справа). Видно, что дифракция падающей волны на карстовом образовании, а также повторные отражения от его верхней границы, качественно и количественно влияют на отклик дневной поверхности.
Рисунок 7 – Влияние наличия (справа) приповерхностного карстового отражения.
Список литературы
1. Петров И. Б., Холодов А. С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом. – Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т. 24, № 5, с. 722 – 739.
2. Петров процессов в жилищных и промышленных сооружениях при падении самолетов. Информационные технологии и вычислительные системы. 2005 г., № 1, с.130-139.
3. , , Челноков природа сейсмической энергии, рассеянной от зоны диффузной каверзности и трещиноватости в массивных породах. Геофизика №6, 2005г., с. 5-19.
