Рабочая программа

Автономная некоммерческая образовательная организация –

средняя общеобразовательная школа «Радуга»

УТВЕРЖДАЮ И. о. исполнительного директора

__________________

Приказ № ___ от __________ 2012 года

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебного

курса по математике в 5-9 классах

(наименование предмета)

на учебный год

Разработчик программы:

учитель математики 6,7 класса

Воронеж

2012 – 2013 учебный год

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ РОССИЙСКИХ ВАЛЬДОРФСКИХ ШКОЛ

5 – 9 КЛАССЫ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Статус документа

Данная учебная программа составлена с учетом требований федерального базисного Учебного плана и федерального компонента государственного образовательного стандарта. Кроме того, программа представляет специфику вальдорфской педагогики, имеющей длительную традицию, но относительно новую для отечественного образования. Стандарт определяет основное содержание обучения на каждой из ступеней образования. Специфика вальдорфской педагогики отражена в распределении тем по годам обучения, в методике и дидактике образовательного процесса, в наличии небольшого объема дополнительного по отношению к стандарту содержания образования. Основные положения педагогической концепции, а также общие дидактические принципы вальдорфской школы изложены в Общей части к образовательной программе российских вальдорфских школ.

Общая характеристика учебного предмета

Обучение математике занимает одно из центральных мест в образовательной программе школы. Его задачи чрезвычайно многообразны. Это и формирование, развитие целостной природы ребенка, его интеллектуальных, эмоциональных и волевых качеств, его памяти, и овладение системой математических знаний и умений, необходимых как для повседневной жизни, так и для изучения других предметов, и, наконец, выработка представлений об идеях и методах математики как науки и их роли в научной деятельности человека.

Преподавание математики, в соответствии с общей концепцией вальдорфской школы, никогда не ограничивается только воздействием на интеллектуальную сферу учеников. Элементарная математическая деятельность опирается на здоровую структуру человеческих восприятий, прежде всего на чувство ритма (арифметика), на чувство равновесия и на чувство формы (геометрия).

Преподавая математику, следует учитывать ее воздействие на эмоциональную сферу ребенка. С одной стороны, учитель стремится к тому, чтобы условия задач вытекали из общего контекста урока, чтобы их решение сообщало ученикам дополнительные новые сведения, а не просто являлось бы формальным выполнением некоторого количества математических операций. Таким образом, учителю необходимо устанавливать глубокие межпредметные связи между математикой и такими предметами как география, история, естествознание, самостоятельного составлять упражнения и задачи. С другой стороны, учителю важно обращать внимание на структуру задания, на его композицию, внутреннюю завершенность, объединение в одном задании различных тем и разделов, на стиль оформления. И, наконец, учитель должен стремиться к тому, чтобы ученики пережили внутреннюю красоту математики как предмета, логику построения курса, гармонию, царящую в мире чисел, математических операций, геометрических построений, ясность и четкость, царящие в ней, чтобы в них возникло чувство удовлетворения, сопровождающее удачно найденное решение или корректно проведенное доказательство. Недооценка значимости этих факторов может привести к тому, что математика будет воспринята школьниками как “сухая”, утомительная, если не сказать скучная и однообразная дисциплина.

Учителю следует осознавать многообразное воздействие математики на духовно-интеллектуальную сферу деятельности человека. В этой связи преподавание математики в школе призвано, наряду с другими предметами, внести свой вклад в развитие способности к анализу, четкому выражению мысли, подробному описанию сделанного (5 класс), и собственно причинно-следственного мышления (6-9 классы).

Курс математики в школе состоит из двух независимых дисциплин: арифметики и алгебры, с одной стороны, и геометрии - с другой. При выборе конкретного содержания и методики преподавания следует исходить не только из логики предмета, но и из уровня духовно-душевного развития класса, из психо-физиологических особенностей конкретного возраста, вопросов, возникающих в тот или иной момент жизни в душе ученика. При этом материал распределен по учебным годам таким образом, чтобы к концу 9-го класса по основным темам данная программа соответствовала уровню государственных стандартов.

Преподавание математики сочетает в себе учебные эпохи и еженедельные (тренировочные) уроки. Такой подход позволяет концентрированно рассматривать законченные разделы, постепенно подводя учащихся к пониманию, освоению и закреплению пройденного. При этом учителю не приходится искусственно дробить материал на небольшие темы, устанавливая затем им же самим нарушенные связи. При эпохальном преподавании педагог имеет возможность, в большей мере, чем обычно, исходить из целого. – Еще одно естесвенное следствие эпохальной технологии – отказ от "постепенности", когда те или иные понятия вводятся загодя и служат только техническим целям. Вместо этого в данной программе предлагается вводить темы компактно, в тот момент, когда это обосновано уровнем развития учеников и логикой развития предмета.

5 класс

Арифметика и алгебра

Математика в 5 классе начинается с повторения и углубления разделов, пройденных в 4 классе, прежде всего связанных с темой “Обыкновенные дроби”. Продолжается систематическое формирование навыков умножения, деления, сокращения дробей, а также, сложения, вычитания и сравнения дробей (в том числе и неправильных) с большими знаменателями. Во многом интуитивные подходы, применяемые учениками в начальной школе (угадывание общего знаменателя, нахождение общего знаменателя перемножением знаменателей слагаемых и т. д.), систематизируются. Закрепляются понятия наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД), рассматриваются пути их нахождения. В этой связи учитель еще раз возвращается к делению чисел в столбик и дает понятие об алгоритме Евклида для нахождения НОД (разумеется, без доказательства). С другой стороны, значительное внимание уделяется понятию простого и составного числа, нахождению простых чисел, проверке простоты числа, признакам делимости (2, 3, 5, 9, 10) и различным методам разложения числа на простые сомножители, а также нахождения с помощью разложения НОК и НОД двух чисел.

Много внимания на уроках уделяется формированию математически грамотной речи: знанию и пониманию математической терминологии, умению ясно и кратко описать порядок выполнения тех или иных операций, последовательность действий, необходимых для решения задачи. Большую роль играет освоение и применение на практике найденных на уроках правил и алгоритмов.

Значительное время по-прежнему отводится устному счету, причем как простым примерам, так и действиям с большими натуральными числами, требующим использования распределительных, переместительных и сочетательных свойств арифметических операций. Также во многом в устной форме отрабатываются и закрепляются простые задачи на нахождение части от числа и числа по его части. Еще одной темой, подготавливающей введение десятичных дробей, являются примеры на умножение и деление натуральных числе и обыкновенных дробей на 10, 100, 1000.

Центральной темой курса математики 5 класса являются десятичные дроби. Важно, чтобы перед началом этой темы у ученика уже сформировалось четкое понятие о дроби, накопился опыт работы с обыкновенными дробями. Тогда для него будет совершенно естественным введение десятичных дробей как практического средства упрощения вычислений.

Вначале дается представление о десятичных разрядах, ученики приобретают навыки чтения, записи, сравнения десятичных дробей. Затем изучается сложение и вычитание десятичных дробей. На начальном этапе работа ведется параллельно с использованием десятичного представления и представления в виде обыкновенной дроби.

Далее вводится и отрабатывается умножение, а затем и деление десятичных дробей, переход от десятичных дробей к обыкновенным и наоборот. При этом возникает еще одна возможность для закрепления навыков деления в столбик. Обсуждается проблематика представления обыкновенной дроби в виде бесконечной десятичной, ученики знакомятся с бесконечными периодическими дробями, с понятием периода. В связи с умножением и делением десятичных дробей также рассматриваются правила округления.

Работа с десятичными дробями продолжается на многообразном задачном материале. При этом упор делается на практические проблемы, решение задач на нахождение пройденного пути – времени – скорости, задач на количество товара – цену – стоимость, а также других задач, в которых производятся действия с величинами и происходит переход от одних единиц измерения к другим. Важно, чтобы в 5 классе подбираемые задачи допускали арифметическое решение, не связанное с обязательным введением неизвестных, что позволяет ученикам сохранять и развивать математическую подвижность, пока еще присущую их возрасту.

В связи с темой «Десятичные дроби» учитель возвращается к этапам развития представления о числе, к различным способам представления и записи чисел.

Важно, чтобы, оперируя с десятичными дробями, ученики осознали преимущества работы с ними (особенно при сложении и вычитании) по сравнению с обыкновенными дробями и общую логику разрядной структуры дробного числа.

Во втором полугодии возможно знакомство с простейшим линейным уравнением через задачи на взвешивание на старых рычажных весах и введение буквенного обозначения переменной.

Тематический план (130 ч)

№	Тема	Кол. часов
1.	Числа от 1 до 1.000.000	10
2.	Письменное сложение и вычитание, умножение и деление натуральных чисел	10
3.	Обыкновенные дроби	25
4.	Десятичные дроби. Сложение и вычитание	20
5.	Десятичные дроби. Умножение и деление	20
6.	Прямой и обратный переход от конечных десятичных дробей к обыкновенным. Бесконечные дроби. Округление дес. дробей	10
7.	Знакомство с линейными уравнениями	15
8.	Решение задач	20

Геометрия

(35 ч)

Разрабатываемое в начальной школе рисование форм (см. отдельную программу) переходит в 5 классе в геометрические построения, производимые от руки, без помощи инструментов. Такого рода пропедевтический курс имеет своей целью ввести учащихся в мир геометрии, познакомить их с основными понятиями и некоторыми содержательными фактами и утверждениями, не загружая рассмотрение «техническими» вопросами точного построения отдельных элементов с помощью циркуля и линейки.

Отправной точкой является окружность и вписанные в нее правильные многоугольники. Далее при рассмотрении свойств геометрических объектов учитель переходит ко все менее регулярным фигурам. Знакомство с правильными фигурами позволяет учащимся пережить внутреннюю красоту, гармонию геометрии, тем самым дополнительно мотивировав их на занятия этим предметом. В этой связи повышенное внимание уделяется художественной стороне выполняемых заданий.

Важным методическим приемом является рассмотрение не отдельной фигуры, но серии, семейства геометрических объектов, возникших в результате некоторой трансформации исходного чертежа. Такой подход позволяет учащимся глубже познакомиться с геометрическими «понятиями», а наблюдение за отдельными элементами – вычленить закономерности, общие на всех этапах рассматриваемого преобразования.

Большое внимание уделяется подробному описанию выполняемых действий, построений и результатов преобразований, точным характеристикам геометрических фигур. Учащиеся осваивают культуру обозначений, овладевают навыками краткой геометрической записи.

Объектами построений являются, в первую очередь, основные геометрические фигуры: окружность, правильные многоугольники, различные виды треугольников, четырехугольников. Вводятся основные геометрические понятия (прямая, луч, угол, полуплоскость, параллельность, перпендикулярность, равенство и равновеликость, центр окружности, радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая, концентричность), рассматриваются элементы геометрических фигур (медиана, биссектриса, высота, диагональ), взаимное расположение фигур (вписанная и описанная окружность и т. д.). Обсуждаются симметрии различных фигур.

Вводятся операции с углами, дается классификация углов (острый, прямой, тупой, развернутый), Рассматриваются свойства вертикальных и смежных углов. Вводится градусная мера угла.

Рассматриваются различные виды треугольников (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный), высоты, медианы, биссектриса, средние линии.

Изучаются различные четырехугольники (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция) и их свойства.

Вводится понятие вписанной и описанной окружности, рассматриваются различные случаи расположения двух окружностей, окружности и прямой.

Рассматриваются примеры на равносоставленность многоугольников, вплоть до простейших случаев теоремы Пифагора (приводится “наглядное” доказательство).

Необходимо подчеркнуть важность того, чтобы первая встреча показала ученикам красоту и совершенство геометрических конструкций, а также ясность, наглядную убедительность рассуждений и доказательств. Такой опыт может помочь им в будущем справляться со строгостью геометрических рассуждений (проводимых вплоть до аксиоматических оснований) и не теряться в сложных технических деталях построений (строгие доказательства и построения циркулем и линейкой остаются за рамками 5 класса).

В 5 классе завершается второй этап преподавания математики в вальдорфской школе. Он характеризуется арифметическим подходом, работой с дробями и свободными геометрическими построениями. На этом этапе закладывается фундамент для введения в 6 классе алгебраических методов решения задач, отрицательных чисел и строгих геометрических построений и доказательств.

6 класс

Алгебра

В шестом классе начинается новый этап в преподавании математики. Ребенок вступает в возраст предпубертата, что ведет к существенному изменению его отношений с окружающим миром, к изменению мышления. С этого возраста он способен не только понимать конкретные примеры, не только возвращаться к этим примерам при решении задач, но прослеживать закономерности. Следствием является появление на уроках математики первых алгебраических понятий и формул, развитие навыков работы с буквенными выражениями и усвоение методов составления и решения уравнений. Материалом для этого служат реальные жизненные проблемы: начисление процентов по банковским вкладам, пропорции в акустике, исчисление площадей фигур и т. д. Важно, чтобы на этом начальном этапе появления алгебраических формул они вырастали из реальных жизненных обстоятельств, и лишь затем рассматривались сами по себе. Кроме того, существенным является демонстрация действительной мощи алгебраического аппарата (выражения с несколькими переменными, навыки анализа значений выражения при тех или иных изменениях переменных), предшествующая систематическому развитию курса алгебры "от простого к сложному". При таком подходе у учащихся в значительной мере сохраняется мотивация к проработке данного технически насыщенного раздела.

В непосредственной связи с десятичными дробями изучаются проценты, решаются задачи на нахождение процента от величины и величины по ее проценту. При этом снова рассматриваются различные пути решения задач (поэтапные, связанные, например, с промежуточным нахождением 1%, и прямые, использующие умножение/деление на дробь), что помогает ученикам освоить смысл и назначение операций умножения и деления.

Первый опыт работы с буквенными выражениями учащиеся приобретают при решении семейства задач, связанных с начислением банковских процентов. При этом учитель вводит (на элементарном уровне) и сопутствующие экономические понятия. Одной из целей является получение формулы для находящейся на счету суммы в зависимости от величины банковского процента, длительности и размера начального вклада. Важно, что формула не предъявляется ученикам, но постепенно, в ходе нескольких уроков, выводится как результат решения серии задач. Также важно, что на данном начальном этапе учитель постоянно переключает внимание с буквенных выражений к реальным числовым примерам, чтобы сохранить у учеников доверие к полученным результатам, дать им возможность проверить возникающие гипотезы, на конкретных числах пережить «технологию» алгебраического мышления. – В связи с элементарными экономическими расчетами в классе отрабатывается тема нахождения значения алгебраического выражения, преобразования буквенных выражений, решения простейших уравнений. Также дается представление о прямой и обратной пропорциональной зависимостях между величинами.

Далее алгебраический подход развивается при повторении сложения, вычитания, умножения и деления целых положительных чисел. При этом пройденный материал не просто отрабатывается на усложненных примерах, но и обобщается: даются алгебраические формулировки свойств и законов арифметических операций, правил раскрытия скобок, действий с дробями и т. д. При этом ученики впервые соприкасаются с проблематикой алгебраического доказательства. Происходит первое знакомство учащихся с понятием степени с натуральным показателем (пока в основном как удобного средства записи произведения одинаковых сомножителей).

Следующая важная тема, связанная с началом собственно курса алгебры, это выработка навыков решения текстовых задач. Много внимания в 6 классе уделяется решению задач на пропорции. Ученики учатся составлять пропорции, решать их, используя различного рода преобразования алгебраических выражений, а также основное свойство пропорции.

Другой важный класс задач – это задачи на составление линейных уравнений с одной переменной. На уроках обсуждаются основные приемы решения уравнений, методы проверки. Центральным приемом является преобразование уравнения путем прибавления, вычитания, умножения и деления обеих его частей. Важно, чтобы такой «содержательный» подход предшествовал появлению абстрактных правил переноса из одной части в другую.

Тематический план (130 ч)

№	Тема	Кол. часов
1.	Письменное сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей	25
2.	Введение переменных. Действия с переменными. Преобразование выражений, содержащих переменные	30
3.	Линейные уравнения	25
4.	Отношения и пропорции	15
5.	Проценты, действия с процентами	15
6.	Решение задач	20

Геометрия

(35 ч)

В 6-ом классе начинается систематический курс геометрии.

Первой задачей курса является выработка навыков точных геометрических построений циркулем и линейкой. Как и в предыдущем классе, отправной точкой является окружность и правильные многоугольники. Учитель знакомит учеников с приемами построения правильного шестиугольника, треугольника, квадрата, восьмиугольника, двенадцатиугольника, со свойствами этих фигур. Ученики также выполняют целый ряд построений самостоятельно. – Задания позволяют придти к очень красивым чертежам (что важно для школьников данного возраста), предъявляющие, однако, высокие требования к точности исполнения и к аккуратности.

Изучаются и отрабатываются фундаментальные геометрические построения серединного перпендикуляра, биссектрисы, перпендикуляра из точки к прямой, прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, угла, равного данному. Рассматриваются смежные и вертикальные углы, их свойства.

Далее в центр рассмотрения ставится треугольник. Решаются задачи на построение треугольников по заданным элементам, исследуются условия, необходимые для равенства двух треугольников, изучаются признаки равенства треугольников. Следует обратить внимание, что признаки равенства треугольников в данном случае не выводятся систематически из набора аксиом, а скорее обсуждаются на уровне “здравого смысла” (однозначность построения, равенство симметричных фигур) для того, чтобы затем, в свою очередь, послужить основанием для проведения последующих рассуждений

Вводятся понятия смежных и вертикальных углов. Доказывается теорема о сумме углов треугольника (дается ряд наглядных доказательств), теорема о внешнем угле. – Учащиеся работают с транспортиром, учатся измерять углы и строить углы заданной величины.

Изучаются площади простейших геометрических фигур (прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, ромба, параллелограмма, трапеции). Приводятся наглядные доказательства формул, связанных с площадями фигур.

7 класс

Алгебра

Продолжается начатая в 6 классе работа с алгебраическими выражениями, систематизируются правила приведения подобных, раскрытия скобок, отрабатываются приемы письменных и устных вычислений. Закрепляются навыки вычисления значений алгебраических выражений.

Понятие отрицательного числа вводится исходя из качественного переживания и характера тех задач, где применение этих чисел оправдано практикой (например, долги, кредиты), а не из числовой прямой и иных геометрических интерпретаций. Изучаются действия с положительными и отрицательными числами, переместительное и сочетальное свойство сложения, распределительное свойство умножения, простейшие преобразования выражений. Рассматривается также тема сравнения рациональных чисел, понятие модуля числа.

Вводится степень с натуральным показателем и ее свойства. Вводится понятие многочлена, изучается сложение, вычитание, умножение многочленов, разложение на множители. При этом особое внимание уделяется примерам на разложение квадратных трехчленов. Изучаются формулы сокращенного умножения, решаются задачи на их применение при преобразовании алгебраических выражений. – Формулы сокращенного умножения (a+b)2, (a-b)2, a2-b2 рассматриваются также в контексте упражнений на выполнение устных вычислений вида 812, 692, 39*41, 2,12 и т. д. Кроме того, эти же формулы возникают на уроках геометрии в связи с различными доказательствами теоремы Пифагора.

Изучается квадратный корень и его свойства. Эта тема возникает в связи с теоремой Пифагора, поэтому значительная часть задач имеет выраженную геометрическую направленность. Дальнейшая алгебраическая проработка этой темы отнесена на 8-9 классы.

Большое внимание уделяется выработке навыков решения линейных уравнений.

В связи с темой "Линейные уравнения" на уроках много времени отводится вычислениям с отрицательными числами.

Если позволяет время, учитель может на примере текстовых задач рассмотреть системы линейных уравнений и способы их решения.

Тематический план (130 ч)

№	Тема	Кол. часов
1.	Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел	10
2.	Действия над дробными числами	5
3.	Понятие отрицательного числа, действия с отрицательными числами	25
4.	Выражения и их преобразования	15
5.	Алгебраические методы решения линейных уравнений	15
6.	Степень с натуральным показателе, понятие квадратного корня	15
7.	Многочлены	15
8.	Формулы сокращенного умножения	20
9.	Решение задач с использованием формул	10

Геометрия

(35 ч)

Продолжается изучение свойств основных геометрических фигур.

Начать курс возможно с рассмотрения прямоугольного треугольника и различных доказательств теоремы Пифагора. Рассматриваются некоторые типы аналитических задач, сводящихся к применению теоремы Пифагора и нахождению длин сторон прямоугольного треугольника. Изучаются и доказываются свойства равнобедренного треугольника. Рассматриваются особые точки треугольника (точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров), свойства углов, образуе мых при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Тема "Окружность" начинается с определения углов, образуемых сторонами и диагоналями правильных многоугольников. Изучается основное свойство окружности, теорема о вписанном и центральном угле, теоремы об углах с вершиной внутри и вне окружности.

Доказывается теорема о сумме внешних и внутренних углов многоугольника, решаются задачи на определение углов многоугольников.

В отдельный раздел выделяются вопросы, связанные с взаимным расположением прямой и окружности, основное свойство касательной, теорема об отрезках касательных, проведенных из точки к окружности, определение угла между хордой и касательной, построение касательной из точки к окружности.

Тема "Окружность" завершается рассмотрением вписанной и описанной (вокруг треугольника) окружности, уточняются алгоритмы построения их центров и положение центра описанной окружности в зависимости от углов треугольника. Также рассматриваются свойства вписанных и описанных четырехугольников.

Следующая объемная тема посвящена четырехугольникам. Изучаются свойства прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции. Выводятся формулы для площадей четырехугольников.

Продолжается решение задач на построение треугольников и четырехугольников по заданным элементам, обсуждаются вопросы существования и единственности решений.

Дается понятие об основных движениях плоскости (поворот, параллельный перенос, осевая симметрия) и их свойствах. Учащиеся приобретают навык построения образов простейших геометрических фигур: треугольника, квадрата, прямоугольника.

8 класс

Алгебра

Продолжается рассмотрение степени с натуральным показателем. Вводятся степени с отрицательным показателем, изучаются их свойства. Учащиеся приобретают навыки преобразования дробно-рациональных выражений и вычисления их значений. Особое внимание уделяется работе с формулами сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов). Вводится понятие иррационального числа, рассматриваются десятичные приближения иррациональных чисел.

Продолжается отработка темы алгебраические выражения с рациональными коэффициентами. Большое внимание уделяется работе со знаками, раскрытию скобок и нахождению общего множителя в выражениях, содержащих отрицательные коэффициенты.

Подробно разбираются методы решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными (метод подстановки, метод сложения и вычитания, метод линейной комбинации уравнений), способы проверки правильности найденных решений. Особое внимание учителю следует вопросу о количестве решений системы уравнений, а также системам уравнений, имеющим бесконечно много или не имеющим решений. Решение систем уравнений графическим методом может быть отнесено в 9 класс.

Закрепляется понятие квадратного корня. Вводится понятие арифметического квадратного корня (при этом повторяется тема «Модуль числа»), систематизируются свойства корней, рассматриваются выражения, содержащие корни и степени. Ученики приводятся к представлению о корне, как о степени с дробным показателем. Дается первое представление о степени с рациональным показателем. Подробно разбирается алгоритм извлечения квадратного корня. Вводится понятие погрешности вычисления. Изучаются принципы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, решаются задачи. –

Одной из центральных тем 8 класса являются квадратные уравнения. Исходя из опыта решения простейших квадратных уравнений, ученики подводятся к общей формуле корней путем выделения полного квадрата. Много внимания уделяется условиям существования корней, подробно прорабатывается теорема Виета. Исследуются отдельные частные случаи (неполные квадратные уравнения, квадратные уравнения с четным коэффициентом при первой степени). Рассматриваются задачи, сводящиеся к решению квадратных уравнений, прежде всего из области геометрии (нахождение площадей, решение прямоугольного треугольника).

Рассматриваются рациональные уравнения (прежде всего сводящиеся к линейным и квадратным уравнениям) и методы их решения. Внимание учащихся обращается на область определения рационального выражения, на понятие равносильных и неравносильных.

Важнейшей новой темой, наряду с квадратными уравнениями, является тема “Функции и графики функций”. Вводятся понятия “функция”, "область определения", "область допустимых значений". Рассматриваются различные способы задания функций.

Вводятся декартовы координаты на плоскости. Дается понятие графика функции. Отрабатывается построение графиков линейной и квадратичной функции. Построение простейших дробно-рациональных функций (графиком которых оказывается гипербола) можно отнести в 9 класс. Учащиеся знакомятся с различными подходами к построению графиков (начиная с табличного и заканчивая построением графика функции по особым точкам и особым линиям). Уточняется связь между видом графика и значением коэффициентов в уравнении соответствующей функции. Возможно рассмотрение решения обратной задачи: нахождение уравнения функции (определенного вида) по графику, формирование навыка нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, параболы (по трем точкам), некоторых видов гипербол. Эта тема может быть перенесена в 9 класс.

Последняя тема заставляет еще раз вернуться к рассмотрению систем линейных уравнений. Повторяются и разрабатываются методы решения систем линейных уравнений, в том числе с тремя неизвестными.

Последним существенным разделом программы являются "Неравенства". Рассматривается понятие неравенства (желательно, исходя из некоторой реальной – хотя бы и чисто математической – задачи, например, существования решений квадратного уравнения), производится классификация неравенств, разрабатываются методы решения неравенств (линейных, квадратичных, простейших рациональных) и систем неравенств. Важно подчеркнуть, что подход к данной теме, равно как и к теме "Уравнения" вначале носит чисто алгебраический характер. Только после того, как учащимися алгебраические освоены основные приемы решения неравенств, дается графическое рассмотрение данной темы, включающее в себя метод интервалов. Желательно провести такое рассмотрение компактно в рамках отдельной эпохи 9 класса.

Тематический план (130 ч)

№	Тема	Кол. часов
1.	Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел	10
2.	Рациональные выражения и их преобразования	10
3.	Степень с целым показателем	10
4.	Решение систем линейных уравнений	10
5.	Квадратные корни	10
6.	Квадратные уравнения	20
7.	Решение линейных неравенств	10
8.	Координатная плоскость. Линейная функция и ее график	15
9.	Квадратичная функция и ее график	15
10.	Алгебраическое решение квадратичных неравенств	10
11.	Решение задач	10

Геометрия

(35 ч)

Центральным мотивом геометрии 8 класса являются преобразования фигур, не сохраняющие расстояния. Подробно изучается гомотетия, ее свойства, построение образов фигур при гомотетии с положительным и отрицательным коэффициентом. Рассматриваются свойства подобных фигур, теорема о пропорциональных отрезках, признаки подобия треугольников, решаются задачи на подобие. Выводится формула для площадей подобных фигур.

Рассматриваются подобные треугольники, образуемые высотой прямоугольного треугольника. Доказывается теорема о высоте прямоугольного треугольника, решаются задачи на нахождение различных элементов прямоугольного треугольника.

Рассматриваются подобные треугольники, образуемые при пересечении двух хорд окружности. Доказывается теорема об отрезках касательной и секущей.

В связи с темой «Подобие» изучаются особые точки треугольника (доказывается теорема о средней линии, теорема о точке пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров, рассматривается прямая Эйлера). Изучаются свойства отрезков, параллельных основаниям трапеции, и их связь с различными средними величинами. Решаются задачи на построение, в которых используется гомотетия, а также на вычисление длин и площадей в подобных фигурах.

В связи с темой "Площади геометрических фигур" рассматриваются преобразования, сохраняющие площадь. Повторяются формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника и ромба, выводится формула площади трапеции. Дается "динамическое" доказательство теоремы Пифагора. Рассматриваются приемы построения равновеликих фигур и изучаются свойства гномона (прямоугольника и параллелограмма дополнения). Важно отметить, что данная тема естественно перекликается с алгебраическим материалом данного класса (решение квадратных уравнений, графики обратной пропорциональной зависимости).

9 класс

Алгебра

В значительной мере материал уроков алгебры в 9 классе определяется задачами подготовки учащихся к экзамену за курс основной школы. В этой связи, наряду с введением нового материала, большое внимание уделяется повторению и проработке уже изученного.

Повторяется тема построения графиков линейной и квадратичной функции. Много внимания обращается на зависимость вида кривой от коэффициентов в уравнении. Табличный метод построения графика уступает место методу опорных точек. Ученики знакомятся с методологией исследования функции. – На уроках также рассматриваются примеры параметрического задания семейств линейных и квадратичных функций.

Исследование квадратичной функции переходит в рассмотрение графика степенной функции. Изучаются свойства графиков функций у=хn.

Вводится понятие корня n-ой степени. Изучаются свойства корней, рассматриваются задачи на вычисление значений числовых выражений, содержащих корни.

Прорабатывается понятие степени с рациональным показателем, рассматриваются свойства степеней, связь степени и корня.

Проводится исследование степенных функций вида у=х1/n, где n – натуральное число. Рассматривается область определения и область значения степенной функции, строится график при различных значениях показателя. – В связи с данной темой дается первое представление об обратной функции.

Продолжается исследование дробно-рациональных функций, построение их графиков, нахождение промежутков знакопостоянства, изучается поведение функции на бесконечности и в окрестности особых точек, рассматриваются примеры (в простых случаях) нахождения асимптот. В этой связи происходит знакомство с делением многочлена на многочлен, рассматривается алгоритм деления многочленов в столбик.

Исследование графиков функций естественным образом подводит учащихся к методу интервалов. Рассматриваются основные приемы решения квадратичных неравенств (алгебраическим методом: путем разложения на множители и перехода к совокупности систем, методом интервалов и графическим методом).

Рассматриваются простые случаи рациональных и иррациональных уравнений и неравенств. В ходе решения большое внимание уделяется области определения, методам проверки.– В результате работы над этой темой учащиеся должны овладеть навыками аналитического и графического решения уравнений и неравенств.

Особо рассматриваются уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные, уравнения третьей степени с одним известным корнем и т. д.). много внимания уделяется решению уравнений методом замен.

Решаются задачи на составление квадратных уравнений (в том числе из области кинематики). Учащиеся должны твердо ориентироваться в методах решения квадратных уравнений, уметь решать несложные уравнения в уме.

Продолжается работа над системами линейных уравнений. Центр тяжести перемещается на рассмотрение текстовых задач, сводящихся к решению систем линейных уравнений (в том числе из области химии).

На уроках также разбираются простейшие примеры нелинейных систем и методы их решения (в том числе с помощью графиков).

Отдельное место занимает тема «Числовые последовательности». Рассматриваются примеры последовательностей (последовательность Фибоначчи, арифметическая и геометрическая прогрессии), различные способы задания последовательностей. Выводятся формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессии, суммы первых членов. Решаются задачи на нахождение отдельных членов прогрессий. – В связи с прогрессиями вводятся понятия среднего арифметического и среднего геометрического, дается их геометрическая интерпретация.

В связи с рассмотрением геометрической прогрессии учащиеся снова возвращаются к теме «Десятичное представление дробей». Завершение рассмотрения, однако, выходит за рамки основной школы и переносится в 10 класс.

В особую тему выделяется комбинаторика и элементы теории вероятности. Рассматриваются простейшие комбинаторные задачи, сводящиеся к нахождению числа перестановок, размещений и сочетаний, выводятся соответствующие формулы. Рассматриваются простейшие комбинаторные тождества.

Исследуется бином, исследуются закономерности, связывающие его коэффициенты, подробно рассматривается треугольник Паскаля. В контексте комбинаторных рассмотрений возникают различные задачи теории игр. Вводится понятие случайного события, вероятности, проводятся эксперименты по выяснению вероятности тех или иных событий. Дается представление о различных подходах к вычислению вероятности, приводятся примеры простейших расчетов. – Знакомство с понятием вероятности завершается рассмотрением случаев бесконечных генеральных совокупностей и демонстрацией парадоксов из области геометрической вероятности. В каком объеме изучаются последние темы, являясь школьным компонентом программы, определяет учитель в зависимости от наличия времени.

Тематический план (140 ч)

№	Тема	Кол. часов
1.	Примерное тематическое планирование	15
2.	Линейная и квадратичная функция	20
3.	Уравнения и системы уравнений. Алгебраические и графические способы решения.	20
4.	Решение неравенств алгебраическим и графическим способом	20
5.	Степень с рациональным показателем. Графики степенных функций	20
6.	Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии	20
7.	Элементы комбинаторики и теории вероятностей	15
8.	Графическое рассмотрение простейших кривых второго порядка
9.	Решение задач	10

Геометрия

(35 ч)

Важнейшим мотивом преподавания геометрии в 9 классе является применение аналитических методов.

Вводятся синус, косинус, тангенс и котангенс как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Рассматриваются задачи на решение прямоугольного треугольника. Рассматриваются простейшие взаимосвязи между тригонометрическими функциями углов (основное тригонометрическое тождество, выражение для тангенса через синус и косинус, элементарные случаи формул приведения). Дается определение тригонометрических функций углов, не превосходящих развернутого.

Выводятся формулы для площади треугольника и параллелограмма. Дается доказательство теоремы косинусов, ее связь с теоремой Пифагора. Дается доказательство теоремы синусов. Рассматриваются формулы для радиусов вписанной и описанной окружности. Разбираются различные типы задач, сводящихся к решению треугольника.

Рассматриваются соотношения между сторонами и углами в правильном многоугольнике, выводится формула для радиуса вписанной и описанной окружности. Дается формула для длины окружности, вводится число p. Выводится формула для длины дуги. Дается формула для площади круга, выводятся формулы для площади сегмента и кольца. Решаются задачи на нахождение длины окружности и площади круга.

С геометрической точки зрения (исходя из понятия "геометрическое место точек") изучаются кривые второго порядка (параболы, гиперболы, эллипсы — как “геометрические места”), методы их построения, их свойства. Выводятся уравнения параболы, окружности, эллипса. Данное рассмотрение естественно дополняет алгебраический раздел, посвященный графикам функций и уравнениям.

Одной из основных в 9 классе является тема "Векторы". – Следует заметить, что учащиеся знакомятся с понятием вектора на уроках физики (при рассмотрении силы и перемещения). Теперь эти первичные представления сводятся в единую строгую систему. – Дается понятие вектора, абсолютной величины и направления. Изучается сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, взаимосвязь различных операций. Рассматриваются коллинеарные и неколлинеарные векторы.

Рассматриваются координаты вектора, разложение вектора (на плоскости) по двум неколлинеарным векторам, координатное представление операций над векторами.

Вводится скалярное произведение векторов, изучаются свойства скалярного произведения, приводится доказательство равносильности двух определений скалярного произведения. Рассматривается приложения скалярного произведения в физике, связь скалярного произведения с теоремой косинусов.

Рассматривается связь между векторами и точками на координатной плоскости, решаются задачи на нахождение длины вектора и расстояния между двумя точками. Демонстрируется применение векторов для вывода уравнения прямой и окружности. Рассматривается общий вид уравнения прямой, геометрический смысл коэффициентов. Элементарные методы аналитической геометрии применяются для решения задач (нахождение уравнений прямых и окружностей, точек пересечения геометрических объектов, определения длин и углов).

К концу 9 класса ученики должны

знать/понимать:

- как используются математические формулы, уравнения и неравенства; принципы их применения для решения математических и практических задач;

- как функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры таких описаний;

- как происходило расширение понятия числа;

- как происходило возникновение геометрии, как геометрические объекты применяются для решения практических задач;

- смысл идеализации, позволяющей решать реальные задачи математическими методами;

Арифметика

уметь:

·  выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;

·  переходить от одной формы записи числа к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простых случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки;

·  выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений;

·  округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений;

·  пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот;

·  решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·  решения несложных практических расчетных задач;

·  устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления с использованием различных приемов;

Алгебра

уметь:

·  составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

·  выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение на множители многочленов второй степени и в простых случаях многочленов более высоких степеней; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

·  применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;

·  решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;

·  решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и системы;

·  решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

·  изображать числа точками на координатной прямой;

·  определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного уравнения и линейного неравенства;

·  распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;

·  находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

·  определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;

·  описывать свойства изученных функций, строить их графики;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·  выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами;

·  моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

·  описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;

·  интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;

Геометрия

уметь:

·  пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;

·  распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

·  изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;

·  проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;

·  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

·  решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;

·  проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

·  решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·  описания реальных ситуаций на языке геометрии;

·  расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;

·  решения геометрических задач с использованием тригонометрии

·  решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочный материал);

·  построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь:

·  решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

·  вычислять средние значения результатов измерений;

·  находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

·  находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·  выстраивания аргументации при доказательстве;

·  распознавания логически некорректных рассуждений;

·  записи математических утверждений, доказательств;

·  анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;

·  решения практических задач в повседневной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;

·  решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

·  понимания статистических утверждений.

Литература для учителя:

1.  Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Под ред. . – М., Просвещение, 1989.

2.  Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Под ред. .—М., Просвещение, 1989.

3.  Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы / Под ред. .- М., Просвещение, 1990.

4.  , ., "Геометрия 7-9".

5.  Алтынов . Тесты. 7—9 кл.: Учеб.-метод, пособие. — М.: Дрофа, 1997.

6.  Алтынов . Устные упражнения и диктанты. 7—9 кл.: Учеб.-метод. пособие. — М.: Дрофа, 1999.

7.  Алтынов . Тесты. 7—9 кл.: Учеб.-метод, пособие. — М.: Дрофа, .

8.  Алтынов и проверочные работы по математи­ке. 5—6 кл.: Метод, пособие. — М.: Дрофа. 1997—1999.

9.  , Ананасов математических задач с практическим содержанием.—М., Просвеще­ние, 1987.

10., Фрибус задачи.—М., Просвещение, 1994.

11. Преподавание счета – перевод с нем.--М., Парсифаль, 1994.

12., Барчугова 3. Г. Математика, 5 класс. — М.: Специ­альная литература, 1998, 1999.

13., Барчугова 3. Г. Математика, 6 класс. — М.: Специальная литература, 1998,1999.

14.Башмакова алгебры. (Из истории развития математических идей). – М.: Знание, 1979.

15. и др. Геометрия, 7—11. — М.: Просвещение, 1996, 1998.

16.Белл математики.—М., Просвещение, 1979.

17. Алгебра для 7 – 8 классов вальдорфской школы. – М.: изд. Центра вальдорфской педагогики, 1999.

18. Геометрия для 7 – 8 классов вальдорфской школы. – М.: изд. Центра вальдорфской педагогики, 1999.

19. Арифметика. – Рукописный перевод с нем.

20.Болтянский и равносоставленные фигуры: сер. «Популярные лекции по математике» вып. 22. — М.: Гостехиздат, 1956.

21.Болтянский геометрия: Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1985.

22. Вероятность и достоверность: 3-е изд.—М.: Наука; 1969.

23., , Харчева в матема­тических рассуждениях: 3-е изд.—М.: Просвещение, 1967.

24.Виленкии .—М.: Наука, 1969.

25.Виленкин о множествах.—М.: Наука, 1965.

26. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1996

27.Виппер деление как основной морфологический закон в природе и искусстве (открытие проф. Цейзинга) .—М.: 1876.

28.Воробьев делимости: сер. «Популярные лекции по математике», вып. 39.—М.: Физматгиз, 1963.

29.Воробьев Фибоначчи: 3-е изд., доп.: сер. «Популярные лекции по математике», вып. 6.—М.: Наука, 1969.

30. Этот правый, левый мир. — М.: Мир, 1967.

31. Кон- Наглядная геометрия: 2-е изд.—М.— Л.: Гостехтеоретиздат, 1951.

32.Гнеденко математика изучает случайные явления.—Киев: Изд. АН УССР, 1947.

33., Хинчин введение в теорию веро­ятностей.—М.—Л.: Гостехиздат, 1952.

34.Гордин P. К. Школьный практикум. Геометрия. 7 кл.: Решение задач.—М.: Дрофа, 1998.

35.Депман чисел.—Л.: Детская литература, 1966.

36.Депман о математике: доп. и испр. изд.—Л.: Детгиз, 1954.

37.Депман о решении задач: 2-е изд., доп. и перераб.— Л: Детская литература, 1964.

38.Депман о старой и новой алгебре.—Л.: Детская ли­тература 1967.

39., За страницами учебника математики: Книга для учащихся 5—6 классов. — М.: Просвещение, 1989, 1998.

40.Депман арифметики.—М., Просвеще­ние, 1964.

41., , и др. "Математика, 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных".

42., , и др. "Математика, 8: Алгебра. Функции. Анализ данных".

43., , и др. "Математика, 9: Алгебра. Функции. Анализ данных".

44., Шляпочник и проверочные работы по алгебре. 7—9 кл.: Метод, пособие. - М.: Дрофа, 1997—1999.

45., Алтынов и начала анализа. Геометрия. 10— 11 кл.: Учеб.-метод. пособие. — М.: Дрофа, 1999.

46., , Баханский по геометрии для 7— 11 классов: Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1991—1997.

47. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. — Ростов-на-Дону. Кн. изд-во, 1995.

48.Игнатьев хрестоматия (кн. 1: Арифметика.— М.: товарищество , 1913; кн. 2: Алгебра и общая арифметика,—М.: Товарищество , 1915).

49.Киселев геометрия: Книга для учителя. – М.. Просвещение, 1980.

50. На уроках и вечерах математики: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1981.

51.Кордемский школьников математикой: Материал для классных и внеклассных занятий.—М., Про­свещение, 1981.