Группа 3081/1. Расчетное задание №3. Системы массового обслуживания

Группа 3081/1. Расчетное задание №3. Системы массового обслуживания.

Задача 2a.

В информационную систему с числом устройств обработки N поступает непрерывный поток сообщений. При занятости системы очередное сообщение записывается в буферную память, рассчитанную на хранение m сообщений. При этом информация, которая содержится в каждом сообщении, теряет свою ценность через T минут после его получения. Поток сообщений простейший с интенсивностью λ = 10 мин–1. В среднем за минуту система обрабатывает K сообщений. Реальное время обработки подчинено показательному закону.

Вероятность отказа – вероятность того, что сообщение не будет обработано из-за ограниченности очереди.

Вероятность потери – вероятность того, что поступившее сообщение не будет своевременно обработано и, следовательно, будет потеряно.

Вероятность неуспешного обслуживания – включает в себя вероятность отказа и вероятность потери.

1. Определить вероятности отказа (Pотк), потери (Pпот) и неуспешного обслуживания (P) при различных значениях m, начиная от 0. Построить полученные зависимости Pотк=Pотк(m), Pпот=Pпот(m), P=P(m). Определить наименьшее значение объема буферной памяти m=m0, начиная с которого увеличение объема не будет приводить к существенному уменьшению вероятности неуспешного обслуживания.

2. Определить необходимое число устройств обработки при повышении интенсивности потока сообщений в D раз, обеспечивающее тот же уровень вероятности неуспешного обслуживания P1 = P(m0).

3. Выполнить пункт 2, игнорируя эффект потери ценности сообщений.

Исходные данные:

Вариант	T	K	D	N
12	2	20	1.5	1

Задача 6a.

У управляющего нотариальной конторы, в которой в среднем печатается M документов в день, есть два варианта:

1) принять на работу K опытных машинисток, каждая из которых способна печатать и оформлять 2*N документов в день

2) принять на работу 2*K неопытных машинисток, каждая из которых способна печатать и оформлять N документов в день

1. Оценить средние продолжительности периодов занятости машинисток в течение дня, средние продолжительности пребывания документа у машинистки для каждого из вариантов, рассмотрев при этом два режима работы машинисток:

A. централизованный – поступающие документы ожидают своей очереди в общей папке;

B. автономный – машинистки территориально рассредоточены и у каждого своя папка с входящими документами.

2. Выбрать наилучшие варианты.

3. Как изменится решение задачи, если среднее количество документов, печатаемых в конторе, увеличится на 10% по сравнению с исходным?

4. Как изменится решение задачи, если среднее количество документов, печатаемых в конторе, уменьшится на 10% по сравнению с исходным?

Исходные данные:

Вариант	K	N	M
13	2	10	36

Задача 7.

Система обработки информации (СОИ) обрабатывает информацию, которая поступает в случайные моменты времени со средней интенсивностью (файл/мин).

Учитывая, что объем каждого файла и сложность его обработки различны, можно считать, что время обработки одной порции случайно и распределено по показательному закону с параметром (файл/мин). СОИ имеет память для хранения поступающей информации объемом до m файл. Если очередная группа информации застанет всю память занятой, то она теряется.

Одновременно может обрабатываться файлов информации. Со временем поступившая информация теряет свою ценность и в среднем через tз (мин) после поступления, если она не была обработана, становится практически ненужной.

Провести следующий анализ.

1. Определить, какой процент информации теряется из-за того, что пропускная способность системы не позволяет своевременно обрабатывать всю информацию и найти зависимость вероятности потерь от временного ограничения tз (). Вывести явную формулу , приведенную к виду и построить график.

2. Построить зависимость объема накопителя для обеспечения вероятности потерь для системы типа M/M/K (вероятность потерь не должна превышать заданный уровень), построить зависимость вероятности потерь для найденных значений объема накопителя.

Исходные данные:

Вариант
15	10	10	5	2	0.01

Задача 8.

Провести сравнительный анализ организации системы обработки информации для следующих вариантов структур:

а)

б)

в)

Показатели для проведения сравнительного анализа:

– среднее время ожидания требования в очередях при ;

– среднее время пребывания требования в системе при ;

– среднее время ожидания требования в очередях при ;

– среднее время пребывания требования в системе при ;

– среднее число требований в очередях;

– среднее число требований в системе;

– среднее число занятых каналов в системе;

– вероятность отказа в обслуживании.

Параметры для проведения сравнительного анализа:

Вариант	k	m
16	2

Построить зависимость указанных показателей от .

Задача 11.

Рассматривается двухфазная система периферийных технических средств в системе обработки данных с параметрами первой фазы k1, и второй фазы k2, , m. В первой фазе очередь не ограничена, во второй очередь ограничена объемом накопителя m.

Потери внутри системы невозможны, так как, если приборы второй фазы заняты, и накопитель второй фазы заполнен, то принятое требование не обслуживается и ожидает в канале первой фазы, то есть данный канал первой фазы переходит в состояние блокировки (не обслуживает требования, поступающие в систему).

Для режима пик-нагрузок (на входе первой фазы всегда существует очередь):

1) Определить предельную пропускную способность .

2) Для определить среднее время пребывания требования в системе, включая и очередь перед первой фазой.

3) Для определить время пребывания требования в системе, используя принцип декомпозиции, при этом не учитывается ограниченность объема накопителя m – считается, что очередь во второй фазе не достигает своего предела.

Исходные данные:

Вариант	k1		k2		m
17	2	15	2	10	1

Задача 12.

Рассматривается двухфазная система периферийных технических средств в системе обработки данных с параметрами первой фазы k1, , m1 и второй фазы k2, , m2.

Приборы первой фазы могут полностью завершить обслуживание требования с вероятностью p или передать на окончательное обслуживание во вторую фазу с вероятностью (1-p).

Потери внутри системы невозможны, так как, если приборы второй фазы заняты, и накопитель второй фазы заполнен, то принятое требование не обслуживается и ожидает в канале первой фазы, то есть данный канал первой фазы переходит в состояние блокировки (не обслуживает требования, поступающие в систему).

Необходимо:

1) Определить условия, при которых система будет работать в режиме «сильных» нагрузок (на входе первой фазы всегда существует очередь):

2) Определить вероятность потерь для этого режима при p=0.5, вывести явную формулу , приведенную к виду и построить график;

3) Повторить пункт 2 при p=0. Провести сравнительный анализ полученных результатов;

4) Для построить зависимость при .

Исходные данные:

Вариант	k1		m1	k2		m2
18	2	15	1	2	10	1

Задача 20.

Рассматривается система автоматического контроля. Если очередная деталь, двигающаяся по конвейеру, застает все контролирующие приборы занятыми, то она проходит на отгрузку без контроля. Цена аппарата – S рублей, эксплуатационные расходы на содержание работающего аппарата s1 рублей в сутки, а простаивающего – s2 рублей в сутки.

Потери по рекламации от возможного получения потребителем бракованной детали – z рублей. Время контроля одной детали распределено по экспоненциальному закону с параметром  мин–1. Поток деталей является простейшим с параметром  мин–1. Срок службы аппарата равен 100 суткам. Вероятность появления бракованной детали на входе равна q.

1. Определить оптимальное количество аппаратов автоматического контроля качества деталей.

2. Выяснить, на сколько необходимо увеличить штраф по рекламации, чтобы новое значение оптимального количества аппаратов стало бы (+1)

3. Выяснить, на сколько необходимо уменьшить штраф по рекламации, чтобы новое значение оптимального количества аппаратов стало бы (–1)

Исходные данные:

Вариант			S	s1	s2	z	q
19	0.8	0.2	10000	200	100	20	0.01

Задача Сa.

Рассматривается работа столовой самообслуживания. Обеды выдают K поваров. Среднее время выдачи обеда на одного посетителя равно t1 минут. Плотность потока посетителей около N человек в минуту. В очереди могут одновременно стоять не более m человек. В среднем посетитель стоит в очереди t2 минут, после чего покидает столовую. На обед посетитель в среднем затрачивает t3 минут.

1. Определить, сколько времени потратит посетитель в столовой, если количество мест за столами всегда достаточно для размещения лиц, уже получивших обед. Определить среднее число занятых поваров и среднее число ожидающих посетителей. Определить вероятности того, что посетитель:

1) успешно пообедает;

2) уйдет, не дождавшись своей очереди;

3) уйдет, не имея возможности встать в очередь.

2. Определить число столиков, которое необходимо иметь в столовой, для того чтобы с вероятностью q посетитель, получивший обед, смог найти себе место, если у каждого стола стоит 4 стула.

Исходные данные:

Вариант	N	t1	t2	t3	K	m	q
20	2	4	10	10	4	20	0.95

Задача А24.

Имеется трехканальная СМО с отказами, очередь отсутствует. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью заявок в час. Среднее время обслуживания одной заявки t часов. Каждая обслуженная заявка приносит доход s1 единиц. Содержание канала обходится s2 единиц в час, если канал работает и s3 единиц в час, если канал простаивает.

1. Решите, выгодно ли в экономическом отношении уменьшить число каналов СМО до двух.

2. Решите, выгодно ли в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до четырех.

3. Повторите пункты 1 и 2, если штраф за отказ в обслуживании составляет s4 единиц.

Исходные данные:

Вариант		t	s1	s2	s3	s4
21	3	0,5	5	3	3	5

Задача А17.

Бакалейный магазин работает с K кассами и общей очередью. Вывеска возле касс извещает покупателей, что в любой момент будет открыта дополнительная касса, как только число покупателей в очереди превысит L. Это означает, что если число покупателей меньше или равно L, то работать будет лишь одна касса. Если число покупателей от (L+1) до (2*L), то будет работать две кассы, и т. д. Если имеется больше (L*(K-1)) покупателей, будут открыты все K касс. Покупатели подходят к кассам в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием человек в час. Время обслуживания одного покупателя в кассе распределено по экспоненциальному закону со средним t минут.

1. Определить вероятности Pоч(n) того, что n покупателей стоят в очереди в кассу и среднее число покупателей в очереди, если очередь не ограничена.

2. Определить вероятности Pоч(n) того, что n покупателей стоят в очереди в кассу, среднее число покупателей в очереди и вероятность отказа, если очередь ограничена емкостью m.

Исходные данные:

Вариант		K	L	t	m
22	10	3	3	12	12