Распространение сильных полей световых

импульсов из малого числа колебаний

в диэлектрических средах

, ,

Выведено уравнение эволюции сильного поля светового импульса из малого числа колебаний в изотропной диэлектрической среде, описывающее как нерезонансную дисперсию линейного показателя преломления и безынерционную кубическую нелинейность, так и инерционность электронной нелинейности диэлектриков, в том числе, обусловленную изменением населенностей и движением свободных электронов. На основе анализа коэффициентов полученного нормированного уравнения определены условия доминирования различных физических факторов в самовоздействии фемтосекундных импульсов в диэлектриках в зависимости от интенсивности, длительности и спектрального состава излучения. Показано, что влияние плазменной нелинейности тем сильнее, чем больше длительность импульса и меньше центральная частота излучения, и, например, для кварцевого стекла в поле импульсов длительностью 10 фс с центральной длиной волны 780 нм этот механизм нелинейности становится основным при интенсивностях, больших .

Введение

Появление в целом ряде научных лабораторий лазерных систем, излучающих высокоинтенсивные импульсы, которые содержат лишь несколько колебаний светового поля [1-3], определило значительный рост интереса к теоретическим исследованиям особенностей взаимодействия вещества с такими предельно короткими по числу колебаний импульсами.

Понятие огибающей для импульсов из малого числа колебаний теряет свое физическое содержание, а спектр этих предельно коротких импульсов (ПКИ) становится очень широким. Поэтому при изучении закономерностей их распространения в оптических средах применимость традиционного для нелинейной оптики метода медленно меняющейся огибающей, который строго обосновывается для квазимонохроматических импульсов [4, 5], становится дискутивной. К настоящему времени появилось значительное число работ, в которых самовоздействие ПКИ рассматривается на основе уравнений динамики не огибающей, а непосредственно электрического поля светового импульса (см., например, [6-8] и обзоры в них). Используемые в этих работах новые в нелинейной оптике полевые уравнения в предельном случае квазимонохроматического излучения переходят в привычные уравнения для огибающих, являясь их обобщением на случай импульсов с континуумным спектром, в том числе, предельно коротких длительностей [9, 10].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для ПКИ видимого и ближнего ИК диапазонов спектра интенсивность излучения, при которой за чрезвычайно короткое время прохождения импульса еще не происходит оптический пробой вещества, может превышать [3, 11]. В этой ситуации необходим анализ новых механизмов нелинейности вещества, таких, как, например, плазменная нелинейность, не наблюдавшихся в поле длинных импульсов столь высокой интенсивности из-за разрушения оптической среды. В известных нам работах в уравнениях динамики поля ПКИ эти эффекты до сих пор не учитывались. В многочисленных статьях по теоретическому изучению влияния многофотонной ионизации и плазменной нелинейности на распространение фемтосекундного излучения (см., например, [11-14]) используются уравнения, записанные для огибающих квазимонохроматических импульсов, которые, как уже отмечено, неприменимы для ПКИ. При этом, конечно, следует отметить, что существует много публикаций, в которых рассматривается динамика отдельного атома или молекулы в сильном световом поле, в том числе, их ионизация [3, 15]. Но в таких работах поле излучения обычно предполагают заданным, уравнения его динамики не получают и самовоздействие светового импульса в среде не рассчитывают.

В настоящей работе получено уравнение динамики сильного поля ПКИ в диэлектрической среде. Оно описывает не только нерезонансную дисперсию линейного показателя преломления диэлектриков и безынерционную кубическую нелинейность, как уже в опубликованных работах (их обзор дан, например, в [8, 9]), но и инерционность электронной нелинейности, в том числе, обусловленную изменением населенностей и движением электронов в свободном состоянии. Вывод полевого уравнения потребовал детального обсуждения природы и инерционности нелинейного отклика диэлектрической среды, которое проведено с использованием формализма матрицы плотности.

На основе анализа выведенного полевого уравнения изучены условия доминирования различных физических факторов, влияющих на динамику сильного поля ПКИ в диэлектрических средах. Приведены иллюстрации диапазонов доминирования плазменной нелинейности в кварцевом стекле в зависимости от интенсивности, длительности и спектрального состава излучения.

Приближения и метод анализа нелинейной поляризованности диэлектриков

Начнем с того, что поле излучения будем полагать существенно меньшим кулоновского поля однократно ионизированного атома на расстоянии боровского радиуса, что позволит использовать привычную энергетическую модель диэлектрика в виде квазидискретной структуры уровней [4].

Рассматривая взаимодействие ПКИ с диэлектрическими средами, будем полагать, что спектр излучения, хотя и очень широк, но лежит в диапазоне прозрачности среды, причем для всех спектральных компонент излучения выполняется условие [8, 9]

, (1)

где - частота фундаментального поглощения среды.

В условиях нерезонансного (в однофотонном приближении) взаимодействия (1) будем полагать, что линейная по полю часть поляризованности диэлектрика существенно больше ее части , зависящей от поля в более высоких порядках:

. (2)

Условие (2), например, в кварцевом стекле выполняется вплоть до интенсивностей излучения (при таком ее значении в этом материале [16]).

В настоящей работе будем рассматривать взаимодействие оптического излучения только с изотропными диэлектрическими средами. Тогда в приближении (2) естественно (по крайней мере, на первом этапе) ограничиться рассмотрением кубичной по полю нелинейности поляризованности среды. Из-за предельно короткой длительности излучения будем анализировать только электронную нелинейность среды, пренебрегая другими механизмами из-за их инерционности [17, 18].

Рис. 1. Трехуровневая энергетическая модель изотропной диэлектрической среды

В работах [17, 19–22] показано, что хорошим приближением при описании кубичной нелинейности диэлектриков электронной природы является трехуровневая (трехзонная) энергетическая модель оптической среды (см. рис. 1). Первый эффективный уровень этой модели соответствует основному состоянию валентных электронов (валентной зоне v), второй и третий – эффективные уровни, каждый из которых отвечает группам возбужденных состояний электронов (подзонам зоны проводимости c и с/) с одинаковой четностью. При этом второму уровню соответствуют подзоны, сильно связанные в электродипольном приближении с основным состоянием (с), а третьему уровню – подзоны, сильно связанные с состояниями второго уровня и слабо – с основным (с/).

Материальные уравнения для поляризованности трехуровневой среды в поле линейно поляризованного света , выведенные из уравнений для матрицы плотности вещества, имеют вид [23]:

(3)

где отражает динамику осциллятора с собственной частотой, соответствующей переходу между первым и вторым, а – между вторым и третьим уровнями; осуществляет нелинейную параметрическую связь между электрическим полем импульса и поляризованностью среды; , , ; – концентрация структурных единиц вещества; , i,j=1,2,3; – населенности эффективных уровней; , – населенности уровней в отсутствие поля (термодинамически равновесные), и - дипольные моменты и частоты, соответствующие переходам между уровнями ; - элементы матрицы плотности системы; , – времена поперечной релаксации и времена релаксации населенностей соответствующих уровней.

Природа безынерционной части нелинейной электронной поляризованности диэлектриков.

Полагая в соответствии с (1) справедливым для диэлектриков соотношение

(4)

и пренебрегая релаксационными слагаемыми в уравнениях для разностей населенностей, систему (3) несложно привести к виду:

(5)

Принимая во внимание, что для диэлектрической среды и учитывая (2), методом итераций легко получить решение (5) с точностью до кубичной по полю нелинейности вида

, (6)

где

. (7)

Полученное выражение для нелинейной восприимчивости , разумеется, полностью совпадает с известными ранее, например, выведенными в [24] из уравнения Шредингера или в [25] из уравнения Неймана для многоуровневой среды в поле монохроматического излучения (в приближении трехуровневой модели и условия (1)). Однако в отличие от громоздкой техники теории возмущений для многоуровневой среды, примененной в [24, 25], использованная в настоящей работе трехуровневая модель позволяет легко описать природу нелинейности безинерционного электронного отклика диэлектрической среды.

Из системы (5) видно, что безинерционную электронную нелинейность (6-7) определяют две поляризационные компоненты: и , характеризуемые собственными колебаниями на частотах и (это ясно из (3), смотри также [23]). Нелинейная параметрическая связь между электрическим полем импульса и обоими компонентами поляризованности среды определяется осциллятором с собственной частотой , которая соответствует запрещенному в электродипольном приближении переходу , а также изменением разностей населенностей эффективных энергетических состояний и .

На то, что мгновенно отслеживающая квадрат поля часть изменения населенностей является важным компонентом безинерционной нелинейности, обратим особое внимание, поскольку при расчетах это изменение часто учитывают лишь при описании инерционных ионизационных процессов в веществе [12-14]. Но, в то же время, вытекающее из (5) выражение для населенности высоковозбужденного состояния

, (8)

где , - квадрат низкочастотного показателя преломления, - величина порядка ширины запрещенной зоны диэлектрика, для кварцевого стекла, например, при дает весомую оценку .

Механизмы инерционности нелинейной электронной поляризованности диэлектриков

В следующей итерации нерезонансного приближения (1) сохраним в исходной системе материальных уравнений (3) компоненты первого порядка малости по отношению , а также релаксационные слагаемые в уравнениях для изменения населенностей. Используя (2) в промежуточных преобразованиях, мы получим следующую систему материальных уравнений:

(9)

При выводе из системы (3) первых трех уравнений приближенной системы (9) мы считали выполняющимся неравенство

, (10)

полагая, что средний период колебаний излучения составляет единицы фемтосекунд (справедливо для видимого и ближнего ИК диапазона), а времена поперечной релаксации – десятки фемтосекунд (для кварцевого стекла T21~2·10-14 с [11]).

В последних двух уравнениях (9), несмотря на (10), величинами по сравнению с не пренебрегали, поскольку из-за другой структуры уравнений для разностей населенностей такие слагаемые при интегрировании по времени могут стать значительными даже для ПКИ. Поясним это.

Уравнение (8) с учетом релаксационных слагаемых корректируется к виду

(11)

Решение этого уравнения можно представить в виде суммы безинерционного компонента (8) и инерционной добавки , для которой из (11) следует

, (12)

где . При выражение для параметра упрощается и (ниже будем полагать для кварцевого стекла это равенство выполняющимся, основываясь на оценке [11]).

На рис.2 приведены результаты расчета изменения населенности возбужденного состояния кварцевого стекла ( [7]) под воздействием ПКИ с центральной длиной волны λ=390 нм, длительностью 10 фс и пиковой интенсивностью . Кривая 1 иллюстрирует компонент населенности, безинерционно отслеживающий квадрат поля излучения, а 2 – накапливающийся компонент. Из рисунка видно, что к концу импульса инерционное возбуждение среды становится значительным, а по окончании импульса оно медленно в течение релаксирует.

Рис. 2. Изменение населенности возбужденного состояния в кварцевом стекле в сильном поле ПКИ: 1 – безынерционная, 2 – накапливающаяся части.

Таким образом, при расчете самовоздействия импульсов с длительностью , меньшей или сопоставимой с , или при анализе распространения последовательности ПКИ со скважностью менее эту релаксацию необходимо учитывать, включая в выражение для поляризованности диэлектрической среды (6) дополнительное слагаемое вида

, (13)

где . При изучении самовоздействия одиночного ПКИ с это слагаемое можно упростить до вида

. (14)

Рассмотрим инерционность поляризационного отклика диэлектрической среды, описываемую в (9) первыми тремя уравнениями. Применяя ту же итерационную процедуру, которую использовали выше при выводе уравнения для поляризованности среды (6) из материальных уравнений (5), получаем для линейной части отклика диэлектрика скорректированное выражение вида

. (15)

Для монохроматической волны

, (16)

частоты ω и с комплексной амплитудой E0 из (15) следует хорошо известное дисперсионное соотношение для показателя преломления среды [26]:

, (17)

где .

Добавка к нелинейной части поляризованности диэлектрика, обусловленная инерционностью P1, P2 и R, принимает вид [27]

, (18)

где ,.

В поле монохроматической волны (16) эта добавка определяет дисперсию нелинейной части показателя преломления

, (19)

где

, (20)

, .

Формула (20) описывает известное увеличение коэффициента нелинейного показателя преломления n2 диэлектриков с ростом частоты [17, 28].

На рис. 3 точками приведены экспериментальные значения n2 кварцевого стекла [28-30]. Сплошная кривая описывает теоретическую зависимость, рассчитанную по формуле (20) при , ().

Рис. 3. Дисперсия коэффициента нелинейного показателя преломления кварцевого стекла – экспериментальные данные [28-30], теоретическая аппроксимация по формуле (20).

Таким образом, в рамках выбранной модели диэлектрической среды естественно учитывается дисперсия как линейной, так и нелинейной частей ее показателя преломления. Поэтому, рассматривая выстраиваемую теорию как полуфеноменологическую, в выражении для поляризованности среды (6), дополненном описывающими ее инерционность слагаемыми (13), (15), (18), коэффициенты для конкретной среды можно оценивать по данным дисперсии линейного и нелинейного показателя преломления.

Плазменная нелинейность диэлектрической среды.

В предыдущем разделе было показано, что второй эффективный энергетический уровень среды в поле интенсивного ПКИ может накопить значительную населенность, т. е. диэлектрическая среда под воздействием излучения переходит в квазистационарное неравновесное состояние, сохраняющееся на протяжении сотен фемтосекунд после снятия поля. Среда, обладающая такой наведенной интенсивным ПКИ квазистационарной неравновесностью, к концу ПКИ или при взаимодействии с последующими импульсами проявит новые физические свойства. В частности, населенность третьего эффективного энергетического уровня при существенной населенности второго, в свою очередь, может получить аналогичную (8) квадратичную по полю составляющую.

Для описания плазменной нелинейности, наблюдаемой в экспериментах с интенсивными фемтосекундными импульсами [11-14], модифицируем используемую выше трехуровневую модель среды, рассматривая третий энергетический уровень как зону квазисвободного движения электронов (см. иллюстрацию на рис. 4). Такое расширение модели не противоречит предыдущему анализу, так как при рассмотрении кубичной нелинейности мы не использовали соображения о характере движения электрона в этом состоянии. Но важно отметить, что попытка модификации трехуровневой модели предположением о квазисвободном движении электрона уже во втором энергетическом состоянии приведет к получению отрицательного значения коэффициента нелинейного показателя преломления среды [7], что противоречит при условии (1) всем известным экспериментальным данным по этой нелинейной характеристике диэлектрических сред [17].

Рис. 4. Модифицированная трехуровневая энергетическая модель диэлектрической среды, дополненная зоной свободного движения электронов.

Компонент поляризованности диэлектрической среды, обусловленный динамикой электронов в зоне квазисвободного движения, будем описывать, следуя [31]:

(21)

где - заряд электрона, - его эффективная масса в зоне проводимости, параметр определяется средним временем столкновительной релаксации свободных электронов, которое в диэлектриках составляет десятки фемтосекунд. Тогда общий поляризационный отклик среды в рамках модифицированной модели примет вид , где первые два слагаемых вычисляются как решение системы (9), а третье – уравнения (21).

Как следует из (21), вклад в общую поляризованность среды определяется величиной . Динамика этой величины описывается соотношением, аналогичным формуле (8):

(22)

где определяется уравнением (12).

Подстановка выражения (22) с учетом (12) в уравнение (21) дает добавку в поляризованность среды, обусловленную плазменной нелинейностью, вида:

(23)

где .

Если длительность ПКИ такова, что релаксационными процессами можно пренебречь, то выражение (23) упрощается и принимает вид

, (24)

Уравнение динамики поля световых импульсов из малого числа колебаний.

Уравнение для нелинейной динамики ПКИ в диэлектрической среде с дисперсией (17) в приближении однонаправленного распространения имеет вид [7, 9]:

(25)

где – направление распространения излучения, – время в сопровождающей импульс системе координат, – скорость света в вакууме. Отметим, что зависимость линейного показателя преломления диэлектрической среды от частоты вида (17) несложно при необходимости уточнить слагаемыми более высокого порядка по , вводя в (25) производные поля по времени также более высокого порядка [8, 9]. Учитывая выведенные выражения для нелинейной поляризованности (6) и (18), а также (12), (21) и (22), из (25) получаем:

(26)

где , , , .

В первом уравнении системы (26) второе слагаемое описывает дисперсию линейного показателя преломления вещества (17), третье – кубичную безынерционную нелинейность поляризованности среды, четвертое – влияние накапливающейся населенности возбужденного состояния, пятое – дисперсию нелинейного показателя преломления (20), шестое – плазменную нелинейность. Второе уравнение системы (26) описывает динамику населенности эффективного возбужденного состояния, а третье – движение свободных электронов.

Систему (26), учитывая соотношения (13) и (23), можно записать в эквивалентном виде:

(27)

где , .

В случае ПКИ, для которых релаксационными процессами можно пренебречь, уравнение (27) с учетом (14) и (24) можно упростить до вида

(28)

Проведем нормировку уравнения (27). Введем нормированные амплитуду поля , координату и время , где – максимальная амплитуда электрического поля, а - центральная частота спектра импульса на входе в среду. Входную длительность импульса обозначим как , а нормированную длительность как . Целесообразность введения нормированной длительности обусловлена оценкой интеграла .

В предложенных переменных уравнение (27) примет вид:

(29)

где , , , , , , .

Соотношение коэффициентов нормированного уравнения (29) позволяет оценить вклад того или иного механизма нелинейности среды в самовоздействие ПКИ в зависимости от характеристик среды (, , , и др.) и параметров импульса (, , и др.). Проанализируем эти соотношения для ПКИ в кварцевом стекле.

Влияние характеристик импульса на природу его самовоздействия в кварцевом стекле

Оценим значения коэффициентов уравнения (29) для характерного случая распространения в кварцевом стекле импульса с интенсивностью , центральной длиной волны (вторая гармоника Ti:S лазера) и длительностью (соответствующей приблизительно 8 полным колебаниям оптического поля). Для параметров линейной и нелинейной дисперсии кварцевого стекла используем экспериментальные и теоретически рассчитанные значения, приведенные в работах [5, 27, 30, 32–34]. При указанных характеристиках излучения, распространяющегося в кварцевом стекле, коэффициент, описывающий кубичную по полю безынерционную нелинейность, будет иметь значение ; учитывающий динамику населенности возбужденного состояния – ; учитывающие дисперсию нелинейного показателя преломления – , ; описывающий плазменную нелинейность – . Таким образом, все эти коэффициенты в рассмотренном случае сопоставимы и влияют на характер самовоздействия фемтосекундного излучения.

Рассмотрим подробнее зависимость коэффициентов нормированного уравнения динамики поля от различных параметров излучения, распространяющегося в кварцевом стекле. Рис. 5 иллюстрирует зависимость нормированных на коэффициентов и , характеризующих дисперсию коэффициента нелинейного показателя преломления (20), от центральной длины волны импульса при входной интенсивности ПКИ и его длительности . Как видно из рисунка, дисперсия нелинейного показателя преломления в большей степени влияет на динамику поля ПКИ при меньших длинах волн, что находится в полном соответствии с экспериментальными данными [30].

Рис. 5. Зависимость коэффициентов, характеризующих дисперсию нелинейного показателя преломления от центральной длины волны импульса.

Рис. 6. Зависимость соотношения коэффициентов , характеризующих безынерционную кубичную и плазменную нелинейность от центральной длины волны и длительности импульса при его интенсивности .

Рис. 6 иллюстрирует зависимость относительной разности нормированных коэффициентов, характеризующих безынерционную кубичную и плазменную нелинейность, от длительности ПКИ и его центральной длины волны при интенсивности входного излучения . Из рисунка видно, что влияние плазменной нелинейности тем сильнее, чем больше длительность импульса и меньше центральная частота излучения.

Рис. 7 отражает зависимость соотношения тех же, что и для рис. 6, коэффициентов к концу импульса фиксированной длительности от центральной длины волны излучения при изменении интенсивности. Как видно из рисунка, при уменьшении центральной длины волны ПКИ от 1000 нм до 390 нм необходимость принимать во внимание плазменную нелинейность возникает при увеличении интенсивности от до .

Рис. 7. Зависимость соотношения коэффициентов , характеризующих безынерционную кубичную и плазменную нелинейность от интенсивности и центральной длины волны излучения при длительности импульса .

Рис. 8 иллюстрирует динамику соотношения между коэффициентами, характеризующими безынерционную кубичную и плазменную нелинейность, в зависимости от времени , прошедшего с начала взаимодействия импульса со средой (огибающая импульса предполагается прямоугольной, т. е. максимальную интенсивность излучение достигает уже на первом колебании), при центральной длине волны излучения . Из рисунка видно, что при интенсивностях влияние плазменной нелинейности мало даже по истечении нескольких десятков фемтосекунд от начала импульса, тогда как при интенсивности оно становится важным уже по истечении и может стать определяющим к концу импульса длительностью .

Рис. 8. Динамика соотношения коэффициентов безынерционной кубичной и плазменной нелинейности кварцевого стекла в поле «длинного» импульса с течением времени.

Заключение.

В работе проанализирована природа и инерционность различных механизмов нелинейности электронной поляризованности диэлектриков, которые проявляются в сильном поле импульса из малого числа световых колебаний. Особое внимание уделено изменению населенностей возбужденных состояний вещества и генерации в нем свободных электронов. Выведено уравнение эволюции импульса в изотропной диэлектрической среде с учетом этих эффектов. Анализ коэффициентов полученного нормированного полевого уравнения (29) позволил выявить относительный вклад механизмов нелинейности диэлектрика в зависимости от характеристик среды (, , , и др.) и параметров импульса (, , и др.). Такой анализ в работе представлен для распространения ПКИ с различными параметрами в кварцевом стекле.

Работа поддержана грантами РФФИ N а и программы «Развитие научного потенциала высшей школы» РНП.2.1.1.6877.

Список литературы

1.  Steinmeyer G., Sutter D. H., Gallman L., Matuschek N., Keller U. // Science, 1999. V.286. P.1507–1512.

2.  Cerullo G., De Silvestri S., Nisoli M., Sartania S., Stagira S., Svelto O. // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics, 2000. V.6. №6. P. 948–958.

3.  Brabec Th., Krausz F. // Rev. Mod. Phys. 2000. V.72. №2. P. 545–591.

4.  , , Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 19c.

5.  Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 19c.

6.  , // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т.51. В.5. С. 252–255.

7.  , // ЖЭТФ, 1997. Т.111. В.2. С.404–418.

8.  , , // Оптический журнал. 2000. Т.67. №4. С.5–11.

9.  Bespalov V. G., Kozlov S. A., Shpolyansky Yu. A., Walmsley I. A. // Phys. Rev. A. 2002. V.

10.  Shpolyanskiy Yu. A., Belov D. L., Bakhtin M. A., Kozlov S. A. // Appl. Phys. B. 2003. V.77. P.349–355.

11.  Sudrie L., Couairon A., Franco M., Lamouroux B., Prade B., Tzortzakis S., Mysyrowicz A. // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. №18, 186601 (1–4).

12.  Gaeta A. L. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 84. №16. P.3582–3585

13.  Tzortzakis S., Sudrie L., Franko M., Prade B., Mysyrowics A., Couairon A., Berge L. // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. №–4).

14.  , , // Квантовая электроника. 2003. Т.33. №1. С.69–75.

15.  Bandrauk A. D., Chelkowski S., Nguyen H. S. // Appl. Phys. B, 2003. V.77, №2-3, P.337-342.

16.  , , // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. СПб, СПбГУ ИТМО, 2004, С.170-188.

17.  , , // Квантовая электроника. 1993. Т.20. №8. С.733–757.

18.  Husakou A. V., Herrmann J. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. №p).

19.  Braunstein R. // Phys. Rev. 1962. V. 125. №2. P.475-477.

20.  Vaidyanathan A., Walker T., Guenther A. H., Mitra S. S., Narducci L. // Phys. Rev. B. 1980. V. 21. №2. P.743-448.

21.  Fournier J. T., Snitzer E. // IEEE J. Quantum Electronics, 1974. QE-10. №5. P. 473–475.

22.  // Оптика и спектроскопия, 1983. Т.55. №1. С.83-89.

23.  , , . // Оптика и спектроскопия, 1991. Т.71. №2. С.334-339.

24.  Orr B. J., Ward J. F. // Mol. Phys., 1971. V.20, №3, p.513-518.

25.  Bloembergen N., Lotem H., Lynch R. T. // Ind. J. of Pure & Appl. Phys., 1978. V.16. P.151-158.

26.  Основы оптики. М.: Наука, 19с.

27.  , , // Оптический журнал, 2004. №6, C.72-79.

28.  Sheik-Bahae M., Said A., Hagan D.J., Wei T., Van Stryland E. // IEEE J. Quant. Electron., 1990. V.26, №4.

29.  Milam D. // Appl. Opt., 1998. V.37. P.546-550.

30.  Santran S., Canioni L., Sarger L., Cardinal T., Fargin E. // J. Opt. Soc. Am. B, 2004. V.21, №12.

31.  , // Квантовая электроника, 1997. T. 24. №9. C.799-804.

32.  Boling N. L., Glass J. A., Owyoung A. // IEEE J. Quant. Electron. 1978. V.14. №8. P. 601-608.

33.  Ross I. N., Toner W. T., Hooker C. J., Barr J. R.M., Coffiy I. // J. Modern. Opt. 1990. V.37. P.555-573.

34.  Adair L., Chase L. L., Payne S. A. // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V.4. P.875-881